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PAGEPAGE1《信息安全数学基础》(姜正涛,电子工业出版社,2017.12)知识点及关系第1章整数的整除与唯一分解推广的欧几里德算法(定理1.5)√√推广的欧几里德算法(定理1.5)√√辗转相除法(欧几里德算法、定理1.3)√√辗转相除法(欧几里德算法、定理1.3)√√算法1.1(欧几里德算法)多个整数的公因子、最大公因子、定理1.7*定理1.2(带余除法最大公因子关系)定理1.2(带余除法最大公因子关系)→互素√→互素√公因子、最大公因子不整除整数、自然数→整除、→因子(真因子、平凡因子)、倍数→公倍数、最小公倍数→最小公倍数求法(定理1.8、定理1.9*)不整除→整数的a→整数的a进制表示带余除法(欧几里德除法)√素数素数√、合数→整数唯一分解定理(定理1.12)√素数与整数的关系(定理1.10)、素数与整数乘积的关系(定理1.11)→整数唯一分解定理(定理1.12)√素数与整数的关系(定理1.10)、素数与整数乘积的关系(定理1.11)Mersenne(素)数Mersenne(素)数*、Fermat(素)数*素数有无穷多(定理1.14)、素数定理(定理1.16)素数有无穷多(定理1.14)、素数定理(定理1.16)素数判断定理(定理1.17)孪生素数、哥德巴赫猜想孪生素数、哥德巴赫猜想*第2章同余式不同余整除、带余除法(第1章)→同余→两个整数同余的充要条件(定理2.1、推论2.1)→同余的性质(定理2.2、推论2.2√)不同余剩余类剩余类√、完全剩余类、完全剩余系、最小完全剩余系缩系完全剩余系的判断(定理2.4)与性质(定理2.5)剩余类的性质(定理2.3)缩系完全剩余系的判断(定理2.4)与性质(定理2.5)剩余类的性质(定理2.3)欧拉函数(定义2.4)√→缩系个数(定理2.6)→缩系性质(定理2.7)→欧拉定理(定理2.8)√√→费马小定理(定理2.9)√→定理2.10√→推论2.3→推论2.3√√定理2.11、定理2.12→欧拉函数计算式(定理2.13)√→→欧拉函数计算式(定理2.13)√→欧拉函数为积性函数积性函数欧拉函数的一个性质(定理2.14欧拉函数的一个性质(定理2.14*)→模逆元计算(定理2.16)√→模逆元计算(定理2.16)√→一次同余式系数与模互素时同余式解数(定理2.15)√同余式→一次同余式的解数(定理2.18)√一次同余式可解性判断(定理2.17)√→一次同余式的解数(定理2.18)√一次同余式可解性判断(定理2.17)√n次同余式的解数(定理2.20)一次同余式的求解(定理2.19)n次同余式的解数(定理2.20)一次同余式的求解(定理2.19)√→模为合数时一般同余式的解数(定理2.23→模为合数时一般同余式的解数(定理2.23*)中国剩余定理(定理2.21)√√√RSA公钥密码体制(算法2.1)RSA公钥密码体制(算法2.1)√√√第3章二次剩余同余式(第2章)→二次剩余→二次同余式的解数(定理3.1)→二次剩余的欧拉判别法(定理3.2)√→二次剩余的性质(推论3.1)→勒让德符号的性质(定理3.4)→→勒让德符号的性质(定理3.4)→勒让德符号值计算√:(定理3.3、推论3.2、推论3.3、定理3.5)、二次互反律(定理3.6)√√勒让德符号→→Goldwasser-Micali公钥加密算法(算法3.1)→雅可比符号值计算√:(定理3.8、定理3.9)、雅可比符号互反律(定理3.10)√√雅可比符号→雅可比符号的性质(定理3.7)二次同余式的求解→定理3.11(1)√(2)*、定理3.12*Rabin公钥密码体制(算法3.Rabin公钥密码体制(算法3.2)√√第4章原根与阶模整数的阶→阶的性质(定理4.1,推论4.1)→原根的定义√→模整数阶的计算(定理4.11)→模→模整数阶的计算(定理4.11)→模p原根的形式(定理4.10)模整数原根的形式(推论4.2、定理4.14)→模p原根个数(定理4.8)√模p阶为d的元素个数(定理4.7)模整数原根的判断(定理4.1模整数原根的判断(定理4.16)√Fermat素性检测的反例—卡米歇尔数(很少)第5Fermat素性检测的反例—卡米歇尔数(很少)素性检测定义→确定性算法(定理1.17、定理5.1、定理5.2、定理5.3、定理5.4)→(费马)拟素数√拟素数→→(费马)拟素数√拟素数→Fermat素性检测(算法5.1)√→Fermat素性检测的成功概率(定理5.8)→(费马)拟素数无穷多(定理5.6、定理5.7)→基于欧拉定理的素性检测成功概率(定理5.10)→欧拉拟素数也是费马拟素数(定理5.9)欧拉拟素数→基于欧拉定理的素性检测成功概率(定理5.10)→欧拉拟素数也是费马拟素数(定理5.9)欧拉拟素数√Solavay-Steassen素性检测Solavay-Steassen素性检测(算法5.2)√→Rabin-Miller素性检测(算法→Rabin-Miller素性检测(算法5.3)√→强拟素数概率(定理5.14)→强拟素数无穷多(定理5.12)素数的一个性质(定理5.11)→强拟素数√第6章群→子群的性质(定理6.3)→子群的判断(定理6.2)子群集合、二元运算、单位元、逆元→群(定义6.5)√√√→群的性质(定理6.1)→子群的性质(定理6.3)→子群的判断(定理6.2)子群→元素阶的性质(定理6.4)√群的阶、元素的阶→元素阶的性质(定理6.4)√群的阶、元素的阶√元素阶与元素最大阶的关系(定理6.5)√元素阶与元素最大阶的关系(定理6.5)√循环群(定义6.10)循环群(定义6.10)√√陪集要么相等要么无公共元(定理6.7)→陪集要么相等要么无公共元(定理6.7)→陪集的元素数相等(定理6.6)→子群的指数(定义6.12)→群是不相交的子群陪集的并(定理6.8)陪集(定义6.11)正规子群(定义6.13)拉格朗日定理(群、子群、子群指数的关系)(定理6.9正规子群(定义6.13)拉格朗日定理(群、子群、子群指数的关系)(定理6.9)正规子群的所有陪集构成一个群(定理6.12正规子群的所有陪集构成一个群(定理6.12)元素阶整除群阶(定理6.10)√√商群(定义6.14)√商群(定义6.14)√群同态、群同构(定义6.16)→群同态定理(定理6.13、定理6.14)有限阶(无限阶)循环群生成元的个数(定理6.17)√循环群(定义6.10)√√→有限阶(无限阶)循环群的性质(定理6.15、推论6.1、推论6.2)→n阶循环群当且仅当含n阶元素(定理6.有限阶(无限阶)循环群生成元的个数(定理6.17)√与有限阶(无限阶)循环群同构的群(定理6.18与有限阶(无限阶)循环群同构的群(定理6.18)循环群的子群是循环群(定理6.循环群的子群是循环群(定理6.19)√√循环群的子群个数(定理6.循环群的子群个数(定理6.20)√置换群(定义6.21)→n元集合的全体置换构成n!阶群(定理6.22)→不同置换的乘法、平方、逆运算→不同置换的乘法、平方、逆运算k-循环置换(定义6.22)第7章环子环环的定义(定义7.1)→环中元素运算(定理7.1)子环→整环(定义7.7)零因子→整环(定义7.7)零因子→无零因子环元素的特征相等(定理7.3)√→→无零因子环元素的特征相等(定理7.3)√→环的特征(定义7.1)√环中元素的(加法)阶(定义7.10)→商环(定义7.15→商环(定义7.15)多项式环NTRU密码体制(NTRU密码体制(算法7.1)无零因子环的特征要么为0要么为素数(定理7.4)√域的特征(定义8.4)√第8章域域的特征(定义8.4)√整环(定义7.7)整环(定义7.7)→分式域(定义8.3)Zp是域<=>p是素数(定理8.2)√域(定义8.1)→扩域、子域(定义8.2)Zp是域<=>p是素数(定理8.2)√素域的定义(定义8.6)→每个域只包含一个素域(定理8.素域的定义(定义8.6)→每个域只包含一个素域(定理8.4)√→与素域同构的两类域(定理8.3)整除、带余除法(第1章)多项式整除、因式、倍式、最大公因式整除、带余除法(第1章)多项式整除、因式、倍式、最大公因式多项式带余除法(定理8.6)多项式带余除法(定理8.6)、多项式的扩展欧几里德算法(定理8.8)√不可约多项式不可约多项式(定义8.10)√、多项式唯一分解定理(定理8.11)pp(x)不可约则商环F[x]/(p(x))是域(定理8.12),即扩域的构造方法√域同构(定义8.5)可通过逐步添加元素获得更大的扩域(定理8.13可通过逐步添加元素获得更大的扩域(定理8.13)→单代数扩域(定义8.→单代数扩域(定义8.13)代数元(定义8.12)→n→n次代数元(定义8.14)极小多项式(定义8.14)√→扩张次数之间的关系(定理8.19)√n次代数扩域的多项式基(定理8.1→扩张次数之间的关系(定理8.19)√n次代数扩域的多项式基(定理8.17、定义8.15)√→n次代数扩域的构造(定理8.16)√极小多项式唯一(定理8.15)扩张次数(定义8.扩张次数(定义8.17)→多项式的分裂域彼此同构(定理8.→多项式的分裂域彼此同构(定理8.23*)多项式的分裂域(定义8.19)*第9章有限域有限域(定义8.1)→有限域元素的个数(定理9.1、定理9.2)√Diffie-Hellman密钥协商(算法9.1)√√q元有限域是子域上多项式xq–x的分裂域(定理9.8)元素阶整除群阶(定理6.10-11)→有限域中非零元素的(乘法)阶(定理9.3、定理9.4)→有限域中的乘法群FDiffie-Hellman密钥协商(算法9.1)√√q元有限域是子域上多项式xq–x的分裂域(定理9.8)q元有限域存在唯一性定理(定理9.9)q元有限域存在唯一性定理(定理9.9)√对于任何有限域存在任意次不可约多项式(定理9.11)→在有限域上可以构造任意次扩域(有限域扩域的构造)√√√→AES中的有限域运算(9.6节)√有限域上多项式的阶(定义9.7)→有限域上不可约多项式的阶等于其任一根的阶(定理9.19)→本原多项式(定义9.8)→本原多项式的阶(定理9.20)√第10章有限域上的椭圆曲线椭圆曲线(定义10.1)→非奇异椭圆曲线(定理10.1)不同特征有限域上椭圆曲线的简化方程(10.2节)→char(F)>3时的椭圆曲线简化方程√一般域上椭圆曲线群加法规则(算法10.1)→不同特征有限域上的椭圆曲线群加法→char(F)>3时的椭圆曲线群加法(算法10.2)√√→椭圆曲线密码体制(算法10.3)√第11章线性反馈移位寄存器线性反馈移位寄存器(LFSR)→LFSR的运行过程√LFSR的特征多项式(定义11.1)√→不可约多项式的周期与相应LFSR序列的周期相等(定理11.1)→输出m序列<=>LFSR的特征多项式是本原多项式(定理11.3)√√→输出m序列<=>LFSR的特征多项式是本原多项式(定理11.3)√√GF(2)上的n次本原多项式(定义11.5)m序列的随机性(满足Golomb随机性假设)(定理11.4)m序列的安全性(没有隐藏线性关闭)(11.4节)非线性序列生成器*(Geffe生成器、J-K触发器→Pless生成器)(11.6节)SNOW流密码算法*(11.6节)第12章计算复杂度算法的时间复杂度(定义12.2)→多项式时间算法(定义12.5)√、指数时间算法(定义12.6)确定型图灵机(定义12.7)→P类问题(定义12.8)√NP问题(定义12.9)√→几个NP问题NPC问题(定义12.10)√→几个NPC问题(典型的NPC问题)→NPC问题的限制法证明NP-hard问题(定义12.12)√→几个NP-hard问题第13章图论图、边、顶点(定义13.1)、顶点的度√→邻接矩阵、关联矩阵√√子图生→成子图图同构(定义13.1)定点度与边数关系(定理13.1)→图中奇点个数的奇偶性(推论13.1)路径、迹、路的定义、连通图(13.4节)赋权图、权→求最短路的Dijkstra算法√(13.5节)树(定义13.4)→树的性质(定理13.1、定理13.2)生成树割边(定义13.6)→割边的判断(定理13.3)、树的判断(定理13.4)连通度(定义13.8)→2-连通定理(定理13.6、推论13.3)二叉树定义→二叉树的特点→二叉树每层上的节点数(定理13.8)、总节点数(定理13.9)、节点间的关系(定理13.10)满二叉树、完全二叉树的定义→结点数与完全二叉树深度的关系一次性签名方案→Merkle树签名方案第14章信息论与编码通信系统模型√→信源、编码器(信源编码器、纠错编码器、调制器)、信道、译码器、信宿、干扰源自信息量(定义14.1)√√√→联合自信息量(定义14.2)√√互信息量(定义14.4)√√→平均互信息(定义14
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