圆与圆的位置关系同步练习

圆与圆的位置关系同步练习

一、选择题

1.已知集合4={(x,y)|x(x-1)+y(y-1)Wr},集合B={(居、)|/+y2叱产},若

AQB,则实数厂可以取的一个值是()

A.V2+1B.V3C.2D.1+y

2.两圆相交于两点(1,3)和(巾,1),两圆的圆心都在直线光—y+1=0上，则m+c=

()

A.-1B.2C.3D.0

3.若圆(久-a)2+(y-bp=b2+1始终平分圆(x+l)2+(y+l)2=4的周长，则a,

匕满足的关系是()

A.a2+2a+2b—3=0B.a2+2a+2h+5=0

C.a2+b2+2a+2b+5=0D.a2—2a—2b+5=0

4.圆心为(2,0)的圆C与圆x2+V+4%—6y+4=()相外切，则圆c的方程为()

A.x2+y2—4%+2=0B.x2+y2-4x=0

C.x2+y2+4x+2=0D,x2+y2+4x=0

5.圆(x+3/+(y+4)2=16与圆/+V=4的位置关系为()

A.相离B.内切C.外切D.相交

6.圆久2+y2=2与圆/+/+2久-2y=0的位置关系是()

A.相交B.内切C.外切D.相离

7.已知圆Ci：x2+y2—2mx+m2=4,圆金：x2+y2+2x—2my=8—m2(m>3),

则两圆的位置关系是()

A.相交B.内切C.外切D.相离

8.已知圆G：/+y2—2ax+@2—1=o和圆C2；/+/一2"+82-4=0恰有

三条公共切线，则J(a—3尸+(b—4尸的最小值为()

A.1+V2B.2C.3-V2D.4

9.已知圆G：(%+2)2+V=1与圆C2：Q-砌2+*=4相交，则实数。的取值范围

是()

A.3<a<5B.—5<a<—3

C.-1<a<1或一5<a<—3D.-1<a<1或3<a<5

10.已知圆C：x2+y2=1,点M为直线x—2y—6=0上一动点，过点M向圆C作

切线MA,MB,A,B为切点、,则直线AB经过定点()

A.6/)B.&-|)C.(一UD,(-|,0

11.若圆01：(%—I/+(y+2)2=4与圆。2：Q-4)2+(y-2)2=产&>o)相切，

贝忏=()

A.3或7B.1或5C.3D.5

12.已知点4(—2,0),8(2,0),若圆(x—3/+y2>°)上存在点p。不同于点A,

B),使得方.丽=0，则实数厂的取值范围是()

A.(1,5)B.[1,5]C.(1,3]D.[3,5)

13.圆的：久2+y2+2久+4y+1=0与圆。2：久2+y2-4%—4丫-1=0的公切线有()

条

A.2条B.1条C.4条D.3条

14.圆/+川一以+6)/=0和圆x2+3/2-6刀=0交于48两点，则直线的方程是

()

A.x+3y=0B.3%—y=0C.3x—y—9=0D.3x+y+9=0

二、填空题

15.已知圆G：(%-2)2+(y-3)2=1,圆C2：(%-4)2+(y-5)2=1,M,N分别为

圆Ci，。2上的动点，点P是％轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为.

16.圆G；/+*一4%+3=0与圆。2；(%++(y-4)2=a恰有三条公切线，则

实数a的值是.

17.圆/+*=16和圆(％-4)2+(y+3产=R2(R>0)在一个交点处的切线互相垂

直，则/?=.

18.已知圆G：x2+y2+2%+2y—2=0,圆C2：x2+y2—4%—2y+1=0,则两圆

的位置关系为(填“内含”、“内切”、“相交”、“外切”或“外离”)，

它们的公切线条数为.

19.在平面直角坐标系xOy中，A,2为X轴正半轴上的两个动点，P(异于原点0)为y

轴上的一个定点.若以AB为直径的圆与圆/+(y—2)2=1相外切，且乙4PB的大

小恒为定值，则线段。尸的长为.

三、解答题

20.已知圆C］：久2+*—4刀+2y=0与圆C2：x2+y2—2y—4=0.

(1)求证两圆相交；

(2)求两圆公共弦所在直线的方程；

(3)求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程.

21.已知圆M：(x-a)2+y2-5与两条坐标轴都相交，且与直线x+2y-5-0相切.

(1)求圆M的方程；

(2)若动点A在直线x=5上，过A引圆M的两条切线AB,AC,切点分别为B,C,

求证：直线3c恒过定点.

22.若实数x,y满足/+y2+2%-4y+1=0,求下列各式的最大值和最小值.

⑴占

(2)3%-4y；

⑶/+y2.

23.已知圆M:小+(y—4)2=1,直线l：2x-y=0,点尸在直线/上，过点尸作圆M

的切线PA,PB,切点为A,B；

(1)若NAPB=60。，求点尸的坐标；

(2)若点尸的坐标为(1,2),过P作直线与圆M交于C,。两点，当CD=加时，求

直线CD的方程；

(3)求证：经过A,P,M三点的圆与圆M的公共弦必过定点，并求出定点的坐标.

答案和解析

1.【答案】A

【解答】解：A=1(x,y)+(7一|)Wr+4，B={(x,y)|%2+p<产}.

根据选项分析，A,B分别表示两个圆及其内部，要满足4UB,即两圆内切或内含.

故圆心距|。1。21=y<\rr-r2\,

即日工厂一口1

7I111

=产-2•r•r+-+r+->-

«r2—2r-1>0

=r21+&或r<1-&(舍).

显然，rNl+金，故只有A项正确.

2.【答案】C

【解答】

解：已知两圆相交于两点(1,3)和(6,1),且两圆的圆心都在直线x—y+|=0上，

公共弦的斜率为：—1,经过(1,3)点的公共弦为:y—3=-l(x—1),所以x+y—4=0,

又因为On,1)在公共弦上，所以m+l-4=0,

解得m=3；

两点(1,3)和(3,1)的中点在连心线x-y+|=0±,

即(2,2)在连心线x—y+9=0上，所以c=0,

所以m+c=3.

故选C.

3.【答案】B

【解答】

解：；圆(x-a/+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+l)2+(y+I)2=4的周长，

二两圆的公共弦必过(久+I)2+(y+I)2=4的圆心，

两圆相减得相交弦的方程为—2(a+l)x-2(6+l)y+a2+l=0,

将圆心坐标(―1,—1)代入可得a?+2a+2b+5=0.

故选8.

4.【答案】B

【解答】

解：圆/+y2+4刀—6y+4=0,即Q+2)2+(y—3)2=9的圆心为M(-2,3),半径

为r=3,

\CM\=J(2+2>+(—3产=5,

•••圆C的半径为5—3=2,

.,.圆C的标准方程为：(x—2)2+y2=4,即/+*—4*=0.

故选反

5.【答案】D【解答】

解：根据题意,圆(％+3)2+(y+4)2=16的圆心为(-3,-4),半径万=4,

圆/+V=4的圆心为(0,0),半径72=2,

两圆的圆心距d=V9+16=5,

有万一万=2<d<q+上=6,两圆相交；

故选。.

6.【答案】A

【解析】解：圆心分别为(0,0),(-1,1),半径分别为夜，V2,

圆心距为：V2,两圆半径之和为2V^

所以两圆相交.

故选：A.

7.【答案】D

【解答】

解：将两圆方程分别化为标准式得到圆G：(x-?n)2+必=生圆c2：(x+1)2+(y一

m)2=9,

则圆心Ci(m,O),C2(-l,m),半径6=2,r2=3,

两圆的圆心距QG=+1尸+m2=V2m2+2m+1>V2x32+2x3+1=5=

2+3,

则圆心距大于半径之和，

故两圆相离.

故选：D.

8.【答案】B

9.【答案】C

【解答】

解：圆CI：(X+2)2+y2=1的圆心C](—2,0),半径q=l,

圆C2：(x-a)2+y2-4的圆心。2(。,0),半径上=2,

圆6：(x+2)2+y2=1与圆C2：(%—a)2+y2=4相交，

,t,ri_r2<ICj,C21<q+「2,

即2-1<y/(a+2)2+02<1+2,

解得一1<a<1或-5<a<—3,

故选C.

10.【答案】B

【解答】

解：因为P是直线x—2y—6=0上的任一点，设P(6+2m,m),

圆/+丫2=1的两条切线为pa、pB,切点分别为A、B,

所以。AJ.P4,OB1PB,

则点A、2在以。尸为直径的圆上，圆心为即是圆M和圆C的公共弦，

圆心M的坐标是(3+犯])，且半径的平方是产=(6+2?2+、,

圆M方程为：(久—3—m)2+(y—/)2=空苧空，①

又一+y2=1,②，

(2)—①得，(6+2m)x+my—1=0,

即公共弦A3所在的直线方程是：m(x+2y)+(6%-1)=0,

由仁箕:,解得…="』

所以直线恒过定点

故选8.

11.【答案】A

【解答】

解：根据题意，圆。1：(%-I)2+(y+2)2=4,其圆心为(1,—2),半径R=2,

圆。2：-4)2+(y-2)2=产，其圆心为(4,2),半径为r,

则圆心距|。1。2|=J(4-1尸+(2+24=5,

若两圆相切，则有|。1。2|=r+2=5或|。]。2|=r-2=5,解可得r=3或r=7；

故选：A.

12.【答案】A

【解答】

解：根据直径对的圆周角为90。,结合题意可得以为直径的圆和圆(%-3)2+V="

有交点，

显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交.

而以A3为直径的圆的方程为尤2+y2=4,两个圆的圆心距为3,

故|r-2|<3<|r+2],求得l<r<5,

故选A.

13.【答案】D

【解答】

解：圆G：/+y2+2x+4y+1=0,可化为(x+l)2+(y+2)2=4,圆心为的(—1,—2),

半径为q=2

圆C2：x2+y2-4x-4y-l=0,可化为(x-2/+(y-2尸=9,圆心为。2(2,2),半

径为太=3,

因为IGC2I=J(2+l)2+(—2—2)2=9=q+上，

所以两圆外切，

所以两圆的公切线的条数为3,

故选。.

14.【答案】A

【解析】解：圆：/+V—4x+6y=0和圆：/+一6%=0交于A、B两点，

两圆相减可得：直线AB的方程是：x+3y=0.

15.【答案】2V17-2

【解答】

解：由题得圆G关于x轴的对称圆的圆心坐标4(2,-3),半径为1,

圆C2的圆心坐标(4,5),半径为1,

\PM\+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，

即：J(4—2)2+(5+3)2—2=2V17-2.

故答案为：2g—2.

16.【答案】16

【解答】

解：圆G：/+y2一4%+3=o与圆(X+1)2+(y-4)2=<2恰有三条公切线，

则圆C1与圆。2外切，

则圆C1的圆心为：(2,0),半径勺=1；圆的圆心为：(—1,4),半径「2=迎；

则J(2+1尸+42=r1+r2=1+Va,

解之得a=16.

故答案为16.

17.【答案】3

【解答】解：由题意知两圆的一个交点与两圆圆心构成直角三角形，

两圆的圆心分别为(0,0),(4,-3),圆心距d=5,两圆的半径分别为4,R,

则52=R2+42,

解得R=3.

18.【答案】相交2

【解析】解：圆G：x2+y2+2x+2y-2=0,可化为(x+1/+(y+1)2=4,其圆

心坐标G(—L—1),半径为2,

圆C2：/+V-4x—2y+1=0,可化为(光—2)2+(y—1)2=4,其圆心坐标C2(2,1)，

半径为2,

又IGC2I=J(2+1)2+(1+1)2=V13<2+2=4,.

则两圆的位置关系为：相交，

故它们的公切线有2条.

19.【答案】V3

【解答】

解:设以AB为直径的圆的圆心为。2(/0)，A点在B点左侧，圆。2的半径为「(变量),

OP=t(常数)，r>0,t>0,

则tanZOPAn：二=1二

VV

a+ra-r

522rt

/.tanZAPB=/一口

产+炉一r2.

•・,Va2+4=丁+1,・••a2=(r+l)2-4,

24

/.tanZAPB=

・・•乙4PB的大小恒为定值，t2-30,

t=V3,OP=V3.

答案为旧.

20.【答案】(1)证明：圆G：%2+y2—4%+2y=0与圆。2：%2+y2-2y—4=0化为

标准方程分别为圆C1：-2)2+(y+1)2=5与圆。2：%2+(y-I)2=5

・・・的(2,-1)与圆。2(0,1)，半径都为遥

••・圆心闻巨为0<7(2-0)2+(-1-I)2=2V2<2V5

•••两圆相交；

(2)解：将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即

(%2+y2—4%+2y)—(%2+y2—2y-4)=0

即X—y—1=0

(3)解：由(2)得y=x—1代入圆G：/+丫2_4%+2y=0,化简可得2/—4%—1=0

2±V6

•••x=---------

2

也2+V6rj-4-A/6SM2—V6ri_LV6

3%=---nj，y=—;刍％=----町，y=-----

2z2272

设所求圆的圆心坐标为(a,b),则

2+V6V62—V6V6

(。---2-)+(力一了)=(。----2-)+。+了)

2a+4b=1

32+V6.,1V6.7

r2=(rE+(”F=2

•••过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为(％-|)2+(y+|)2=|

21.【答案】解：(1)圆Af：(x—a)2+y2=5的圆

心坐标为(a,0),半径为近，

•••圆M与直线久+2y—5=0相切，.•・詈=逐,

即a=0或a=10.

又圆M与两条坐标轴都相交，・•・a=0.

则圆M的方程为：x2+y2=5；

证明：(2)设4(5,血)，则A,B,O,C四点共圆,

A。的中点为G，1)，\AO\=^25+m2,

则以AO为直径的圆的方程为0-j)2+(y-y)2=;(25+m2),

整理得：x2+y2—5x—my=0.

又圆M：x2+y2=5,

两圆联立可得公共弦5。所在直线方程为5%+my-5=0.

・・・直线3C恒过定点(1,0).

22.【答案】(1)最大值为0,最小值为-弟

(2)最大值为-1,最小值为-21；

(3)最大值为9+4通，最小值为9-4V5

【解析】(1)(方法1)令£=匕则/or-y-4左=0.

x,y满足％2+y2+2%一4y+1=0,.,•圆心(-1,2)到直线k%-y-4fc=0的距离不大

于圆的半径2,即霄<2,解得—

Vfc2+121

•••士的最大值为0,最小值为-9

X—4Z1

(方法2)令£=匕则y=k(x—4)代入圆的方程，整理得(1+卜2)/+(2—4k-

8fc2)x+16/c2+16/c+l=0,

•••上述方程有实数根，.•・4=(2-4k-8k2)2_4(1+1),(16k2+16k+1)20,化简

整理得2M2+20k<0,解得—gwkwo,.•.土的最大值为0,最小值为—等

(2)(方法1)设3%-4y=匕则3%-4y-k=0,圆心(一1,2)到该直线的距离不大于圆的

半径，即止潦四<2,解得—21<k<-l,,­.3%-4y的最大值为一1,最小值为-21.

(方法2)设k=3x-4y,即y=|x-三代入圆的方程，整理得25/—(16+6k)x+k2+

16k+16=0,•••上述方程有实数根,二