重难点08 空间平行与垂直的十大题型-2022-2023学年高一数学下学期期末复习【重点·难点】（解析版）

重难点08空间平行与垂直的十大题型汇总

期末题型解读

题型1线面平行的判定题型6线面垂直的判定

题型2线面平行的性质题型7线面垂直证明线线平行

空间平行与垂直的

题型3面面平行的判定十大题型汇总题型8线面垂直证明线线垂直

题型4面面平行证明线线平行题型9面面垂直的判定

题型5面面平行证明线面平行题型10面面垂直的性质

满分技巧

技巧一.证明线面平行的方法：

(1)线面平行的判定定理

(2)面面平行的性质定理-若两平面平行，则一平面内的任一直线与另一面平行

(3)定义法-线面无公共点

技巧二.证明面面平行的方法：

(1)面面平行的判定定理L若一平面内的两相交直线都平行于另一平面，则两平面平行

(2)面面平行的判定定理2-垂直于同一直线的两平面平行

(3)面面平行的判定定理3-同时与第三个平面平行的两平面平行

技巧三.证明线线平行的方法

(1)线面平行的性质定理

(2)面面平行的性质定理-若一平面与两平行平面同时相交，则两交线平行

(3)线面垂直的性质定理-同时与一平面垂直的两直线平行

(4)公理4-平行于同一直线的两直线平行

(5)定义-两线共面且无公共点

技巧四证明线面垂直的方法

(1)线面垂直的判定定理-直线与平面内的两相交直线垂直

(2)面面垂直的性质-若两平面垂直，则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面

(3)线面垂直的性质-两平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直

(4)面面平行的性质-一条直线垂直于二平行平面之一，则必垂直于另一平面

(5)定义法一直线与平面内任一直线垂直

题型1线面平行的判定

【例题1](2021春・陕西汉中•高一校考期末)如图，正四棱锥。一口口口0m口口=2，口□=3，□口c

口口=口,皿侧棱勺中点.

(1)求证：tJUU钙口□□;

(2)求三棱锥口-S2勺体积.

【答案】(1)证明见解析

【分析】（I）由中位线的性质可得出OO//OO,再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）计算出点比！I底面的距离以及△勺面积，再利用锥体的体积公式可求得三棱锥

3世画只.

【详解】（1）证明：因为四边形£7000为正方形，口口门口□=口'则%05勺中点，

因为R006勺中点，她□□〃口口，

又因为ODC平面口口匚.,所以，D。/平面口£70.

（2）解：在正四棱锥£7-口口口小,力底面勺中心，则OO_L底面口£70。，

因为班中点，则点■!）平面OOOOM距离为/=三口口=1,

19

0032

111--X=-

=2□□口=2X2x44

193

此I

力

因X

==-XX-=-

3-34-4

【变式1-1]（2022春四JI修帛阳•高一校考期末）如图，正方体口□□□一口口】□[。，边长为2,口、侬

别为O&,Z7&中点.

⑴求证：□□”•□□□□；

（2）求异面直线£7。与&&所成角的大小.

【答案】⑴证明见解析

(2)45°

【分析】（I）连接OO,盛结合判定定理即可证明；

（2）根据题意，是两异面直线。口与&&所成角或其补角，再求解即可.

【详解】（1）证明：连接

♦:口、0分别为。&、口口、中点、，

又r/J/JC平面£7£7£7Z7,UEJu平面□□□□,

LJU//平面□口口口.

（2、解：・：□□“口□,□回〃口口,

是两异面直线。。与&&所成角或其补角,

•••△是等腰直角三角形，

:.乙口□□=45°,

•••两异面直线口。与&&所成角的大小为45°.

【变式1-2】（2022秋•陕西汉中•高一校联考期末）如图，在棱长为2的正方体OOOO-U.44口,中，

点、口6秒为棱口口1,O4的中点

(1)求证:0ali平面£700;

（2）求三棱锥OOO的体积.

【答案】Q）证明见解析

（2）|

【分析】（1）首先根据题意得到四边形。为平行四边形，从而得到sII,再根据线面平行

的判定即可证明.

（2）根据口〃_£7£7£7=。£7=£7£7£7求解即可.

【详解】（1）因为点口,侬别为棱口&,。4的中点，且口&II,

所以口口1iiuu,且口□、=,即四边形。。&%平行四边形.

所以口□“

因为ZZ7ZZ71，平面£7/Z7ZZ7,□□u平■向□□口,ZZ7/Z71|□,

所以oaii平面。oa

（2）因为OO是三棱锥。一的底面ooat的高，

又三角形。。F勺面积为gX2X1=1,

12

=□□-□□□=§x1x2=§.

【变式1-3]（2022春福建福州•高一校考期末如图正三棱柱dJ4中，□口=2‘□□[=V2,

N为AB的中点.

Q）求证：口口1II平面〃&〃；

⑵求A到平面Z70勺距离.

【答案】Q）证明见解析

【分析】（1）作辅助线，利用线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）求得三棱锥口-OOO0勺体积，根据=□□「□□□，求得答案.

【详解】（1）连接交&万点。超妾□口,

在正三棱柱。。。-4&&中四边形&为平行四边形，

故0为O&的中点，又N为AB的中点，聃

又□□U平面0平面,

所以O&II平面0a。；

（2）设点A到平面O4£题距离为d,

在正三棱柱。。。一口、口、口内口口\，平面Z7〃a

则口&为三棱推&一□□口高,试口口一口口口=1・口人□□□•,

因为oou平面所以1口□,则=、□仃+口民=V3,

又□□、□□口，口□U钙□口口故□□11口□,

又ZZ7/Z7J.□□□n□=□,□u平面ZZZZZZZZZi□[,

所以。平面〃□□、u平面口口口口],所以〃口口%

正三棱柱。。。一口1口1口1中，口口=2,奥\口口=足,

故4s4=gxV3xV3=|,=^XV3x1=y,

xx

故由ZZ7o_£7&£7=一□□□i可得:•□,|=^yV2z解得ZZ7=y,

故A到平面Z74。的距离为当

【变式1-4]（2010春•湖北孝感・高一统考期末）如图所示,在正方体£700。-5口1&&中，点N

在BD上，点M在□□上,且□□=口□,求证：□□“钙口□□、口.

【答案】证明见解析

【分析】方法一:作Z7O/。。，易证四边形。。。。为平行四边形，从而得到。。/。£7,即可得证.

方法二：连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接&C,从而可证OO//&C,结论即可得证.

【详解】证明证法一：如图所示，作口卧□口,交O4于点"忤□□[]□□，交AB于点F,连接EF,

:玄N京梅nnnri-&a&中，&。=□口,口口=□口,

□=□□.

.DU_aa_aa

''~ca~~aa~'

又口口11口口11口口11口口,

••・四边形OODO为平行四边形，，口。/。。.

□a平•面□□□[□、,□□□□□、□、,

平面□□□[□].

证法二：如图所示，连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接&D,

则&0<=平面。。&£71.易知△□□□一△□□□,

.UP_DD

"''aa~~aa'

又口口=口□,□]□=□□,：.口、□=口口,

□□_an_an

:・口口11口1口.

=~5D=~DD

・：□□,a/7u平面oz7a4,

:.□□II平面。ZZ7ZZZ|□、.

【变式1-5]（2022春・吉林长春・高一长春市第五中学校考期末）如图，已知四棱锥。-OZ7Z7G）底面

是直角梯形，□□1□□,□□1,□□1□□,□□=口口=2口口=2口口=4.

D

p

（1）若％侧棱口中］中点，求证：□□”强□□□;

⑵求三棱锥。-0s勺体积.

【答案】Q）证明见解析

⑵竽

【分析】（I）取口。的中点〃，通过叩/。。，即可证明口3/平面ODD；

（2）利用等积法，即□□_□□□=so求解即可

【详解】（1）取。中］中点口,连接口□,口□,

在仆auD^,□□“□□,□□=；□□

在梯形orzoB,□□“□□*□□=；□□

••・四边形。。是平行四边形，

而U［Ju平面□□□,淬苴□□□,

：./平面□□□;

D

p

（2）：□□工,口口工,而口口门口口=a

：.□口i平面□口□□,

即oo为三棱锥。一口。中）高，

因为£7/Z7_L口口,口口=2口口=4,

所以00=273,

又□*□□口~|口口，□□=；x4x2V3=4V3,

所以j□□=gx4V3x2=苧

题型2线面平行的性质

【例题2]（2022秋•陕西宝鸡•高一统考期末）如图所示，在四棱锥。-□□口口,□□”命□□□,

200=CD,腹。中中点.

（1）求证：口□;

（2）求证：口口//南口口口.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）本题可通过线面平行的性质证得。。〃口。；

（2沐题可取OO的中点O,连接口口、口口然后根据三角形的中位线的性质得出口□=□□,

再然后根据平行四边形的性质得出，最后根据线面平行的判定即可得出结果.

【详解】（1）因为钙口口口,口Ou平面睁口口□□□林□□口=口口,

而以

（2）如图，取的中点Z7,连接£70、口□,

因为a是。。的中点，所以

皿,□□=；□□，即以□□//□□,□□=,

则四边形ooaa是平行四边形，

因为评面OZ7O,□□《平面□□□,

所以平画□□□.

【变式2-1]（2021春•江苏南京•高一南京市中华中学校考期末）如图，在棱长都为2的正三棱柱。OO-

□Rid中，点。为口中）中点，点a为a&的中点，平面aaan平面□□□1=u.

（1）求直线与平面口。aa所成角的正弦值；

（2）求证：a

【答案】（1）白；（2）证明见解析.

【分析】（1）首先证明平面Z7Z7&4,说明N/7&O是直线Z74与平面&所成角,即可

求解；（2）利用线面平行的性质,以及平行关系的转化，即可证明.

【详解】（1）•••点中点，且△。。谒等边三角形，

:.Z7Z71□□,

□□[1平面Z7Z7Z7,二口口11ULJ,且UUc=U,

平面。,

二庭直线与平面。w所成角，

目口口=y□口=V3,=V22+22=2V2

所以爪。4。=器=金=尧

（2、量□□,

,・•点a别是。a的中点I*,•,□□=□□],目I□□*□□]=,

:,□□、〃□□,目□□]=□□]

二四边形OZ7Z74是平行四边形，

•••平面。。幼/平面aaa,。。（=平面。。。

**•□□]/平■面□[□]□、,□□U平■宙\□□□[

•••平面匚71二71。1n平面Z7Z74=U,

:.□□1I口,

二□[ZZ7///Z7

【变式2-2](2018秋•安徽阜阳•高一阜阳市红旗中学校考期末)如图，在三棱锥O-OZ7。中,□、侬

别是。Z7、。为勺中点，平面Z7OOn平面7700=Z7,求证：

(1)007平面。。口；

口□□”口.

【答案】(1)证明见解析；

⑵证明见解析.

【分析】Q)根据中位线性质定理得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果；

(2)根据线面平行性质定理得结论.

【详解】(1)■■-D.匚分别是□口、DO0勺中点，

又Z7Z7C面。£7□□□(=^口口口,

:面□□□.

(2)面□□□,£7£7u面Z7/7Z7,平面£7Z7£7n平面£7£7。=£7,

.■.UUHU.

【变式2-3]（2018春•云南昆明•高一校考期末）如图，在多面体Z7Z7Z7Z7OO中，,

UUW□口,平面OOOOn平面,乙□□□=60°,UU=2,□口=UU=1.

（1）求证：口口\\口□;

（2）求三棱锥。一£70勺体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）日.

【详解】试题分析：（1）由白£711£7£7,可证OZ7II平面。进而可证。。II□□工2）在平面。。。。

内作Z7O1口方点口,先证OO1平面ODOF,再算出百,利用锥体的体积公式即可得三棱推

口-型体积.

试题解析：（1）证明：・.,0Oil,Z7Z7u平面Z7Z7S,□□《钾口口口口,

又□□u平面□□口口,平面□□□□□平面□□口口=□口,

(2)解：在平面£700。内作OO1口方点、口,

,.,£7£7_L平面OZZ7ZZ7Z7,£7ZZ7u平面OZ7Z7O,

:.□□工

,:□口u平面□□□□,UUUULJU,UUc□口=口,

：.□□1平面□□□□.

.•.8是三麒。-S型高.

在RtA£7£7中,/.□□□=60°,□口=2,故£70=V3.

'：LJU1平面UULJU,UUu平面uuun,

:.□口[

由(1)知，UU\\□□,且。OilUU,

：.ULJV

11

XXdXX=V3-

3-2-—6

三棱锥。一£7000勺体积。=5xDnaaax口口=

考点：L线线平行、线面平行；2、锥体的体积；3、线面垂直.

【变式2-4]（2023春・全国•高一专题练习）如图，在正方体〃OS-a4&中，^£70中点,

□ia与平面。交于点o.

(1)求证：/面口口1口:

⑵求证：的中点.

【答案】Q)证明见解析.

(2)证明见解析.

【分析】(1)证明□&〃04,然后由线面平行的判定定理得证；

(2)由线面平行的性质定理得线线平行，从而可证得结论成立.

【详解】(1)因为□□与口&平行且相等，所以a是平行四边形，即以□□[〃□口、,

又O/Z7iu平面/Z7ZZ71£7,□C平■面□□、口,

所以口口山平面口口1口；

(2)由(1)睛□□、口,u平面□□□【□],平面。4£7n平面□□□3、=.

所以口□川口口,又。是〃4中点，

所以。是&&中点.

【变式2-5X2023春・山东滨州•高一统考期中如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为梯形，□口\\口□,

AB=2CD,设平面PAD与平面PBC的交线为I,PA,PB的中点分别为E,F,证明：。/平面DEF.

【答案】证明见解析

【分析】延长AD,BC交于点M,根据线面平行判定定理证明£70〃平面DEF,然后根据线面平行性质证

明口/平面DEF.

【详解】证明：延长AD,BC交于点M,因为。5口□,AB=2CD,

A

所以D为AM的中点，因为PA的中点为E,所以£7。||口口,

因为OOu平面DEF,OOC平面DEF,所以Z7。//平面DEF,

又P,De平面PAD,P,De平面PBC,

所以平直OOOn平面PBC=PM,即直线I为直线PM.

所以。//平面DEF.

题型3面面平行的判定

【例题3】(2022春•广西百色•高一校考期末)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段B1D1

上的一个动点,E,F分别是BC,CM的中点.

(1)求证：EFII平面BDD1B1;

⑵设G为棱CD上的中点，求证：平面GEFII平面BDD1B1.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据线面平行的判定定理求证即可；

(2)根据面面平行的判定定理证明即可.

【详解】(1)证明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接BM,如图，

因E,F分别是BC,CM的中点，

则有EFUBM,

又EFC平面BDD1B1,BMu平面BDD1B1,

所以EFII平面BDD1B1.

(2)证明：取CD的中点G,连接EG,FG,如图，

而E是BC的中点,

于是得EGIIBD,

而EGC平面BDD1B1,BDu平面BDD1B1,

从而得£6|1平面8口口阴1,

由（1）知EFll平面BDD1B1,

EFnEG=E，且EF、EGu平面GEF,

因止匕,平面GEFll平面BDD1B1,

所以当G是DC的中点时，

平面GEFII平面BDD1B1.

【变式3-1]（2018秋・陕西咸阳•高一统考期末）如图，已知四棱锥。一口口口田,底面ABCD为平行

四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证：

P

⑴OOI平面PCD;

⑵平面OZ7Z7II平面PBC.

【答案】Q）证明见解析；

（2）证明见解析•

【分析】（1）利用三角形中位线证明MNIIPC即可；

（2）利用中位线证明NQIIPB,结合（1）中结论即可证明.

【详解】（1）由题意，四棱推勺底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、

PD的中点，，N是AC的中点，，Z7Z7ll£7Z7,

,RZJu平面PCD,27。仁平面PCD,

.,.Z7Z7II平面PCD;

(2)由⑴知OOI□□,L7〃u平面PBC,平面PBC,

.,.MNU平面PBC,

.ABCD为平行四边形，；.N是BD中点，又「Q是PD中点，

.■.在WBD中,NQllPB,

.PBu平面PBC,NQC平面PBC,.〔NQll平面PBC,

•.•MNONQ=N,MN.NQu平面MNQ,

.,.平面。。Oil平面PBC.

【变式3-2](2022秋•辽宁沈阳•高一新民市第一高级中学校考期末)如图，已知点P是平行四边形ABCD

所在平面夕一点，M、N分别是AB、PC的中点

(1)求证：MN〃平面PAD;

(2)在PB上确定一个点Q,使平面MNQ〃平面PAD.

【答案】(1)证明见解析；(2)当。在的中点时，平面平面OZ7a

【分析】(1)取Z7O中点Z7,趣妾口口,口口,利用面面平行的判定定理证明平面DDZ7//平面OOZ7,

即可证明。平面；

(2)假设第一问的OBU为所求,再利用面面平行进行证明.

【详解】(1)证明：取口。中点。，连接oa□口,

•••口,/别是口口,的中点，

又ZZ7OC面Z7£7O,□□□口□,

:I面□□□.

同理可证:面□□□.

又UUu面□□□.£7£7u面Z7Z7Z7,£7ZZ7n□□=□,

平面£7007/平面□□口,

□□u平面□□□,

£70〃平面£70。

(2)解：假设第一问的OBP为所求

"。在口OQ勺中点,

•••口、。分别是的中点，O为口5勺中点

]□□尽I□口

则0/7〃平面□□□,Z7O//平面□□口

且Z7Z7n□□=£7

所以平面。口口〃平面□□□.

所以第一问的a点即为所求,当。在0世中点时，雁□□□“平面□□□.

【点睛】（1）立体几何中位置关系的证明一般用判定定理；

（2）存在性问题的证明：先假设存在，在进行证明.如果存在,可以证明；如果推出矛盾，则不存在.

【变式3-31（2021春・山东临沂・高一统考期末）如图，四边形0002是矩形，£701平面080,00,

平面ZZ7ZZ7OZZ7,口□-3,口□—口口-2口□—2.

（1）证明：平面平面。。A

（2）求三棱锥O—OOO的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【分析】（1）要证面面平行，只要证一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面即可得解；

（2）通过转体积法由ZJOADO、0am涸］可得解.

【详解】（1）因为口口^^□□口口,,所以0011口□,

又因为ODu平面。匚江7,睁□□□,所以DDII平面。zzza

在矩形OOO3，口□,£7Du平面OOO,雁□□□,

所以£70II平面£700..

又OZ7C□□=□,所以平面OZ7Z7II平面OZ7Z7

（2）因为OD1平面OOS,所以□□工,

在矩形OOZZ7G□口1口□,

又口口门口口=口,所以□□母面□□□.

易证。£7II平面。OO,所以点。到平面口口勺距离为。。,

所以□□-□□□—口□-□□□=gxx3x1x2—1.

【变式3-4]（2021春・浙江•高一期末）如图所示,在正方体£70。0一&&&&中，E,F,G,H分

别是OZ7,□□[,口口1,aS）中点.求证：

---------------------71G

（1）;

（2）£70〃平面

（3）平面。。切/平面口口D.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）取。&中点连接oaoo,先证明四边形OOO与平行四边形，再证明四边形

为平行四边形可得；

（2）连接OD,交口方口,连接口。,通过证明四边形aOO磔平行四边形得出none,ZTRT

证；

（3）通过。切/£7&得£70/平面口□、口,通过j得□0//平面口&。可证明.

【详解】（1）取口口中点。，连接oa口口,

•••□是口口、中彘，:.□uiiun^□口=□口,

•••DDIIDD,□□=口口,DDUDD,□口=□□,

则四边形OOZ7O为平行四边形•D/JIIDn,

•••口是口口、中点、，工口口秋□、口，□口=口]□,

则四边形磔平行四边形，二口口旧口1，二口□"□□l;

(2)母妾Z7Z7,交UKU,连接。口，□□[,

V口,£%□□,口/彘,1•,口口口口口,口□=；口口,

1­1£%&&中点，二口1unuu,a□=g□□,

□、口11口□,&£7=,••.四边形•。£7力平行四边形，□□HID,

□、口u平■牛。ZZZ|□、口,□□C平'囿ZZ7ZZ7i□、口,OZZW平[6]□□、□、口;

(3)由(1)□□“□口、,■：口口1u平面01口1口,/7£79平面；.平面

又正方体中，□□、〃□□、,□□、=□□一则四边形4%平行四边形，

UUHUyUy,u平面L7i£7iO,ZZ7OC平面aa£7,二£70/平面&&£7,

LJUc\UU=£7,.,.平面/7£7切/平面£71£71£7

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确理解线面平行、面面平行的判定定理.

【变式3-5](2020春•安徽六安•高一六安一中校考期末)已知正方体O。。。-J口、口4的棱长为1,

如图所示.

（i）求证：平面4〃平面&□□；

（2）试找出体对角线40与平面a和平面&的交点口，口,求口□.

【答案]（1）证明见解析；（2）口£7='

【分析】（1）先证。4〃平面口口口,再证aa〃平面&□□,再由0an&&=4,u平

面口1u平面4,可得平面。|〃平面口口。；

（2）先连接口口、,交口a于点a,连接Z7&,与&U交于点E,可得点E就是口若平面。4口

的交点；再连接AC,交BD于点0,连接&D,与a。交于点F,可得点F就是&。与平面&的

交点，而后证□□=□□=%口、□,最后进行简单的运算即可得解.

【详解】（1）在正方钵口□□□-d□、口1口1中,

所以四边形□、a是平行四边形所以。&〃&u,

又u平面口\□□,[JUy2平面Uy□□,

所以□□川平面口1口口,

同理。）&//平面人□口

又□□、c□]□、=□、，□□、u平面oaq,u平面zzzaa,

所以平面O4。1〃平面&□□；

（2）如图，连接&d,交口[□于点4,连接。4,与&匕交于点E,

因为u平面。&&,

所以点E也在平面a内，

所以点E就是&若平面&的交点，

同理，连接AC,交BD于点0,连接4口,与0微于点F,

则点F就是aa与平面0o口勺交点，

下面证明□[□=口口=□口,

因为平面a□、On平面ZZ7a□、=,平面a□、Ori平面a□□=,

平面。aa//平面4DU,所以□□出口1口,

在乙aa。中因为a是aa的中点，

所以E是4，的中点，郎口、口=口口

同理可证£70/00，所以F是CE的中点，或□□=□□,

所以&□=□口=口口=2口,0Q=JI2T（V^=焉,

所以。£7=日.

【点睛】本题考查面面平行的证明，考查面面平行的性质，考查空间想象能力和运算求解能力，属于常考

题.

题型4面面平行证明线线平行

【例题4］（2018春•广东广州•高一校联考期末）如图，四棱锥□□□傥,底面口。是直角梯

形，□□L□口,□□=2口口=2口口=4，侧面00al等腰直角三角形,□□=口□,

平面口口□1平面口口口口，彘口，为中、愚羞口□,口口血点、,平面□□□//平面□□□

（I）确定点a勺位置，并说明理由；

（n）求三棱锥。一8中）体积.

【答案】（I）见解析（n）□□-□□口=I

【详解】试题分析：（1）根据面面平行的性质得到nn//no,根据平行关系和长度关系得

到点腹。中］中点，点腹OUK中点；（2）□□一□□口=\□□一□□□,□□=口□,

所以£7£7,,进而求得体积.

详解：

（1）因为平面£7叩//平面£70。，畸□□□□平面口□□口=口□,

平面□□□「平面□□口口=口口,耐以□□//□□,又因为。夕/。〃，

所以四边形oooa是平行四边形，所以口口=

即点。是口。的中点.

因为平面。O。//平面OZ7。，平面OOOn平面。。£7=,平面□□□□平面口□□=,

诉以又因为点2是£70的中点，所以点。是。中］中点，

综上：口,2分别是oaoB）中点；

（n）因为口口,所以OOJL,又因为平面SZ71平面OZ7。。，

耐以口□＞平面□□□□;又因为。3/〃口。01口口,

11112

所以□□-口口口=-□□-□□□=g□□口□□x□□=-x-x2x2x2=-.

点睛:这个题目考查了面面平行的性质应用，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一般直接应用公式

底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，

或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.

【变式4-1]（2021秋・内蒙古鄂尔多斯・高一鄂尔多斯市第一中学校考期末）如图，在三棱柱Z7Z70-

□Pi□、中，点。，口1分别为口□,&&上的动点，若平面□□】□//平面,请问器是否为定

【答案】是定值1,理由见解析.

【分析】连接。1改ju、于点、口,连接，由平面O&on平面。&&,得到n,□口H

□□i，则四边形a是平行四边形，根据&□、=仙口彳导到口1口、=；口1口「三口口,

从而可得需=1

【详解】解：如图，连接口。交。&于点口，连接£74,由棱柱的性质，可知四边形&S&为平行

四边形，

所以孕勺中点，

因为平面口口、Uw平面口,且平面□、□□、。平面□、=□]□,平面□、□□、c平面□=

□口、,

所以口口11I,

所以功为线段&&的中点，所以&口「三口、口、,

因为平面口4〃11平面。。1口1,平面□□[□、□（＞平面□□□]=□□、,平面DaqZ7n平面

□□、□、=□□,,

所以£74II□□],

因为所以四边形是平行四边形，

所以□口=aa=；&&=；oo,

【变式4-2]（2023春•全国•高一专题练习）在三棱柱OZ7O-口功口中,

⑴若口，□口，分别是也口口,口1口,07的中点，求证：平面口口口,1平■面□□□□.

⑵若点□□期是口口,上的点，且平面平面OO/O7,试求第勺值.

【答案】Q）证明见解析

⑵1

【分析】（1）分别证明00/平面DDZ7D、口1□怦面口口口四可;

（2）连接£7,U交Z7O,于O,连接£70/,由面面平行的性质定理可得。。〃。，口口口川口口,然后可

得答案.

【详解】（1）,:口,侬别是。/格中点口口,

□口C平面□□□□,□口U平面□□口口,

：.£70/平面□□□□,

・•,□QU口□,O/OOO,.•・四边形。7。。。是平行四边形，

:.口1口11口口,又：口］□＜（^^口口口口,口口0^^口口口口,

口［口11平面口口口□,

又£7彳/17n□□=□,□1□>□□u平面/ZZ/ZZ/Z7',平面□□口□□□□.

连接O/U交口。7于Z7,连接OO7,

由平面平面,且平面。/00/。平面口口1,平面口1口口10^^口口1口1=

口1口,

/1口1□,同理可得。口〃/!?。/,

所以然=甯=7,即d为线段OQ,的中点，

口1口1LJLJ

所以中线段口勺中点，即焉=1.

【变式4-3]（2020春湖北•高一校联考）如图，四棱锥D-。£7口中）底面是边长为8的正方形，四条

侧棱长均为2枚，点分别是棱户8/8.OCPC上共面的四点，。。//平面GEFH.

（2）若口口=2,平面£7。。〃平面GEFH,求四边形G£7H的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）竿.

【分析】（1）由线面平行的性质可得〃口口□"□□,即可得证；

（2）由面面平行的性质可得£707/00,即可求出00=?，同理。口=?，再求出£7。，□□‘即可

求出面积;

【详解】平面GEFH,

又,.,L7ZZ7U平面26c且平面OOOn平面O£7OO=口口,

又•.Z7。/平面GEFH,

又：□□u平面ABCD^^面□□□□(\^^口口口口=ULJ,

(2)•.・平面Z7Z7。/平面GEFH,

又,.・平面□□□n平面UUU=□口,且平面□□□n平面□□口□=□□,

■:□□〃□□「：□□=：口口,:.口口=泪口=耳,

同理。£7==£70=?，

又由(1)知,：.口口=彳口口=6.

在四娜GEFH中:口口=口口=吟□口=6,□□=8S.DDI/DD,

四边形G£■厂”为等腰梯形，

如图所示：过G作GV垂直于EF于M,

过以作G/V垂直于EF千N,

在直角△UDU^,□□=y/DlJ2-DLf=苧,

:•□梯形口□□口=知□+□口.□口=享

【点睛】本题考查线面平行的判定与性质，考查梯形面积的计算，正确运用线面平行的判定与性质是关键，

属于中档题.

题型5面面平行证明线面平行

【例题5](2021秋•江西景德镇•高一景德镇一中校考期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，皿口口

(1)若此三棱柱为正三棱柱，且功□=圾□[口],求异面直线。&与所成角的大小；

(2)求证：〃平面00a.

【答案】(1)60°；(2)证明见解析

【分析】(1)取&&中点0,连接au,口□,口口,可得&ainn,得出工。&。即为异面直线

与。。所成角，求出即可；

(2)先通过平面OOa和£70/平面£7£70得出平面。0。/平面，即可证明.

【详解】(1)取&&中点口,连接口口,口□,口□,

•••在三棱柱中，U,。是中点，则,

••・四边形是平行四边形，二口、口1口□,

为异面直线。&与所成角或其补角，

・•・三棱柱为正三棱柱，设底面边长为2,a。=夜&a=2夜，

22

则0/7=J(2V2)+1=3,=J(275)2+*=273,n1Z7=^x2=V3,

:・cos4□□、口=乏等2=',•"口□、0=60°,

12x2\/3xV32'1'

所以异面直线aa与OO所成角的大小为60°；

(2)由(1)可知口1口"口口,&。仁平面,UUu平面□□口、,

/平面Z7Z74,

••・D,。是中点，二口口、Q。£7,••.四边形。O&侬平行四边形，;□□〃□、口,

••,ZI7Z70平面£7Z7/Z7i,4£7u平面Z7O7平面£7Z7/Z7i,

,••口、口c=£7,平面£7/7。/平面OZ7Z7i,

u平■rfliZZ7Z17i□,〃平面ZZ7/Z7£7i.

B

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直

线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,同，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

直线所成的角.

【变式5-1](2020春•北京•高一101中学校考期末)如图，三棱柱OOZ7-4&&中，D,E,F分别

为棱OO,口□,口&中点.

(1)求证：O切/平面口□;

(2)求证：平面&UU.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】(1)由已知利用三角形的中位线的性质可证OB/OO,进而利用线面平行的判定定理即可证明

(2)由已知可证。002是平行四边形，进而证明。利用线面平行的判定证明"/平面

口、口口,根据面面平行的判定证明平面。。O/平面根据面面平行的性质即可可证。。/平面

【详解】(1)在4口口*,D,E分别为棱。。,£70中点

所以

因为OOu平面&£7£7,Z7OC平面4£7/7,

所以□□怦面

(2)在三棱柱。口O-口］□［□称.ULHd口1,

因为E,F分别为O。，&&中点，

所以£70II□口

所以aooa是平行四边形，

所以□□“□［口,

因为ZZ7ZI7C平面ZZ72I7,□、口□,

所以平面口1口口,

又因为£7。/平面口□□,口□n□口=口,

所以平面0OB/平面&口口,

所以平面口[□□.

【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用面面平行证明面面平行，属于基础题.

【变式5-2](2022秋・甘肃嘉峪关•高一统考期末)如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,

F,P,Q分别是BC,C1D1,ADI,BD的中点，求证：

(1)PQII平面DCC1D1

(2)EFII平面BB1D1D.

【答案】(1)(2)证明见解析

【详解】试题分析：(1)连结AC、D1C,Q是AC的中点，从而PQIID1C,由此能证明PQll平面DCC1D1.

(2)取CD中点G,连结EG、FG,由已知得平面FGEII平面BB1D1D,由此能证明EFII平面BB1D1D.

(1)证明：连结AC、D1C,

••1ABCD是正方形，，Q是AC的中点，

又P是AD1的中点，.PQllD1C,

•.PQC平面DCC1D1,DICu平面DCC1D1,

.•.PQH平面DCC1D1.

（2）证明：取CD中点G,连结EG、FG,

•.E,F分别是BC,C1D1的中点，

.,.FGIIDID,EGIIBD,

又FGnEG=G,平面FGEil平面BB1D1D,

•;EFu平面FGE,.〔EFII平面BB1D1D.

/：'Q

/\J

：分…二

/一一"Q、、、]/

AB

考点：直线与平面平行的判定.

题型6线面垂直的判定

【例题6]（2022秋•陕西延安•高一校考期末）如图，。理圆柱体O方的-一条母线,底面圆厅勺

直径，。是圆。上不与O,看合的任意一点.

\'\、1i

\\:

\X

\1、、

\!\

D

⑴求证：□□母面□□□;

⑵若□口=□□=10,口口=8,求三棱锥。一。0小勺体积.

【答案】Q）证明见解析

（2）80

【分析】（1）利用线面垂直判定定理即可证明。口，平面。。口；

（2）先求得三棱锥勺高，进而求得三棱推。-体积.

【详解】（1）・••点2E以〃％直径的圆上，,

•••Z7O1平面Z7Z7£7,UUu平面□□□,：.□□L.

又OZZZci□口=口,£7/Z7u平面ZZ7/Z7/Z7,□□u平面口口口

ZZ7Z271平面OOZ7.

（2）在RhSB,□□=VZ7/J2-DtJ-=V