2025届东北三省四市教研联合体高三5月月考（数学试题文）试卷含解析

2025届东北三省四市教研联合体高三5月月考（数学试题文）试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）A． B． C． D．2．如图，四边形为正方形，延长至，使得，点在线段上运动.设，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（）A． B． C．或 D．4．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A． B． C． D．5．函数在的图像大致为A． B． C． D．6．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C． D．7．已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．8．已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（）A． B． C． D．10．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值是（）A． B． C． D．12．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的对称轴与准线的交点为，直线与交于，两点，若，则实数__________．14．已知函数，若在定义域内恒有，则实数的取值范围是__________．15．已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则______．16．在平面直角坐标系中，曲线在点处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数.若点，的面积为3，则的值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点、分别为，的中点，且平面平面.（1）求证：平面.（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，的面积为.（1）求证：；（2）若，求的值.19．（12分）已知函数，若的解集为．（1）求的值；（2）若正实数，，满足，求证：．20．（12分）数列满足，，其前n项和为，数列的前n项积为.（1）求和数列的通项公式；（2）设，求的前n项和，并证明：对任意的正整数m、k，均有.21．（12分）如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，，，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体（1）求证：（2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值；（3）若平面底面，求六面体的体积的最大值.22．（10分）已知函数.（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，要使恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

因为时针经过2小时相当于转了一圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为.故选：B本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.2．C【解析】

以为坐标原点，以分别为x轴，y轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.【详解】以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形的边长为1，则，，设，则，所以，且，故.故选：C.本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.3．D【解析】

先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论.【详解】，若在上不单调，令，则函数对称轴方程为在区间上有零点（可以用二分法求得）.当时，显然不成立；当时，只需或，解得或.故选:D.本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.4．B【解析】

求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5．B【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．6．D【解析】

设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.【详解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影为.故选：D.本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.7．B【解析】

利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值．【详解】数列是公比为的正项等比数列，、满足，由等比数列的通项公式得，即，，可得，且、都是正整数，求的最小值即求在，且、都是正整数范围下求最小值和的最小值，讨论、取值.当且时，的最小值为.故选：B．本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．8．A【解析】

函数的零点就是方程的解，设，方程可化为，即或，求出的导数，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出的范围．【详解】由题意得有四个大于的不等实根，记，则上述方程转化为，即，所以或．因为，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得最小值，最小值为．因为，所以有两个符合条件的实数解，故在区间上恰有四个不相等的零点，需且．故选：A．本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．9．D【解析】

三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决.【详解】由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种，故甲、乙两人在同一个单位的概率为，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为.故选：D.本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.10．B【解析】

画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：根据图像知：，，故，且.故.故选：.本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.11．B【解析】

由题意可得，且，故有①，再根据，求得②，由①②可得的最大值，检验的这个值满足条件．【详解】解：函数，，为的零点，为图象的对称轴，，且，、，，即为奇数①．在，单调，，②．由①②可得的最大值为1．当时，由为图象的对称轴，可得，，故有，，满足为的零点，同时也满足满足在上单调，故为的最大值，故选：B．本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题．12．B【解析】

根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式．【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，即判断框内的不等式应为或所以选C本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由于直线过抛物线的焦点，因此过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义及平行线性质可得，从而再由抛物线定义可求得直线倾斜角的余弦，再求得正切即为直线斜率．注意对称性，问题应该有两解．【详解】直线过抛物线的焦点，，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义知，．因为，所以．因为，所以，从而．设直线的倾斜角为，不妨设，如图，则，，同理，则，解得，，由对称性还有满足题意．，综上，．本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键．14．【解析】

根据指数函数与对数函数图象可将原题转化为恒成立问题，凑而可知的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定的取值范围.【详解】由指数函数与对数函数图象可知：，恒成立可转化为恒成立，即恒成立，，即是夹在函数与的图象之间，的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.设过原点且与相切的直线与函数相切于点，则切线斜率，解得：；设过原点且与相切的直线与函数相切于点，则切线斜率，解得：；当时，，又，满足题意；综上所述：实数的取值范围为.本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.15．18【解析】

由题意得函数f（x）与g（x）的图像都关于点对称，结合函数的对称性进行求解即可．【详解】函数为奇函数，函数关于点对称，，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，，…，,两两关于点对称，.故答案为：18本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.16．【解析】

对求导，再根据点的坐标可得切线方程，令，可得点横坐标，由的面积为3，求解即得.【详解】由题，，切线斜率，则切线方程为，令，解得，又的面积为3，，解得.故答案为：本题考查利用导数研究函数的切线，难度不大.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）见解析（2）【解析】

（1）首先可得，再面面垂直的性质可得平面，即可得到，再由，即可得到线面垂直；（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；【详解】解：（1）∵，点为的中点，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又∵，分别为，的中点，∴，∴，又平面，平面，，∴平面.（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，∵，∴，，，，∴，，，设平面的法向量为，由，得，令，得，∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法求线面角，属于中档题.18．（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）利用，利用正弦定理，化简即可证明（2）利用（1），得到当时，，得出，得出，然后可得【详解】证明：（1）据题意，得，∴，∴.又∵，∴，∴.解：（2）由（1）求解知，.∴当时，.又，∴，∴，∴.本题考查正弦与余弦定理的应用，属于基础题19．（1）；（2）证明见详解.【解析】

（1）将不等式的解集用表示出来，结合题中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式证明.【详解】解：（1），，，因为的解集为，所以，；（2）由（1）由柯西不等式，当且仅当，，，等号成立．本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.20．（1），；（2），证明见解析【解析】

（1）利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结论．【详解】（1），，得是公比为的等比数列，，，当时，数列的前项积为，则，两式相除得，得，又得，；（2），故.本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前项和的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．21．（1）证明见解析（2）（3）【解析】

根据折叠图形，，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据平面，得到.（2）根据，以为坐标原点，为轴建立空间直