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文档简介
2024-2025学年天津南开中学高三数学试题第四次月考试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(其中i为虚数单位),则复数z的虚部是()A. B.1 C. D.i2.在条件下,目标函数的最大值为40,则的最小值是()A. B. C. D.23.()A. B. C.1 D.4.若,满足约束条件,则的最大值是()A. B. C.13 D.5.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“”表示一个阳爻,“”表示一个阴爻).若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦,这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为()A. B. C. D.6.已知定义在上的函数的周期为4,当时,,则()A. B. C. D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点M,若、M是线段AB的三等分点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.8.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从名男生,,和名女生,,中各随机选出两名,把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则和两人组成一队参加比赛的概率为()A. B. C. D.9.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入的值为2,则输出的值为A. B. C. D.10.《普通高中数学课程标准(2017版)》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为5分,分值高者为优),则下面叙述正确的是()A.甲的数据分析素养高于乙B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差D.乙的六大素养整体平均水平优于甲11.在中,,分别为,的中点,为上的任一点,实数,满足,设、、、的面积分别为、、、,记(),则取到最大值时,的值为()A.-1 B.1 C. D.12.半径为2的球内有一个内接正三棱柱,则正三棱柱的侧面积的最大值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知若存在,使得成立的最大正整数为6,则的取值范围为________.14.(5分)已知曲线的方程为,其图象经过点,则曲线在点处的切线方程是____________.15.已知,满足约束条件,则的最小值为______.16.已知双曲线的两条渐近线方程为,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,均为给定的大于1的自然数,设集合,.(Ⅰ)当,时,用列举法表示集合;(Ⅱ)当时,,且集合满足下列条件:①对任意,;②.证明:(ⅰ)若,则(集合为集合在集合中的补集);(ⅱ)为一个定值(不必求出此定值);(Ⅲ)设,,,其中,,若,则.18.(12分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线:.过点的直线:(为参数)与曲线相交于,两点.(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若,求实数的值.19.(12分)已知函数(1)当时,若恒成立,求的最大值;(2)记的解集为集合A,若,求实数的取值范围.20.(12分)的内角、、所对的边长分别为、、,已知.(1)求的值;(2)若,点是线段的中点,,求的面积.21.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1(1)求数列{an}(2)设cn=bnan,求数列22.(10分)如图,在直角中,,,,点在线段上.(1)若,求的长;(2)点是线段上一点,,且,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由虚数单位i的运算性质可得,则答案可求.【详解】解:∵,∴,,则化为,∴z的虚部为.故选:A.本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念,属于基础题.2.B【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到最值点,再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示,画出可行域和目标函数,根据图像知:当时,有最大值为,即,故..当,即时等号成立.故选:.本题考查了线性规划中根据最值求参数,均值不等式,意在考查学生的综合应用能力.3.A【解析】
利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式,结合复数的模长公式可求得结果.【详解】,,因此,.故选:A.本题考查复数模长的计算,同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用,考查计算能力,属于基础题.4.C【解析】
由已知画出可行域,利用目标函数的几何意义求最大值.【详解】解:表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方,画出不等式组表示的可行域,如图,由解得即点到坐标原点的距离最大,即.故选:.本题考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想以及运算求解能力,属于基础题.5.B【解析】
基本事件总数为个,都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个,由此求出概率.【详解】解:由图可知,含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦,取出两卦的基本事件有(巽,离),(巽,兑),(巽,乾),(离,兑),(离,乾),(兑,乾)共个,其中符合条件的基本事件有(巽,离),(巽,兑),(离,兑)共个,所以,所求的概率.故选:B.本题渗透传统文化,考查概率、计数原理等基本知识,考查抽象概括能力和应用意识,属于基础题.6.A【解析】
因为给出的解析式只适用于,所以利用周期性,将转化为,再与一起代入解析式,利用对数恒等式和对数的运算性质,即可求得结果.【详解】定义在上的函数的周期为4,当时,,,,.故选:A.本题考查了利用函数的周期性求函数值,对数的运算性质,属于中档题.7.D【解析】
根据题意,求得的坐标,根据点在椭圆上,点的坐标满足椭圆方程,即可求得结果.【详解】由已知可知,点为中点,为中点,故可得,故可得;代入椭圆方程可得,解得,不妨取,故可得点的坐标为,则,易知点坐标,将点坐标代入椭圆方程得,所以离心率为,故选:D.本题考查椭圆离心率的求解,难点在于根据题意求得点的坐标,属中档题.8.B【解析】
根据组合知识,计算出选出的人分成两队混合双打的总数为,然后计算和分在一组的数目为,最后简单计算,可得结果.【详解】由题可知:分别从3名男生、3名女生中选2人:将选中2名女生平均分为两组:将选中2名男生平均分为两组:则选出的人分成两队混合双打的总数为:和分在一组的数目为所以所求的概率为故选:B本题考查排列组合的综合应用,对平均分组的问题要掌握公式,比如:平均分成组,则要除以,即,审清题意,细心计算,考验分析能力,属中档题.9.C【解析】
由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的,的值,当时,不满足条件,跳出循环,输出的值.【详解】解:初始值,,程序运行过程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循环,输出的值为其中①②①—②得.故选:.本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到,的值是解题的关键,属于基础题.10.D【解析】
根据雷达图对选项逐一分析,由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A选项,甲的数据分析分,乙的数据分析分,甲低于乙,故A选项错误.对于B选项,甲的建模素养分,乙的建模素养分,甲低于乙,故B选项错误.对于C选项,乙的六大素养中,逻辑推理分,不是最差,故C选项错误.对于D选项,甲的总得分分,乙的总得分分,所以乙的六大素养整体平均水平优于甲,故D选项正确.故选:D本小题主要考查图表分析和数据处理,属于基础题.11.D【解析】
根据三角形中位线的性质,可得到的距离等于△的边上高的一半,从而得到,由此结合基本不等式求最值,得到当取到最大值时,为的中点,再由平行四边形法则得出,根据平面向量基本定理可求得,从而可求得结果.【详解】如图所示:因为是△的中位线,所以到的距离等于△的边上高的一半,所以,由此可得,当且仅当时,即为的中点时,等号成立,所以,由平行四边形法则可得,,将以上两式相加可得,所以,又已知,根据平面向量基本定理可得,从而.故选:D本题考查了向量加法的平行四边形法则,考查了平面向量基本定理的应用,考查了基本不等式求最值,属于中档题.12.B【解析】
设正三棱柱上下底面的中心分别为,底面边长与高分别为,利用,可得,进一步得到侧面积,再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为,底面边长与高分别为,则,在中,,化为,,,当且仅当时取等号,此时.故选:B.本题考查正三棱柱与球的切接问题,涉及到基本不等式求最值,考查学生的计算能力,是一道中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由题意得,分类讨论作出函数图象,求得最值解不等式组即可.【详解】原问题等价于,当时,函数图象如图此时,则,解得:;当时,函数图象如图此时,则,解得:;当时,函数图象如图此时,则,解得:;当时,函数图象如图此时,则,解得:;综上,满足条件的取值范围为.故答案为:本题主要考查了对勾函数的图象与性质,函数的最值求解,存在性问题的求解等,考查了分类讨论,转化与化归的思想.14.【解析】
依题意,将点的坐标代入曲线的方程中,解得.由,得,则曲线在点处切线的斜率,所以在点处的切线方程是,即.15.2【解析】
作出可行域,平移基准直线到处,求得的最小值.【详解】画出可行域如下图所示,由图可知平移基准直线到处时,取得最小值为.故答案为:本小题主要考查线性规划求最值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.16.【解析】由已知,即,取双曲线顶点及渐近线,则顶点到该渐近线的距离为,由题可知,所以,则所求双曲线方程为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ);(Ⅱ)(ⅰ)详见解析.(ⅱ)详见解析.(Ⅲ)详见解析.【解析】
(Ⅰ)当,时,,,,,,.即可得出.(Ⅱ)(i)当时,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否则得出矛盾.(ii)由.可得.又,即可得出为定值.(iii)由设,,,,其中,,,2,,.,可得,通过求和即可证明结论.【详解】(Ⅰ)解:当,时,,,,,..(Ⅱ)证明:(i)当时,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否则,而,与已知对任意,矛盾.因此有.(ii)..,为定值.(iii)由设,,,,其中,,,2,,.,..本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.18.(1),;(2).【解析】
(1)将代入求解,由(为参数)消去即可.(2)将(为参数)与联立得,设,两点对应的参数为,,则,,再根据,即,利用韦达定理求解.【详解】(1)把代入,得,由(为参数),消去得,∴曲线的直角坐标方程和直线的普通方程分别是,.(2)将(为参数)代入得,设,两点对应的参数为,,则,,由得,所以,即,所以,而,解得.本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.19.(1);(2)【解析】
(1)当时,由题意得到,令,分类讨论求得函数的最小值,即可求得的最大值.(2)由时,不等式恒成立,转化为在上恒成立,得到,即可求解.【详解】(1)由题意,当时,由,可得,令,则只需,当时,;当时,;当时,;故当时,取得最小值,即的最大值为.(2)依题意,当时,不等式恒成立,即在上恒成立,所以,即,即,解得在上恒成立,则,所以,所示实数的取值范围是.本题主要考查了含绝对值的不等式的解法,以及不等式的恒成立问题的求解与应用,着重考查了转化思想,以及推理与计算能力.20.(1)(2)【解析】
(1)利用正弦定理的边化角公式,结合两角和的正弦公式,即可得出的值;(2)由题意得出,两边平方,化简得出,根据三角形面积公式,即可得出结论.【详解】(1)由正弦定理得即即在中,,所以(2)因为点是线段的中点,所以两边平方得由得整理得,解得或(舍)所以的面积本题主要考查了正弦定理的边化角公式,三角形的面积公式,属于中档题.21.(1)an=(2)Tn【解析
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