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文档简介
2024-2025学年内蒙古包头市稀土高新区二中高三年级模拟考试(三)数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,以下结论正确的个数为()①当时,函数的图象的对称中心为;②当时,函数在上为单调递减函数;③若函数在上不单调,则;④当时,在上的最大值为1.A.1 B.2 C.3 D.42.已知函,,则的最小值为()A. B.1 C.0 D.3.在中,为上异于,的任一点,为的中点,若,则等于()A. B. C. D.4.1777年,法国科学家蒲丰在宴请客人时,在地上铺了一张白纸,上面画着一条条等距离的平行线,而他给每个客人发许多等质量的,长度等于相邻两平行线距离的一半的针,让他们随意投放.事后,蒲丰对针落地的位置进行统计,发现共投针2212枚,与直线相交的有704枚.根据这次统计数据,若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针,则针落地后与直线相交的概率约为()A. B. C. D.5.已知复数,,则()A. B. C. D.6.若双曲线:的一条渐近线方程为,则()A. B. C. D.7.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦点F的坐标为(c,0),点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点,O为坐标原点,满足|OA|=A.2 B.2 C.2338.已知复数,其中,,是虚数单位,则()A. B. C. D.9.已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,则实数a=()A. B. C.2 D.﹣210.不等式组表示的平面区域为,则()A., B.,C., D.,11.根据如图所示的程序框图,当输入的值为3时,输出的值等于()A.1 B. C. D.12.如图是二次函数的部分图象,则函数的零点所在的区间是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知变量x,y满足约束条件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6,则14.在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的一个定点.若以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒为定值,则线段OP的长为_____.15.已知实数满足则点构成的区域的面积为____,的最大值为_________16.设实数x,y满足,则点表示的区域面积为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,以椭圆C左顶点T为圆心作圆,设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程;(2)求的最小值,并求此时圆T的方程;(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:为定值.18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若曲线、交于、两点,是曲线上的动点,求面积的最大值.19.(12分)已知不等式的解集为.(1)求实数的值;(2)已知存在实数使得恒成立,求实数的最大值.20.(12分)已知函数.(1)当时,解关于x的不等式;(2)当时,若对任意实数,都成立,求实数的取值范围.21.(12分)在中,内角的对边分别是,已知.(1)求的值;(2)若,求的面积.22.(10分)在平面直角坐标系中,已知抛物线C:()的焦点F在直线上,平行于x轴的两条直线,分别交抛物线C于A,B两点,交该抛物线的准线于D,E两点.(1)求抛物线C的方程;(2)若F在线段上,P是的中点,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
逐一分析选项,①根据函数的对称中心判断;②利用导数判断函数的单调性;③先求函数的导数,若满足条件,则极值点必在区间;④利用导数求函数在给定区间的最值.【详解】①为奇函数,其图象的对称中心为原点,根据平移知识,函数的图象的对称中心为,正确.②由题意知.因为当时,,又,所以在上恒成立,所以函数在上为单调递减函数,正确.③由题意知,当时,,此时在上为增函数,不合题意,故.令,解得.因为在上不单调,所以在上有解,需,解得,正确.④令,得.根据函数的单调性,在上的最大值只可能为或.因为,,所以最大值为64,结论错误.故选:C本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,最值,意在考查基本的判断方法,属于基础题型.2.B【解析】
,利用整体换元法求最小值.【详解】由已知,又,,故当,即时,.故选:B.本题考查整体换元法求正弦型函数的最值,涉及到二倍角公式的应用,是一道中档题.3.A【解析】
根据题意,用表示出与,求出的值即可.【详解】解:根据题意,设,则,又,,,故选:A.本题主要考查了平面向量基本定理的应用,关键是要找到一组合适的基底表示向量,是基础题.4.D【解析】
根据统计数据,求出频率,用以估计概率.【详解】.故选:D.本题以数学文化为背景,考查利用频率估计概率,属于基础题.5.B【解析】分析:利用的恒等式,将分子、分母同时乘以,化简整理得详解:,故选B点睛:复数问题是高考数学中的常考问题,属于得分题,主要考查的方面有:复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算,在运算时注意符号的正、负问题.6.A【解析】
根据双曲线的渐近线列方程,解方程求得的值.【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为,可化为,则,解得.故选:A本小题主要考查双曲线的渐近线,属于基础题.7.C【解析】
计算得到Ac,bca【详解】双曲线的一条渐近线方程为y=bax,A故Ac,bca,Fc,0,故Mc,故选:C.本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8.D【解析】试题分析:由,得,则,故选D.考点:1、复数的运算;2、复数的模.9.D【解析】
化简z=(1+2i)(1+ai)=,再根据z∈R求解.【详解】因为z=(1+2i)(1+ai)=,又因为z∈R,所以,解得a=-2.故选:D本题主要考查复数的运算及概念,还考查了运算求解的能力,属于基础题.10.D【解析】
根据题意,分析不等式组的几何意义,可得其表示的平面区域,设,分析的几何意义,可得的最小值,据此分析选项即可得答案.【详解】解:根据题意,不等式组其表示的平面区域如图所示,其中,,
设,则,的几何意义为直线在轴上的截距的2倍,
由图可得:当过点时,直线在轴上的截距最大,即,当过点原点时,直线在轴上的截距最小,即,故AB错误;
设,则的几何意义为点与点连线的斜率,由图可得最大可到无穷大,最小可到无穷小,故C错误,D正确;故选:D.本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用,关键是对目标函数几何意义的认识,属于基础题.11.C【解析】
根据程序图,当x<0时结束对x的计算,可得y值.【详解】由题x=3,x=x-2=3-1,此时x>0继续运行,x=1-2=-1<0,程序运行结束,得,故选C.本题考查程序框图,是基础题.12.B【解析】
根据二次函数图象的对称轴得出范围,轴截距,求出的范围,判断在区间端点函数值正负,即可求出结论.【详解】∵,结合函数的图象可知,二次函数的对称轴为,,,∵,所以在上单调递增.又因为,所以函数的零点所在的区间是.故选:B.本题考查二次函数的图象及函数的零点,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.-5【解析】
画出x,y满足的可行域,当目标函数z=x-2y经过点A时,z最小,求解即可。【详解】画出x,y满足的可行域,由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2,当目标函数z=x-2y经过点A本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想。需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。14.【解析】分析:设O2(a,0),圆O2的半径为r(变量),OP=t(常数),利用差角的正切公式,结合以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒为定值,即可求出线段OP的长.详解:设O2(a,0),圆O2的半径为r(变量),OP=t(常数),则∵∠APB的大小恒为定值,
∴t=,∴|OP|=.故答案为点睛:本题考查圆与圆的位置关系,考查差角的正切公式,考查学生的计算能力,属于中档题.15.811【解析】
画出不等式组表示的平面区域,数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示:数形结合可知,可行域为三角形,且底边长,高为,故区域面积;令,变为,显然直线过时,z最大,故.故答案为:;11.本题考查简单线性规划问题,涉及区域面积的求解,属基础题.16.【解析】
先画出满足条件的平面区域,求出交点坐标,利用定积分即可求解.【详解】画出实数x,y满足表示的平面区域,如图(阴影部分):则阴影部分的面积,故答案为:本题考查了定积分求曲边梯形的面积,考查了微积分基本定理,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2);(3)【解析】
(1)依题意,得,,由此能求出椭圆C的方程.(2)点与点关于轴对称,设,,设,由于点在椭圆C上,故,由,知,由此能求出圆T的方程.(3)设,则直线MP的方程为:,令,得,同理:,由此能证明为定值.【详解】(1)依题意,得,,,故椭圆C的方程为.(2)点与点关于轴对称,设,,设,由于点在椭圆C上,所以,由,则,.由于,故当时,的最小值为,所以,故,又点在圆T上,代入圆的方程得到.故圆T的方程为:(3)设,则直线MP的方程为:,令,得,同理:.故又点与点在椭圆上,故,代入上式得:,所以本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查了学生的计算能力,属于中档题.18.(1),;(2).【解析】
(1)在曲线的参数方程中消去参数,可得出曲线的普通方程,将曲线的极坐标方程变形为,进而可得出曲线的直角坐标方程;(2)求出点到直线的最大距离,以及直线截圆所得弦长,利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】(1)由曲线的参数方程得,.所以,曲线的普通方程为,将曲线的极坐标方程变形为,所以,曲线的直角坐标方程为;(2)曲线是圆心为,半径为为圆,圆心到直线的距离为,所以,点到直线的最大距离为,,因此,的面积为最大值为.本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转换,同时也考查了直线截圆所形成的三角形面积最值的计算,考查计算能力,属于中等题.19.(1);(2)4【解析】
(1)分类讨论,求解x的范围,取并集,得到绝对值不等式的解集,即得解;(2)转化原不等式为:,利用均值不等式即得解.【详解】(1)当时不等式可化为当时,不等式可化为;当时,不等式可化为;综上不等式的解集为.(2)由(1)有,,,,即而当且仅当:,即,即时等号成立∴,综上实数最大值为4.本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.20.(1)(2)【解析】
(1)当时,利用含有一个绝对值不等式的解法,求得不等式的解集.(2)对分成和两类,利用零点分段法去绝对值,将表示为分段函数的形式,求得的最小值,进而求得的取值范围.【详解】(1)当时,由得由得解:,得∴当时,关于的不等式的解集为(2)①当时,,所以在上是减函数,在是增函数,所以,由题设得,解得.②当时,同理求得.综上所述,的取值范围为.本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法,考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式,属于中档题.21.(1);(2).【解析】
(1)由,利用余弦定理可得,结合可得结果;(2)由正弦定理,,利用三角形内角和定理可得,由三角形面积公式可得结果.【详解】(1)由题意,得.∵.∴,∵,∴.(2)∵,由正弦定理,可得.∵a>b,∴,∴.∴.本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数,属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.22.(1);(2)见解析【解析】
(1)根据抛物线的焦点在直线上,可求得的值,从而求得抛物线的方程;(2)法一:设直线,的方程分别为和且,,,可得,,,的坐标,进而可得直线的方程,根据在直线上,可得,再分别求得,,即可得证
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