2024-2025学年河南濮阳市高三下学期月考试卷（五）数学试题试卷含解析

2024-2025学年河南濮阳市高三下学期月考试卷（五）数学试题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．2．函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（）A． B．C． D．3．已知，满足条件（为常数），若目标函数的最大值为9，则（）A． B． C． D．4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A． B．4 C． D．5．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．6．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入、的值分别为、，则输出的值为（）A． B． C． D．7．过点的直线与曲线交于两点，若，则直线的斜率为()A． B．C．或 D．或8．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．9．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A． B． C． D．10．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（）m．A．1 B． C． D．211．公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下-个米时，乌龟先他米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（）A．米 B．米C．米 D．米12．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺.A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，则______.14．数列满足递推公式，且，则___________.15．已知点是椭圆上一点，过点的一条直线与圆相交于两点，若存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围为_________.16．已知集合，其中，.且，则集合中所有元素的和为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数（）的最小值为.（1）求的值；（2）若，，为正实数，且，证明：.18．（12分）已知二阶矩阵A=abcd，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α119．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．20．（12分）设函数.（1）解不等式；（2）记的最大值为，若实数、、满足，求证：.21．（12分）已知函数，其中．（1）①求函数的单调区间；②若满足，且．求证：．（2）函数．若对任意，都有，求的最大值．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρcos2θ=4asinθ (a>0)，直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-1+（I）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程（不要求具体过程）；（II）设P(-2,-1)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．则e=＞1．∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．故选：A．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2．B【解析】

由图象的顶点坐标求出，由周期求出，通过图象经过点，求出，从而得出函数解析式.【详解】解：由图象知，，则，图中的点应对应正弦曲线中的点，所以，解得，故函数表达式为．故选：B.本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.3．B【解析】

由目标函数的最大值为9，我们可以画出满足条件件为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值．【详解】画出，满足的为常数）可行域如下图：由于目标函数的最大值为9，可得直线与直线的交点，使目标函数取得最大值，将，代入得：．故选：．如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组，代入另一条直线方程，消去，后，即可求出参数的值．4．A【解析】

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，，退出循环，输出结果.【详解】程序运行过程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循环，输出结果为，故选：A.该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.5．C【解析】

由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得，解得，此时双曲线，则曲线的离心率为，故选C．本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．B【解析】

列出循环的每一步，由此可得出输出的值.【详解】由题意可得：输入，，，；第一次循环，，，，继续循环；第二次循环，，，，继续循环；第三次循环，，，，跳出循环；输出.故选：B.本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题.7．A【解析】

利用切割线定理求得，利用勾股定理求得圆心到弦的距离，从而求得，结合，求得直线的倾斜角为，进而求得的斜率.【详解】曲线为圆的上半部分，圆心为，半径为.设与曲线相切于点，则所以到弦的距离为，，所以，由于，所以直线的倾斜角为，斜率为.故选：A本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．B【解析】

由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】函数，可得，时，，单调递增，∵，故不等式的解集等价于不等式的解集．．∴．故选：B．本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.9．D【解析】

先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为，球心为，由题意，球的体积为，即可得球的半径为1，又由边长为的正方形硬纸，可得圆的半径为，利用球的性质可得，又由到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为，所以球心到底面的距离为.故选：D.本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.10．C【解析】

由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解【详解】由题中图像可得，由变速直线运动的路程公式，可得．所以物体在间的运动路程是．故选：C本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.11．D【解析】

根据题意，是一个等比数列模型，设，由，解得，再求和.【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，设，所以，解得，所以.故选：D本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.12．B【解析】如图，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折断后的竹干高为4.55尺故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由自变量所在定义域范围，代入对应解析式，再由对数加减法运算法则与对数恒等式关系分别求值再相加，即为答案.【详解】因为函数，则因为，则故故答案为：本题考查分段函数求值，属于简单题.14．2020【解析】

可对左右两端同乘以得，依次写出，，，，累加可得，再由得，代入即可求解【详解】左右两端同乘以有，从而，，，，将以上式子累加得.由得.令，有.故答案为：2020本题考查数列递推式和累加法的应用，属于基础题15．【解析】

设，设出直线AB的参数方程，利用参数的几何意义可得,由题意得到，据此求得离心率的取值范围.【详解】设，直线AB的参数方程为，(为参数)代入圆，化简得：，，，，存在点，使得，，即，，，，故答案为：本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题.16．2889【解析】

先计算集合中最小的数为，最大的数，可得，求和即得解.【详解】当时，集合中最小数；当时，得到集合中最大的数；故答案为：2889本题考查了数列与集合综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）分类讨论，去绝对值求出函数的解析式，根据一次函数的性质，得出的单调性，得出取最小值，即可求的值；（2）由（1）得出，利用“乘1法”，令，化简后利用基本不等式求出的最小值，即可证出.【详解】（1）解：当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时，取最小值.（2）证明：由（1）可知.要证明：，即证，因为，，为正实数，所以.当且仅当，即，，时取等号，所以.本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1法”和分类讨论思想，属于中档题.18．A=【解析】

运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【详解】由特征值、特征向量定义可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩阵本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单19．（1）．（2）．【解析】

（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案.（2）设，0≤λ≤1，计算P（0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC的法向量（1，﹣1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案.【详解】（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点，∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ，则cosθ，∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），（0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0），设平面APC的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，﹣1，），平面ADP的法向量（1，0，0），∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，∴|cos|，解得，∴P（0，，），∴PF的长度|PF|．本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）采用零点分段法：、、，由此求解出不等式的解集；（2）先根据绝对值不等式的几何意义求解出的值，然后利用基本不等式及其变形完成证明.【详解】（1）当时，不等式为，解得当时，不等式为，解得当时，不等式为，解得∴原不等式的解集为（2）当且仅当即时取等号，∴，∴∵，∴，∴（当且仅当时取“”）同理可得，∴∴（当且仅当时取“”）本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式证明不等式，难度一般.（1）常见的绝对值不等式解法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）利用基本不等式完成证明时，注意说明取等号的条件.21．（1）①单调递增区间，，单调递减区间；②详见解析；（2）.【解析】

(1)①求导可得,再分别求解与的解集,结合定义域分析