历届中考数学基础知识手册

历届中考数学基础知识手册

单选题（经典例题高频考点-名师出品必属精品）

1、如图，乙1、42、43中是△4?。外角的是（）

A.41、Z.2B.42、43c.41、N3D.41、42、43

答案：C

解析：

根据三角形外角的定义进行分析即可得到答案.

解：属于外角的有乙1、乙3共2个.故选C.

小提示：

本题考查三角形外角的定义，解题的关键是掌握三角形的定义.

2、如图，在2MBe中，AC=8,DE是ZL4BC的中位线，贝gE的长度是（）

A.4B.5C.6D.3

答案：A

解析：

由0E是2L48C的中位线，根据三角形中位线的性质，求得DE的长度.

•••DE是ZL4BC的中位线，AC=8,

••.**X8=4,

故选：A.

小提示：

本题考查了三角形中位线的性质，题目难度不大，注意数形结合思想的应用.

3、下列计算正确的是（）

A.3a+26=5abB.（-3a2Z>2）2=-6a4/?2

C.V27+V3=4V3D.（a-b）2=a2-b2

答案：C

解析：

分别根据合并同类项，积的乘方，二次根式（无理数）的加法，及完全平方公式，对各个选项逐一计算，作出

判断即可.

A.3a与2。不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B.应为（一3a2b2）2=9a4b匕故原选项错误；

C.V27+V3=3-/3+V3=4V3,故原选项正确；

D.应为（a-b）2=a?-2ab+川，故原选项错误.

故选C.

小提示：

本题主要考查合并同类项，积的乘方，二次根式（无理数）的加法，及完全平方公式的知识，扎实掌握合并同

类项，积的乘方，二次根式（无理数）的加法，及完全平方公式，是解答本题的关键.

4、估计2通+3的值应在（）

2

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

答案：D

解析：

首先确定通的值，进而可得答案.

解：••,V5«2.2

.,.2V5=4.4

2V5+3-7.4

7<2V5+3<8,

故选：〃.

小提示：

此题主要考查实数的估算，解题的关键是熟知实数的大小及性质.

5、约分：-3成2•氤)

AT2%

A•一后B.一分D.一石

答案：A

解析：

先进行乘法运算，然后约去分子分母的公因式即可得到答案

原式甘

-X'

~3y

故选A.

3

小提示：

本题主要考查分式的乘法运算法则，掌握约分，是解题的关键.

6、下列各式因式分解正确的是()

A.a2+4ab+4b2=(a+4b)2B.2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2

C.3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b)D.a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)

答案：D

解析：

根据因式分解的定义：把一个多项式写成几个因式的积的形式进行判断即可.

a2+4ab+4b2=(a+2b)2,故选项A不正确；

2a，4ab+9£=(2a-3by不是因式分解，B不正确；

3a2-12b2=3(a+2b)(a-2b),故选项C不正确；

a(2a-b)+b(b-2a)=(a-6(2a-b)是因式分解，D正确，

故选D.

小提示：

本题考查的是因式分解的概念，把一个多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，在判断一个变形是否是

因式分解时，看是否是积的形式即可.

7、对于函数y=-2x+2,下列结论正确的是()

A.它的图象必经过点(—1,O)B.它的图象经过第二、三、四象限

C.y的值随x值的增大而增大D.当x>1时，y<0

答案：D

解析：

4

代入x=-l求出y值，进而可得出点（-1,0）不在一次函数y=-2x+2的图象上，结论A不正确；由衣=

-2<0,i=2>0,利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y=-2x+2的图象经过第一、二、四象限,

结论B不正确，由-2<0,利用一次函数的性质可得出y的值随%的增大而减小，即结论C不正确；代入

x=l求出y值，结合y的值随x的增大而减小，可得出当x>i时，7<0,即结论D正确.

解：解：A、当x=-l时，y=-2x（-1）+2=4,

，函数y=-2x+2的图象经过点（-1,4）,选项A不符合题意；

B、,：k--2<0,b=2>0,

・.・函数y=-2x+2的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；

C、2<0,

.・」的值随x值的增大而减小，选项C不符合题意；

D、当y<0时，-2x+2<0,解得：*>1,

当x>1时，y<0,选项D符合题意.

故选：D.

小提示：

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项

的正误是解题的关键.

8、如图，。。中，直径48为8cm,弦CD经过。4的中点P,则+p/尸的最小值为（）

A.12cm2B.24cm2C.36cm2D.40cm2

5

答案：B

解析：

连结他BC,根据。。中，直径力B为8cm,得出0A=0B=4cm,根据弦CD经过。4的中点P,得出AP=0P=2cm,

根据Z.1吠乙郎，LDAP^ABCP,可江△AD2ACBP、得出筹=黑，得出PC-DP=P4♦BP=2X6=12,

gP功〜0,BPPC2+PD2>2PC-PD=2X12=24.

解：连结AD,BC,

;。。中，直径4B为8cm,

%二仍=4cm,

•••弦G）经过OA的中点P,

6!/^=2cm,

,:乙AD七乙CBP、乙DA七人BCP,

:.\ADH\CBP、

tPA_DP

'PC~BP

二PC•DP=PA•BP=2义6=12,

•••^PC-PD)2^0,即。。2+。。2之22。・「。=2X12=24.

故选B.

6

小提示：

本题考查圆的基本知识，同弧所对圆周角性质，三角形相似判定与性质，非负数应用，掌握圆的基本知识，同

弧所对圆周角性质，三角形相似判定与性质，非负数应用是解题关键.

9、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

答案：A

解析：

利用轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可.

A选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

B选项既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；

C选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

故选：A.

小提示：

本题考查了轴对称图形、中心对称图形的定义，即一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合,

那么这个图形叫做轴对称图形；一个图形绕着中心点旋转180。后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图

形.

10、下列三个数中，能组成一组勾股数的是（）

A.6,〃，府.32,42.52c.ii|D.12,15,9

答案：D

7

解析：

勾股数的定义：满足/+/=，的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解.

解：A、(V3)+(V4)=7。(V5)=5,故此选项错误；

B、(32)2+(42)2=3370(52)2=625,故此选项错误;

C'(3+(»制+■(丁丑,故此选项错误；

D、92+122=225=152,故此选项正确；

故选D.

小提示：

本题考查了勾股数的定义，注意：作为勾股数的三个数必须是正整数.

填空题(经典例题高频考点-名师出品必属精品)

11、如图，抛物线y=-；x，》+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,点D在抛物线上，且

CD〃AB.AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴，与抛物线相交于P,Q两点，则线段PQ的长

为—,

答案：26

解析：

利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A,B,C,D的坐标，由点A,D的坐标，利用待定系数法可求出

8

直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特

征可得出点P,Q的坐标，进而可求出线段PQ的长.

解：当y=0时，-*+》+2=0,

解得：xi=-2,X2=4,

..•点A的坐标为(-2,0)；

当x=0时,y=-*+)+2=2,

•••点C的坐标为(0,2)；

当y=2时，-32+》+2=2,

解得：xi=0,X2=2,

点D的坐标为(2,2).

设直线AD的解析式为y=kx+b(k^O),

将A(-2,0),D⑵2)代入y=kx+b,得：

「2k+b=0,解得.J7,

[2k+b=2,解付%=1,

•••直线AD的解析式为y=3+1.

当x=0时，y=ix+l=l,

.・•点E的坐标为(0,1).

当y=l时，-%2+,+2=1,

解得：Xi=1-V5,X2=1+V5,

・・•点P的坐标为(1-V5,1),点Q的坐标为(1+石，1)

9

PQ=1+V5-(1-V5)=2V5.

所以答案是：2门.

小提示：

本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数

图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P,Q的坐标是解题的关键.

12、因式分解：，-1=.

答案:(%+1)(%-1)(%2+1).

解析：

两次运用平方差公式进行因式分解即可得到答案.

解：铲-1=(/一1)(%2+1)=(%+1)(%_1)(/+J)

所以答案是：(无+1)(%-1)(/+1).

小提示：

本题考查了运用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

13、将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若44。0=108°,则4COB=.

D

10

答案：72°.

解析：

由乙AOB=4COD=90°,ZAOC=ABOD,进而乙AOC=4BOD=108°-90°=18°,由此能求出乙BOC.

解：•••ZAOB=ACOD=90°,

•••ZA0C=4B0D,又4AOD=108°,

•••NAOC=4BOD=108°-90°=18°,

•••rBOC=90°-18°=72°.

所以答案是：72。.

小提示：

本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键.

14、点P关于x轴对称点是(a,2),点〃关于y轴对称点是(一3为)，则a+b=.

答案：1

解析：

根据关于坐标轴的对称点的坐标特征，求出a.b的值，即可求解.

；点P关于X轴对称点是(a,2),

•••P(a,-2),

:点P关于y轴对称点是(—3,b),

b=-2,a=3,

-'-a+b=1,

故答案是：1.

11

小提示：

本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于X轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相

反数；关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等”是解题的关键.

15、如果抛物线y=(0-1)/有最低点，那么卬的取值范围为一.

答案：m>l

解析：

直接利用二次函数的性质得出卬-1的取值范围进而得出答案.

解：••,抛物线厂(/»-1)/有最低点，

•••力一1>0,

解得：0>1.

故答案为m>1.

小提示：

本题考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键.

16、a的相反数是2022,贝Ija=.

答案:-2022

解析：

相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.据此判断即可.

解：解：a的相反数是2022,故a是-2022.

所以答案是：-2022

小提示：

12

本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键.

17、如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的4端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，

石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起lOon,已知杠杆的动力臂4c与阻力臂

BC之比为6:1,要使这块石头滚动，至少要将杠杆的4端向下压_____cm.

答案：60

解析：

首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点力向下压的长度.

解：如图；AM、8V都与水平线垂直，即AM//BN-,

R

易知：△ACM-ABCN；

,AC_AM

"BC-BN'

•・"C与8。之比为6：1,

即/

BCBN=6',1/=6m，；

・♦・当必》10。〃时，4s。；

故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点4向下压60cm.

所以答案是：60.

小提示：

13

本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键.

18、添括号:

22

(1)2x-3x4-1=2x4-()；(2)Q2-Q+i=一()；

(3)a-2h+6c-4=a-()=Q+2()；

(4)(%4-y-z+3)(%-y+z-3)=[x+()][x-()]；

(5)(m+ri)2—6m—6n+9=(m+n)2-6()+9.

答案：-3x+1ci—12b—6c+4—b+3c—2y—z+3y—z+3zn+zi

解析：

根据添括号法则逐一求解即可.

解：⑴2x2—3%+1=2x2+(-3%4-1)；

(2)a2—a+1=a2-(a—1)；

(3)ci—2b+6c—4=Q—(2b—6c+4)=a+2(—b+3c—2)；

(4)(x+y—z+3)(%—y+z-3)=[%+(y—z+3)][x-(y—z4-3)]；

(5)(m+n)2—6m—6n4-9=(m4-n)2—6(m+九)+9.

所以答案是：(1)—3%4-1；(2)a—1j(3)2b—6c+4,—b4-3c—2；(4)y—z+3,y-z+3；(5)

m4-n.

小提示：

本题主要考查了添括号法则，熟练掌握添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括

号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号是解题的关键.

19、社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、

白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.整

14

理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数

比较多的是（填“黑球”或“白球”）.

t摸出黑球的频率

1.0-

0.8-

0.6-

0.4-

0.2-----■----.——------■——.-----------------•---------------

~d50100150200250300350400450500摸球的总次数

答案：白球

解析：

利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案.

解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2,

根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为02

二可以推断盒子里个数比较多的是白球，

所以答案是：白球.

小提示：

此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键.

20、为了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查.整理样本数据，得到下表：

根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是.

视力4.7以下4.74.84.94.9以上

人数102988093127

答案：7200名

解析：

15

求出不低于4.8的人数所占的百分比再乘12000即可求出结论.

解：12000X8O+^127=720O名

所以答案是：7200名.

小提示：

此题考查的是统计表，求出不低于4.8的人数所占的百分比是解决此题的关键.

解答题（经典例题高频考点-名师出品必属精品）

21、已知：在ZL4BC中，点E在直线AC上，点B,D,E在同一条直线上，且B4=BD,^BAE=zD.

【问题初探】（1）如图1,若BE平分4ABC,求证：“EB+4BCE=180°.

图1

请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程.

要证NzlE3+NBCE=180°"EC="CEBE=BCMAE三MDC已知条

【变式再探】⑵如图2,若BE平分zMBC的外角44BF,交C4的延长线于点E,问：UEB和ZBCE的数量关

系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由.

16

【拓展运用】(3)如图3,在(2)的条件下.若AB1BC,CD=1,求EC的长度.

答案：(1)见解析(2)NBEC=/BCE；理由见解析(3)1+或

解析：

(1)根据ASA证明ZMBEW4DBC得BE=BC,得4BEC=MCE,进一步可得结论；

(2)根据ASA证明ZL4BEm4DBC得BE=BC,得44BE=乙BCE；

(3)连结4D,分另|J求出4AEB=乙ADE=4ACB=22.5°,再证明AE=CD,NADC=90°,由勾股定理可得AC,由

EC=EA+AC可得结论.

解：(1)证明BE^AABC,

・•・Z.ABE=Z.DBC,

在ZL4BE和4DBC中,

乙BAE=4D

BA=BD

Z-ABE=Z.DBC

・・・AABE=ADBC(ASA\

・•.BE=BC,

17

乙BEC=乙BCE,

・•・Z.AEB+乙BCE=Z.AEB+乙BEC=180°；

⑵乙BEC=Z-BCE.

理由：vBE平分乙4BR

••・Z.ABE=乙EBF=乙CBD,

在ZL48E和4。8c中，

乙BAE=Z.D

BA=BD

Z-ABE=Z.DBC

:.AABE=ADBC(ASA\

・•.BE=BC,

:.乙BEC=Z-BCE.

(3)连结4D,

Z7

♦：AB1.BC,

・•・/.ABE=乙EBF=Z-CBD=45°,

-AABE=ADBC,

・•・乙BAE=Z.BDC,^_Z-E=4E,

・・・Z.ABE=Z.ACD=45°,

由(2)得BE=BC,

18

•••4BCD=/.BCE=乙BEC=22.5°,

•・,AB=BD,

••・乙BAD=乙BDA=22.5。，

二Z-BEC=Z-BDA,

・・・乙

AE=ADfZ.DAC=45°=ACD,

・・・CD=1,

・•・AD=1=AE,AC=Vl2+l2=V2,

EC=1+V2.

小提示：

此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD是解答此题的关键.

22、印卷时，工人不小心把一道化简题前面一个数字遮住了，结果变成：・x2y-[5xy2-2(-|xy+|x2y)

4

+y2

5X

-X3

(力某同学辨认后把“■”猜成10,请你帮他算算化简后该式是多少；

(2)老师说：“你猜错了，我看到该题目遮挡部分是单项式-容的系数和次数之积.”遮挡部分是多少？

(3)若化简结果是一个常数，请算算遮挡部分又该是多少？

答案：(1)13/f；(2)遮挡部分应是-4；(3)遮挡部分为-3.

解析：

(1)把“■”换成10,原式去括号合并即可得到结果；

(2)求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可；

(3)设遮挡部分为a,原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可.

解：(1)根据题意得：

19

原式=10*6(50?+，广3/&孙)+5灯？

-lOx'y-Sxyi-^xy+3^y+^xy+5xy'

=13/y；

(2)是单项式-等的系数和次数之积为：-枭3=-4,

答：遮挡部分应是-4；

(3)设遮挡部分为a,

原式=ax'y-(5xy+^xy-3xy-^xy)+5x/

224242

-axy-5xy--xy+3xy+-xy+5灯

=(a+3)xy,

因为结果为常数，即a+3=0,

解得:a=-3,

所以遮挡部分为-3.

小提示：

本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

23、分解因式：(x?-2x)2-12(7-2x)+36.

答案：(W-2X-6)2

解析：

仔细观察把--2x看做一个整体，可以发现正好是一个完全平方式，直接利用公式法分解因式得出答案.

解：原式=(/-2%-6)2.

所以答案是：(/-2A--6)

20

小提示：

本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够准确观察出原式是一个完全平方式.

24、某工厂计划在规定时间内生产24000个零件.由于销售商突然急需供货，工厂实际工作效率比原计划提高

了50%,并提前5天完成这批零件的生产任务.求该工厂原计划每天加工这种零件多少个？

答案：该工厂原计划每天加工这种零件1600个.

解析：

设该工厂原计划每天加工这种零件x个，则实际每天加工这种零件（1+50%）x个，根据工作时间=工作总量+

工作效率结合实际比原计划少用5天完成这批零件的生产任务，即可得出关于＞的分式方程，解之经检验后即

可得出结论.

解：设该工厂原计划每天加工这种零件x个，则实际每天加工这种零件（1+50%）x个，

依题意，得：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.等一

24000-

-----------=5

（l+50%）X

解得：x=1600,

经检验，x=1600是原方程的解，且符合题意.

答：该工厂原计划每天加工这种零件1600个.

小提示：

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

25、已知抛物线c:产-/-2x+3和直线/:尸耳+4将抛物线。在x轴上方的部分沿x轴翻折180。，其余部

分保持不变，翻折后的图象与x轴下方的部分组成一个“W型的新图象（即新函数卬：尸-4+2x-3|的图象）。

⑴当直线/与这个新图象有且只有一个公共点时，d=；

⑵当直线,与这个新图象有且只有三个公共点时，求，的值；

21

⑶当直线/与这个新图象有且只有两个公共点时，求，的取值范围；

⑷当直线/与这个新图象有四个公共点时，直接写出，的取值范围.

0t

答案：⑴d=|；⑵占-2或—7⑶一白衣|或d<-三；(4)—77<0，<—7°

ZZ1OZZ1O1ON

解析：

(1)令-2*+3=gx+d求解即可；

(2)设抛物线，尸-/-2了+3与了轴交于点4(-3,0),点/1,0),则根据方程有两个相等的实根求出P的坐

标，然后求解即可；

(3)(4)根据(2)求出的P点坐标进行数形结合画图找出d的取值范围即可.

解：⑴当直线1经过点4-3,0)时，上|；

⑵设抛物线c：尸2x+3与x轴交于点4-3,0),点41,0),

直线/：尸］+d与抛物线c:y=/+2^-3(-3Vx<1)相切于点P,则点〃的横坐标恰好是方程%+kf+2x-3,

即2/+3x-2d-6=0(-3<x<l)的两个相等实数根，解△=9+8(246)=0得公一今

点户的坐标为(一;,-§).

①当直线/经过点仅1。)时，直线/与这个新图象有且只有三个公共点，解得rf=-l;

②当直线/经过点--,，一费)时，直线，与这个新图象有且只有三个公共点，解得

22

⑶①由平移直线/可得:直线/从经过点4（-3。）开始向下平移到直线/经过点-*）的过程中，直线1

41O

与这个新图象有且只有两个公共点，可得-9次|

②直线/从经过点-管）继续向下平移的过程中，直线/与这个新图象有且只有两个公共点，可得

4lo

d」<---5-7-

16

:•综合①、②得：-:＜衣|或衣-今；

ZZ1O

⑷如图：当直线/经过点仅1,0）时，直线/与这个新图象有且只有三个公共点，解得正一；；

当直线，继续向下平移的过程中经过点-gZ直线/与这个新图象有且只有三个公共点，可得

23

，要使直线/与这个新图象有四个公共点则d的取值范围是-金＜次-;.

1OL

小提示：

本题考查的是二次函数综合运用，关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系.

26、如图，zMBC内接于。0,4CBG=4A,CO为直径，0C与4B相交于点E,过点E作EF_LBC,垂足为F,

延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.

(1)求证：PG与。。相切：

(2)若笨=|,求案的值；

(3)在(2)的条件下，若。。的半径为4,PD=0D,求EC的长.

G\

答案：(1)见解析；(2)：；(3)6-V13.

解析：

(1)要证加与。。相切只需证明乙质i=90°,由乙劭，与48%是同弧所对圆周角且乙皮匕=乙如。可得

ZCBG-乙DBC、结合乙DBC+A0BC-900即可得证；

24

(2)求黑需将跖与。，或比、相等线段放入两三角形中，通过相似求解可得，作连接勿，证

△BEM△得焉=霁，由止蛙、除8知以=器，结合筮=抑可得；

(3)Rt△〃%中求得BC=4g、乙〃)=30。，在Rt△碓'中设所三x,知32人FC二显x、BF=4V3-V3x,继

而在Rt△应广中利用勾股定理求出x的，从而得出答案.

(1)证明：如图，连接。B,

■：OB=OD,

:.Z-BDC=Z-DBOy

v乙BAC=(GBC、Z.BDC=Z.BAC,

:.Z-GBC=乙BDC,

是。。的直径，

・•・乙DBC=90°,

・•・乙DBO+乙OBC=90°,

:.Z.GBC+Z-OBC=90°,

・•・Z-GBO=90°,

:、PG与。。相切；

(2)解：过点。作。4:于点M,连接。4,

•；OC=OA、OMA.AC,

25

Z.AOM=4COM=-Z.AOC,

2'

•••AC=AC,

Z.ABC=-/.AOC,

・•・乙EBF二乙AOM、

又・・・乙EFB=Z.OMA=90°,

・・・4BEF〜40AM,

EF_BE

••AM-OA'

AM=1/1C,OA=0C,

EFBE

•\-=-

^ACOCy

又，•,空=9

入AC8'

G

(3)解:,:PD=OD,乙PBO=90°,

・・・BD=OD=4,

在Rtd。8c中，BC=VCD2-BD2=V82-42=4A/3,

又OD=OB,

・・・4008是等边三角形,

26

・•・4DOB=60°,

•:乙DOB=cOBC+乙OCB,OB=OC,

・•・Z.OCB=-^DOB=30°,

2，

/.EC=2EF,由勾股定理FC^EC2-EF2=V4FF2-EF2=WEF

二设EF-x,贝(|EC—2x、FC=V3x,

BF=4V3-V3x,

BE50八二A

v—OC—4且OC=4,

•••BE=5,

在RtdBEF中，BE2=EF2+BF2,

22

A25=x+(4V3-V3x),

整理得4/-24x+23=0

△=24.16x23=208>0

解得：.誓=誓，

•••丝咨＞4,舍去，

：•X=-6-V-1-3,

21

EC=6-V13.

小提示：

本题主要考查圆的综合问题，涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质,

一元二次方程的解法等知识，熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键.

27、先化简，再求值：[(5m-n)?-(5m+n)(5m-n)]+(2n),其7n=-g,n~2020

27

答案：一5根十九；2021.

解析：

先进行整式的化简求值运算，再将m、n数值代入求值即可.

[(5m—n)2—(5m+n)(5m—n)]+(2n)

=(25m2—lOmn+n2-25m2+n2)+(2n)

=(-lOmn+2n2)+(2n)

=—5m+n

当m=Jn=2020时，

原式——5x(—w)+2020

=2021

小提示：

本题考查了整式的混合运算和代数式求值，解答关键是按照相关法则进行计算.

28、已知：在/ABC中，点E在直线4c上，点B,D,E在同一条直线上，且=^BAE=zZ).

【问题初探】(1)如图1,若8E平分N4BC,求证：N4EB+NBCE=180。.

图1

请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程.

要证乙+=<=]GEC=&CE。BE=BC<=]SBAE=SBDC已知条

28

【变式再探】⑵如图2,若BE平分2MBe的外角乙4BF,交C4的延长线于点E,问：4AEB和NBCE的数量关

系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由

【拓展运用】(3)如图3,在(2)的条件下.若ZB1BC.CD=1,求EC的长度.

答案：(1)见解析(2)/BEC=NBCE；理由见解析(3)1+V2

解析：

(1)根据ASA证明ZMBE得BE=BC,得4BEC=4BCE,进一步可得结论；

(2)根据ASA证明44BEmZDBC得BE=BC,得Z71BE=NBCE；

(3)连结4D,分别求出NAEB=Z1ADE=4ACB=22.5°,再证明AE=CD,4ADC=90°,由勾股定理可得AC,由

EC=EA+AC可得结论.

解：(1)证明BE平分乙4BC,

BC

图1

29

Z.ABE=Z.DBC,

在zUBE和4D8C中，

Z.BAE=乙D

BA=BD

./.ABE=Z-DBC

・•・AABE=ADBC(ASA),

・•.BE=BC,

・•・乙BEC=乙BCE,

・•・Z,AEB+(BCE=/.AEB+乙BEC=180°；

⑵乙BEC=乙BCE.

理由：vBE平分乙4BR

・•.A.ABE=Z-EBF=Z.C