人教A版（2019）选修第二册第五章第二节课时3简单复合函数的导数（含解析）

人教A版(2019)选修第二册第五章第二节课时3简

单复合函数的导数

一、单选题

1.若/(x)=ln(2-x)+x3,则limf』+-阿二()

…。2Ax

A.1B.2C.4D.8

2.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2/(2-x)-x2+8x—8,则曲y=f(x)在点(1J⑴)

处的切线方程是()

A.y=2x-lB.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3

3.已知函数/。)=公访》+加+4(。,。6砌,/'。)为/(力的导函数，贝IJ

/(2014)+/(-2014)+/(2015)-f(-2015)=

A.0B.2014C.2015D.8

4.下列函数求导运算正确的个数为()

①⑶)'=31呜0；②(bg,x)，=一③(e")'=e>1=x；⑤

xln2^[nx)

(xexy=ex+xe\

A.1B.2

C.3D.4

5.已知尸(x)是函数的导函数,且对任意的实数x都有/'(x)=e'(2x+3)+〃x),

/(o)=l,则不等式/(X)<5,的解集为()

A.(-4,1)B.(-1,4)C.(-oo,-4)(J(1,-FOO)

D.(-oo,-l)U(4,-KO)

6.已知函数/*)=sin3x+cosxj'(x)为了(用的导函数，则/'(%)=()

A.3cos3x—sinxB.cos3x—sinx

C.cos3x+sinxD.3cos3x+sinx

二、双空题

7.已知5"=6，则。=,«-log530=,

202122021

8.已知f(x)=(2x-I)=n0+qx+a2x+---+tz2(r21x,则al+a2+a3+---+a2D2l=

；q+2a2+3〃3+•••+202.

9.函数y=ln(2x+3)的导数为y'=,其函数图象在点(一”2)处的切线的倾

斜角为.

三、填空题

10.对于三次函数〃力=加+加+°》+4(4工())，现给出定义：设f'(x)是函数

y=〃x)的导数，尸(x)是f(x)的导数,若方程广(x)=0有实数解与,则称点(%,

〃与))为函数〃尤)=混+加+5+”("0)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次

函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数

99

8(力二2/一3八1,则g+…+g

Too

23

11.若(3-2x)'°=a0+atx+a2x+a3x+•••+a10x'°,贝lja,+2a2+3%+4%H--F10al()=

12.若直线N=x+a是曲线y=ln(2x)的切线，则实数a=.

13.曲线y=2x—/与直线x—y+f=0相切，则，=.

四、解答题

14.求曲线f(x)=3+l过点(U)的切线的斜率.

15.已知函数/(x)=+,g(x)=-x2+n.

(1)若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)在它们的交点处的公共切线为y=2x+c,求加，

〃，。的值；

(2)当w=l时，若Vxe(T»,0),f(x)<g(x),求m的取值范围.

16.已知函数〃x)=3f+5,求〃x)：

(1)从0」到0.2的平均变化率；

(2)在0.2处的瞬时变化率.

17.已知函数函数=炉一in(尤+2).

(1)求/(x)在(OJ(O))处的切线方程；

(2)求证：/(x)>0.

18.求下列函数的导数：

(1)y=(x+l)lnx；

(3)y=e~xcos2x

19.已知函数/(x)=xlnx,g(x)=

⑴求曲线y=/(x)在(1,0)处的切线方程；

(2)求函数g(x)的最大值；

2

(3)当x>0时，证明：g(x)-〃x)<一.

e

20.设函数f(x)=ax2-.vlnx-(2a-l).r+a-l(ae/?)•

(1)当.=0时,求函数/(x)在点P(e,/(e))处的切线方程；

(2)对任意的xe[l,+8)函数/(x)N0恒成立，求实数。的取值范围.

参考答案:

I.A

【解析】

【分析】

由题意结合导数的运算可得/(I)=2,再由导数的概念即可得解.

【详解】

由题意/'(*)=—^+3/,所以r(i)=工+3=2,

x-21-2

所以1im*+&)二他=」lim川+3-川)」/⑴=]

AI。2Ax2'30Ax2v'

故选：A.

【点睛】

本题考查了导数的运算、导数概念的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

2.A

【解析】

【分析】

先根据/(此=2/(2-幻-/+8-8求出函数/(幻的解析式，然后对函数/5)进行求导，进

而可得到＞=/(x)在点(1,/(D)处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.

【详解】

/(%)=2/(2-x)-*2+8x-8,.•"(2-x)=2/(x)-(2-+8(2-x)-8.

f(2-x)=2/(x)-x2+4x-4+16-8x-8.

将/(2—x)代入f(x)=2/(2—x)-/+8x-8,得f(x)=4/(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8,

f(x)=x2,f'(x)=lx,

y=f(x)在(LAD)处的切线斜率为y=2,

函数y=/(X)在(1J⑴)处的切线方程为y-l=2(x-l),即y=2x-1.

故选：A.

3.D

【解析】

【分析】

答案第1页，共12页

先求出函数的导数，判定出导函数为偶函数；得至1」((2。15)-/(-2015)=0；进一步求出

式子的值.

【详解】

因为〃x)=«sinx+加+4(a,〃eR),所以f'(x)=acosx+3bx2>

则/(x)-4=asinx+Zy?为奇函数，且/'(幻=。85》+3力1为偶函数,即

/,(2015)-/(-2015)=0,所以

/(2014)+/(-2014)+/(2015)-尸(-2015)=[/(2014)-4]+"(-2014)-4]+8=8；故选

D.

【点睛】

本题考查函数的导数基本运算以及奇偶性的应用，属于基础题.

4.C

【解析】

【分析】

根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则即可判断.

【详解】

解：①：(3*)'=3、In3,所以①错误；

②：(log,x)'=—二，所以②正确；

xln2

③：(e')'=e',所以③正确；

/、，

@：|—|=一一L_,所以④错误；

VlnxJx(lnx)'

⑤：(xe*)'=e、+xe*,所以⑤正确；

所以求导运算正确的个数为3个.

故选：C.

5.A

【解析】

【分析】

首先构造函数G(x)=驾，利用导函数求出G(x)的解析式，即可求解不等式.

e

答案第2页，共12页

【详解】

令G(x)=华,则G，(x)=''"/⑶=2x+3,

ee

可设G(x)=f+3x+c,

•/G(O)=/(O)=1,.-.0=1

所以G(X)=^=X2+3X+1

e

解不等式/(x)<5e,,即华<5,所以炉+3》+1<5

e

解得所以不等式的解集为(T，l)

故选A

【点睛】

本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比

较强.

6.A

【解析】

【分析】

利用复合函数求导公式和导数加法公式求解即可.

【详解】

因为/(x)=sin3x+cosx,所以f'(x)=3cos3x-sinx.

故选：A.

7.log56-1

【解析】

利用指对数互化，直接表示“，在进行。-logs30的计算.

【详解】

5"=6,/.a=log,6

.­.tz-log530=log56-log,30=log,—=log51=-l

故答案为：logs6；-1

8.24042

【解析】

答案第3页，共12页

【分析】

先令X=0,求出。0，再令X=l,可求出4+4+〃2+…+。2021的值，从而可求出

+。2+%+…+。202/，对函数求导后令X=1可求出4+2。2+3〃3+…+2021O2021的值

【详解】

解：令X=0,则〃o=(—1严21=一1,

2021

令x=l,!?!|f(1)=(2—I)=aQ+al+a2-i---⑼，得了+4+出^-----卜。2021=1，

所以q+4+。3T-----卜%02i=1+1=2,

由f(X)=(2%—1)~°」=QQ+d^X+药厂+••,+。202132021,

202()

得f'(x)=4042(2%_1)2°2°=4+2a2x+•・•+2021a2()21x,

令x=1,则/'⑴=4042x(2—I)?。?。=+2%+…+2021%⑼，

以4+2。1+3a③+•,•+2021^2021=4042,

故答案为：2,4042

271

9.

2x4-34

【解析】

【分析】

利用复合函数的求导法则先求出函数的导数，再将点的x值代入求得导数的值,

即可由导数的斜率算出倾斜角.

【详解】

10

解：令M=2X+3则y=lnw,y=(lnw)(2x+3)=—*2=-——-

i2所以函数y=ln（2x+3）的图象在点信,回处的切线的斜率为

当时，y,=—=1

23-1

1，所以倾斜角为?.

4

271

故答案为：----7

2x+34

10.49-

2

【解析】

答案第4页，共12页

【分析】

先求出函数g(x)的“拐点”，从而知道函数g(x)的对称中心为(；,；)，得到

g(l-x)+g(x)=l,进而知道」-+8-=2+%=4951

=—+—=1,即可得出答案.

')\)100100100100100100

【详解】

依题意得，g'(x)=6f—6x,g"(x)=12x—6,令g"(x)=0,得x=；，

：=函数g(x)的对称中心为［；，［)，则g(l-x)+g(x)=l,

1992984951

,•++=------1------=1，

100100100100100100

岛卜岛卜岛卜g假卜…=g(哥)+g岛卜1

(卷)+g儒卜…+g儒)

=49+-=49-,

22

故答案为49；.

【点睛】

本题主要考查导数的计算及应用、函数的对称性、数学的转化与化归思想，属于难题.本

题将求和问题转化为函数的对称问题解答是解题的关键.

11.-20

【解析】

【分析】

先对原等式两边求导，然后令x=l可求出答案.

【详解】

29

对原等式两边求导，得-20(3-2x)9=q+2a2x+3a3x+-+10«10x,

令x=1,得4+2a2+3a3+4%+…+10al0=-20.

故答案为：-20.

【点睛】

本题考查利用赋值法求二项式展开式的系数和，考查求导公式的应用，考查学生的计算求

答案第5页，共12页

解能力与推理能力，属于中档题.

12.-l+ln2

【解析】

【分析】

先求得曲线的导函数，由导数的几何意义及切线方程的斜率可求得切点的横坐标，再代入

曲线方程即可求得切点纵坐标，将切点坐标代入切线方程即可求得。的值.

【详解】

曲线y=ln(2x),则y=_Lx(2xy=L,

2xx

直线y=x+a是曲线y=ln(2x)的切线，根据导数的几何意义可知，k=\=~,

X

所以切点的横坐标为X=1,代入曲线方程可知纵坐标为y=ln(2xl)=ln2,

即切点坐标为(1,山2),

代入直线方程可得In2=1+a,

解得a=-l+ln2,

故答案为：T+ln2.

【点睛】

本题考查了导数几何意义的简单应用，由切线方程求参数，属于基础题.

13.-1

【解析】

先求的导函数，根据切线的斜率等于切点处的导数值，求得切点坐标，代入切线方程，求

得，的值.

【详解】

；y=2x-e、，二歹=2-/,切线x-y+f=0的斜率为&=1,

设切点P(.xo,yo),

令y'屋=2—/=1,解得与=0,代入函数解析表达式得%=2x0-e0=-1,

•••切点坐标为(0,-1),代入切线方程x-y+r=0中得到0+l+f=0,解得f=-l,

故答案为：-L

【点睛】

本题考查导数的运算和导数的几何意义，关键是掌握函数在某点处的导数的几何意义是该

答案第6页，共12页

F■）=%

点处切线的斜率，切点坐标(用,%),切线的斜率为4,则满足:

f'M=k'

14.0或一.

4

【解析】

【分析】

根据导数定义以及几何意义得切线斜率.

【详解】

解：设过点(1/)的切线与y=/+i相切于点P(/X+1),

贝I］包_（Xo+Ar）'+l-（x；+l）_3工2+3/3）2+（AX）3

AxAxAx

=+3x（）Ax+（AO?，

当Ar趋于0时,r(%)=3年.

由导数的几何意义可知，曲线在点P处的切线的斜率为％=3*.①

又•••过点(1,1)的切线的斜率左=其百口，②

•••由①②，得34=工，解得%=0或x°=。，.•.％=()或人=与,

%-124

77

曲线y=d+i过点(1,1)的切线的斜率为0或9.

【点睛】

本题考查导数定义以及导数几何意义，考查基本求解能力，属基础题.

15.(1)m=-\,n=\,c—2.(2)(-l,+°o)

【解析】

【详解】

(1)设它们的公共交点的横坐标为而，

则呼+叫=-XO2+〃=2XO+C(*).

2

f(x)-^+mx,则尸(%)=3幺+m,2=3x0+/n@；

答案第7页，共12页

g(x)=-x2+n,则g'(x)=-2x,2=-2%②.

由②得外)=一1,由①得加=一1.

将不)=-1'机=一1代入(*)得〃一1=—2+c=0,•,*/?=1>c=2.

(2)由/(x)<g(x),得X，+尔v—+］,

即m>-x-x2+，在XE(-OO,0)上恒成立，

^•/2(X)=-X-X2+—(XG(-QO,0)),

则力，(X)=_1_2X_二=二=(一」-(),一(丁+1)=(x+l)(-2f+l),

xX2X2X2

其中-2/+工-1<0在XW(YO,0)上恒成立，

二/i(x)在(一，-1)上单调递增，在(TO)上单调递减，

则Mx)max=MT)=T，二心一］

故”的取值范围是(-1,+8).

16.(1)0.9；(2)1.2

【解析】

【分析】

(1)代入公式直接求0」到0.2的平均变化率即可得出结果；

(2)先求/(毛+以)-/(%)的值，再求〃/+一)一/1。)即可得出结果.

Ax

【详解】

(1)因为〃x)=3f+5,

所以从0.1到0.2的平均变化率为邳空W四士=0.9.

0.2-0.1

(2)f(xo+Ax)—f(xo)=3(xo+Ax)2+5一(3x：+5)

22

=3x()+6xoAx+3(Ax)+5—3x：—5==6xoAx+3(Ar),

所以函数,/(x)在区间［xo,x0+Ar］上的平均变化率为：

答案第8页，共12页

62+3QY=6切+3Ar.

Ar

所以在0.2处的瞬时变化率为蜘(6XO.2+3AX)=1.2.

17.(1)y=gx+l-ln2；(2)证明见解析.

【解析】

(1)求出的导函数,由i=r(o),可得答案.

(2)求出f(x)的导函数，讨论出函数f(x)的单调性，得出其最小值，可证明.

【详解】

(1)解：/"―二，

x+2

当x=o时，％=r(o)=g,

又“0)=l-ln2,

所以切线方程为y-(l-ln2)=gx,即y=gx+l-ln2.

(2)解：/(幻="一号在区间(-2,e)上单调递增，

又r(-i)<o,r(o)>o,

故/'(X)=0在区间(—2,一)上有唯一实根X.,且为e(-l,0),

当xe(-2,/)时，f'(x)<0；当xe(%，+<»)时，f\x)>0,

从而当x=/时，f(x)取得最小值.

由/'(%)=0,得*=三7，ln(xo+2)=fo，

玉)十N

故/(幻2](与)=-^+/=0。+?>0.

【点睛】

本题考查求函数在某点出的切线方程和利用导数证明不等式.解答本题的关键是由

广⑴=镇一力在区间(―2,位)上单调递增，得出了'(X)=0在区间(一2,内)上有唯一实根

%,从而得出f(x)的单调区，即/"(x)2f(Xo)=」一+x0=D,属于中档题.

尤o+2%+2

答案第9页，共12页

X+]xcosx-2sinx

18.(1)yr=\nx+-----；(2)y；(3)y=-e~xcos2x-2e~xsin2x.

xx3

【解析】

【分析】

利用求导公式和法则直接求解即可

【详解】

(1)由y=(x+l)lnx,得

y=(x+l)lnx+(x+l)(lnx)

=lnx+(x+l)—=+,

xx

，八,sinx

(2)由y=^,得

x

22

(sinx)x-sinx-(x)xcosx-2sinx

y=

(3)由y=e~xcos2x,得

y=("*)cos2x+e~x(cos2x)

=—e~xcos2x—2e~xsin2x

19.(l)y=x-l

(2)-

e

(3)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据导数的几何意义直接求切线方程；

(2)根据导数判断函数的单调性，进而可得最大值；

(3)若证需证g(x)a-/(x)"ull<?，分别计算函数“X)与g(x)的最

值.

(1)

由/,(x)=lnx+l,

得广(1)=1,所以曲线旷=〃*)在(1,0)处的切线方程：>'=%-1；

答案第10页，共12页

(2)

由《(》)=£；,可知：

当xe(-8,l)时，g«x)>0,此时函数g(x)单调递增；

当xe(l,+co)时，g<x)vO,此时函数g(x)单调递减；

所以当x=l时，函数g(x)取得最大值是1；

e

(3)

由(1)矢口/'(x)=lnx+l,

当时，/^x)<0,此时函数/(x)单调递减，

当xe(：,+8)时，此时函数“X)单调递增，

所以当x=：时，函数/(x)取得最小值-g,

由(2)知，上=1时,g(x)取得最大值L

e

故g(X)-/(X)wg(x