数列(高考真题+模拟新题)

数列(高考真题+模拟新题)

课标文数17.D1[2O11・浙江卷]若数列卜中的最大项是第左项，则上=

课标文数17.D1[2O11•浙江卷]4【解析】设最大项为第左项，则有

©氏+4)(1))a+1)依+5)(|)+|,

断〃+4)(})》(大一1)(发+3)(})T,

好210,八》也或心一，15,

E—2k—9W0[l-VTo^^l+Vw

课标文数20.D2,A2[2011•北京卷]若数列A„：at,恁，…，。“("22)满足|仅+|—阂=1(%

—1,2,•,,,n-1),则称4,为E数列.记S(4)=ai+a2H---卜即

(1)写出一个E数列小满足(71=673=0；

(2)若°|=12,"=2000,证明:E数列4是递增数列的充要条件是％=2011；

(3)在6=4的E数列4,中，求使得S(4)=0成立的n的最小值.

课标文数20.D2,A2[2011•北京卷]【解答】(1)0,101,0是一个满足条件的E数列为.

(答案不唯一，0,-1,0,1,0；0,±1,0,1,2；0,±1,0,-1,-2；0,±1,0,一1,0都是满足

条件的E数列A5)

(2)必要性：因为E数列4是递增数列，

所以仅+1-仅=1(左=1,2,…，1999).

所以4是首项为12,公差为1的等差数列.

所以02000=12+(2000-1)X1=2011,

充分性：由于。200。—S999W1.

0999-S998W1.

妆―4|W1.

所以。2000—0W1999，即。20。0或。|+1999.

又因为。1=12,“2000=2011.

所以“2000=0+1999.

故公+1—4=1>0伙=1,2,…，1999),即E数列4是递增数列.

综上，结论得证.

(3)对首项为4的E数列A,,,由于

—1=3,

死》。2—122,

所以“1+a2T----*0(左=2,3,…,8).

所以对任意的首项为4的E数列4,若S(4)=0,则必有〃》9.

又。1=4的E数列4)：4,3,2,1,0,-1,-2,—3,一4满足S(4))=0，

所以〃的最小值是9.

大纲理数4.D2[2011•全国卷J设&为等差数列｛%｝的前〃项和，若0=1,公差d=2,Sk

+2—&=24,则k=()

A.8B.7C.6D.5

大纲理数4.D2[2011•全国卷]D【解析】•；S*+2—5〃=以+1+。*+2=2。1+(2左+1)"=必+

4,：.4k+4=24,可得％=5,故选D.

大纲理数20.D2,D4[2011•全国卷]设数列｛。“｝满足m=0且——7^~=L

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设仇,=匕萍^记&=三瓦，证明：5„<1.

大纲理数20.D2,D4[2011•全国卷]【解答】(1)由题设二一

即是公差为1的等差数列.

又1-=1，故丁)—=儿

I-。1\—an

所以%=1—5

(2)证明：由(1)得

y]n+1—y[n11

■\/〃+1•也y[n'〃+1

大纲文数6.D2[2011•全国卷]设S”为等差数列他”｝的前〃项和，若白=1,公差d=2,Sk

+2—S&=24,则k=()

A.8B.7

C.6D.5

大纲文数6.D2[2011•全国卷]D【解析】■：Sk+2-Sk=ak+i+ak+2=2ai+(2k+l)d=4k+4,

二4〃+4=24,可得4=5,故选D.

课标理数10.MLD2,Bll[2011•福建卷]已知函数外)=炉+乂对于曲线y=/(x)上横坐标

成等差数列的三个点/、B、C,给出以下判断：

①AABC一定是钝角三角形；

②△/BC可能是直角三角形；

③△/BC可能是等腰三角形；

④△/BC不可能是等腰三角形.

其中，正确的判断是()

A.①③B.①④

C.②③D.②④

课标理数10.M1,D2,BH[2011•福建卷]B【解析】解法一：⑴设小B、C三点的横

坐标分别为Xi，X2,X3(X1〈X2Vx3),

/(x)=ev+l>0,

•*.人劝在(-8,十8)上是增函数，

/8)</(应)勺工)，且冷典产，

BA^(X\—X2,./(X|)—XX2)),心=(必一X2,兀2)—XM)),

x—

BABC-(%i—x2)(x3—x2)+(X-ri)-/(2))(/(^3)XX2))<0,

NNBC为钝角，判断①正确，②错；

(2)若△"(?为等腰三角形，则只需/8=8C,即

(X]—X2)2+(/(X1)~A©))?=(X3—Xz)?+(AX3)~AX2))2,

VX\,知工3成客差数列，即2X2=X[+X3，

且义X1)%2)」X3),

只需/(X2)-/(X1)=/(X3)-/(X2)，即“应)=/仁1)+/(必)，

即白手)=©1产，这与产把⑷产相矛盾,

,//(x)=e+i>o,2

•••式x)在(-8,+8)上是噌函数，画出众)的段索(大致).+

・'•大了1)江々)矶松，"/闻‘p

如图1-2,设直绳4B、B窗颈斜角分别为丽⑶由0<3狄BO

得a<g,故480=兀一$一a)为钝角，判断①正确，②错误；

由X1，必，了3成等差数列，得X?—X1=X3—X2，

若也力鸟微等腰三角形，只需AB=BC,则

式々)一式X!)=KX3)FX垃，

由0<履不磔0知上式不成立，判断③错误，④正确，故选B.

课标文数17.D2[2011•福建卷]已知等差数列｛%｝中,6=1,a3=-3.

(1)求数列｛叫｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝的前左项和&=一35,求左的值.

课标文数17.D2[2011•福建卷]【解答】(1)设等差数列｛为｝的公差为d,则％=句+(〃一

l)d.

由0=1,673=-3,可得l+2d=-3.

解得d=-2.

从而，a„—1+(»—1)X(—2)—3—2n.

(2)由⑴可知为=3—2”.

*No41+(3-2/7)]

所以S,-2—2〃一〃2.

进而山Sk=-35可得2k—1c——35.

即无2-2左-35=0,解得"=7或人=-5.

又无GN*,故％=7为所求.

课标理数H.D2[2011・广东卷]等差数列｛%｝前9项的和等于前4项的和.若6=1,a,+

<?4~0>则k=.

课标理数n.D2[2011•广东卷]10【解析】山Sg=S4，所以死+%+的+。8+的=0，即

5即=0，所以。7=0，

由田=。1+64得d=—又四+“4=0'

即〃i+(%_l)(_/+ai+3X(_*0,

即(%—1)义(一1=一方，所以左一1=9,所以左=10.

课标理数13.D2[2011・湖北卷]《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自

上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节

的容积为_______升.

课标理数13.D2[2011•湖北卷]黑【解析】设所构成的等差数列｛%｝的首项为0，公差

a\+02+03+04=3,[4内+6/=3,

为d,为所以°5=。1+44=而.

的+。8+。9=4,[3〃]+21d=4,

课标建数19.D2[2011•湖北卷]已知数列｛恁｝的前〃项和为&，且满足：卬=心/0),%+i

=uS〃(〃£N*，尸WR,rW—1).

(1)求数列｛劣｝的通项公式；

(2)若存在4£N*,使得Szi，Sk，SA+2成等差数列，试判断：对于任意的m£N*,且加22,

的+1•斯•即+2是否成等差数列，并证明你的结论.

课标理数19.D2[20U・湖北卷]【解答】(1)由已知可得为+2=〃S〃+i，两式相减

可得

=

a〃+2-a”+i=，＜S〃+i-Sn)ra,1+\9即为+2=(r+1)恁+1,

又a?=raI=ra,所以

当〃=0时，数列｛。〃｝为：°,0,…，0,•••；

当〃W0,产产一1时，由已知oNO,所以为W0(〃£N*),

于是由研2=(r+可得&^=尸+1(〃WN*),

%+i

，。2，6，…，…成等比数列，

2

:.当时，an=r(r+1)”a.

。，n=\f

综上，数列｛%｝的通项公式为以=「、广2

r(r+1)~a,n廿2.

(2)对于任意的mGN*,且m22,a„,+1,即+2成等差数列，证明如下：

〃=1,

当，=0时，由(1)知，a„=]

[0,

对于任意的机WN*,且〃?22,即+],am,。m+2成等差数列；

当尸W0,尸W—1时，••♦3斤+2=5&+以+]+仅+2，SA+]=SA+M+I,

若存在攵£N*,使得&+],Sk，S^2成等差数列，则见+]+5^2=25〃，

**•25k+2a卜+1+。*+2=2Sk，即必+2=—2四+1，

由⑴知，如々3，…，仇，…的公比r+1=—2,于是对于任意的相£1\*,且加22,0〃+i

=-2a巾,从而。加+2=4劭，

・・・0〃+1+0〃+2=20〃，即0"+1，0”，0"+2成等差数列.

综上，对于任意的,且。m+1，&m，。川+2成等差数列.

课标文数9.D2[2011・湖北卷]《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上

而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的

容积为()

A.1升B.1^升C.升D.升

课标文数9.D2[2011•湖北卷]B【解析】设所构成的等差数列｛四｝的首项为卬，公差为

4]+(72+03+04=3,/[].4a]+6d=3,所以°5=。1+41=会.

d,由

.田+恁+的=%3〃i+21d=4,

课标文数17.D2,D3[2011•湖北卷]成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分

别加上2、5、13后成为等比数列｛力｝中的心、仇、仇.

(1)求数列｛6,｝的通项公式；

(2)数列付“｝的前”项和为S“，求证：数歹,工+苧是等比数列.

课标文数17.D2,D3[2011•湖北卷]【解答】(1)设成等差数列的三个正数分别为。一"，①

a+d

依题意，得a—d+a+q+d=15.解得<7=5.

所以｛兀｝中的中,①,缶依次为7—dlO,18+d.

依题意，有(7—0(18+功=100,

解得d=2或d=-13(舍去).

故出”｝的第3项为5,公比为2.

由by—b\'2~>即5—/>f22,解得仇=了

所以｛儿｝是以1为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为儿奇2"T=52"7

|(1-2M)55

(2)证明：由⑴得数列也｝的前〃项和5“=一]二2—2—；,即S,+j=5-2i

55Sn+'+45-2""1

所以s/=1——二=h=2.

S,+w

因止匕｛&+[)是以?为首项，公比为2的等比数列.

课标理数12.D2[2011・湖南卷]设S“是等差数列｛a,,｝(〃eN*)的前"项和，且s=l,的=7,

贝II$5=•

课标理数12.D2[2011•湖南卷]25【解析】设数列｛。“｝的公差为"，因为&i=l,(14=7,

所以a4=a\+3d=>d=2,

故&=50+104=25.

课标文数5.D2[2011•江西卷]设｛〃“｝为等差数列，公差d=-2,S„为其前〃项和.若So

=Sn，则伯=()

A.18B.20C.22D.24

课标文数5.D2[2011,江西卷]B【解析】|11SIO=SU，得。u=Su—SIO=0,

.•.0=au+(l—ll)d=0+(—10)(—2)=20.故选B.

课标文数15.D2[2011•辽宁卷]S”为等差数列仞“｝的前n项和，S2=S6,a4=\,贝lja5=

课标文数15.D2[2011•辽宁卷]一1【解析】由52=&，得20+d=6m+-yd解得43

+3d)+2d=f),即2(74+4=0，所以。4+(44+团=0，即。5=—44=—L

课标文数17.D2,D3[2011•课标全国卷]已知等比数列｛四｝中，公比g=；.

⑴S,为｛斯｝的前〃项和，证明:S0=V&；

⑵设C=10g3Ol+10g3a2T-----Hog3%,求数列｛6〃｝的通项公式.

课标文数17.D2,D3［20U•课标全国卷］

所以Sn=~2

(2)b〃=log30+log3〃2-|------Hog30,

=一(1+2+…+〃)

〃(勿+1)

〃(〃+1)

所以｛小｝的通项公式为b产一'2.

大纲理数8.D2［2011•四川卷］数列｛为｝的首项为3,｛心｝为等差数列且兀=4〃+i—々〃5£N*),

若仇=-2,b\o=12,则。8=()

A.0B.3C.8D.11

大纲理数8.D2［20U•四川卷］B【解析】由数列电｝为等差数列，且仇=一2,仇。=12

可知数列公差4=2,所以通项2+(〃-3)X2=2〃一8=4+1—a”，所以恁-ai=2X(l+2

+3+…+7)—8X7=0,所以48=6=3.

课标理数4.D2［2011•天津卷］已知俗〃｝为等差数列，其公差为一2,且田是。3与他的等比

中项,S”为｛%｝的前〃项和,〃£N*,则So的值为()

A.-110B.-90C.90D.110

课标理数4.D2［2011,天津卷］D【解析】由诏=的,49，d=-2,得(夕］-12)2=3—4)(<7)

-16),解之得m=20,.♦.$()=10X20+半与-2)=110.

课标文数文数2［2011・天津卷］已知｛斯｝是等差数列,一为其前〃项和,一N*.若的=16,

$20=20,贝IJSo的值为.

课标文数1LD2［2O11・天津卷］110【解析】设等差数列的首项为外，公差为"，由题意

%3=。1+24=16,

4=-2,10X20+—y-X(-2)=110.

课标理数19.D2［2011•浙江卷］已知公差不为0的等差数列｛为｝的首项内为a(aCR).设数

列的前〃项和为&,且工，；，工成等比数列.

ci\a］。4

(1)求数列｛为｝的通项=公式及S〃；

(2)记----8〃=，+，+-^-H-------------一.当心2时，试比较4〃与

332>3a\a2。22。2〃一1

的大小.

课标理数19.D2［2011•浙江卷］【解答】(1)设等差数列｛为｝的公差为d,由⑥2=那5，

得3+^2=63+30.因为d#o,所以d=s=4,

g、10加(〃+1)

加以%=MSn=2

1

为

囚--

2)^0/所以

111+11

++

4-S

尤

-+所

5253

以

石+…十

当”22时、2B=CU+Ci+C^------FC；；>n+l,

即1—47<1-^

〃十12

所以，当〃>0时，4<8〃；当aVO时，An>Bn.

大纲文数l.D2[20U•重庆卷]在等差数列｛%｝中，&=2,6=4,则。io=()

A.12B.14C.16D.18

大纲文数l.D2[2011•重庆卷]D【解析】设等差数列｛%｝的公差为",

+d=2,0=0,

由。2=2,。3=4，得'.n解得，

+2d—4,d—2,

.•.410=41+(10-l)Xd=9"=18.故选D.

课标文数21.D3,D4[2011•安徽卷]在数1和100之间插入〃个实数，使得这〃+2个数构

成递增的等比数列，将这〃+2个数的乘积记作T“，再令%=lg7,””21.

(1)求数列｛四｝的通项公式；

(2)设b„=tana„-tana„+l,求数列｛/>“｝的前n项和S,,.

课标文数21.D3,D4[2011・安徽卷]本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角

差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能

力.

【解答】⑴设“，山…，%+2构成等比数列，其中4=1,4+2=100,则

Tn=t「h••…—①

=

Tntn+2'tn+l..■②

①X②并利用““+3r=/|/“+2=l()2(lWiW"+2),得

4=(“力+2)«4+1)…(。+也)«"+2")=102(/2),

•二(7〃=lgT〃=〃+2,

(2)由题意和(1)中计算结果，知

bn=tan(w+2),tan(w+3),"21.

tan/+[)-tank

另一方面，利用tanl=tan[(〃+l)—&]=

l+tan(%+l>tan/f

,tan(A+1)-tanZ:

得tan伙+]>ta»=-----------------1.

n”+2

所以Sn=£一性=S3tan(A+L)-tan^

_联tan(左+1)—tar衣tan(.+3)—tan3

k=3tanlLtanl

课标理数18.D3,D4[20U・安徽卷]

在数1和100之间插入n个实数，使得这〃+2个数构成递增的等比数列，将这〃+2个

数的乘积记作与，再令％=lg〃，勿21.

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

(2)设6„=tana„-tana„+i，求数列｛儿｝的前n项和S,,.

课标理数18.D3,D4[2011•安徽卷]【解析】本题考查等比和等差数列，对数和指数的运

算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，运算求解能力

和创新思维能力.

【解答】(1)设“，勿…，加+2构成等比数列，其中」=1，1+2=100,则

T"-..

Tn-tn+2'tn+\tl't\>②

2

①X②并利用/,/„+3-,=/,/„+2=10(1+得

也+2)：(，2，"+1)...(，"+1，2>(。+24)=1。2("+2)一

,lgT〃=〃+2,

(2)山题意和(1)中计算结果，知

b〃=tan(〃+2>tan(〃+3),

另一方面，利用

tan(%+1)—tan"

tanl=tan[(%+1)一月=

1+tan(《+l>tank'

ZR,.tan(%+1)-tan〃

得tan(Zr+])tank=--------j---------1.

n〃+2

所以Sn=Zbk=Ztan(k+l)-tanZr

k=l%=3

M+2tan(〃+1)—tan女

ztanl*1

k=3

tan(〃+3)~~tan3

tanlf

课标理数ll.D3[2011•北京卷]在等比数列｛“中，若0=；心=-4,则公比产；

%I+IzlH----H|恁|=________.

课标理数U.D3[2011•北京卷]-2【解析】由44=句/=：/=一小可得夕=

1宗L2")

-2；因此，数列他|｝是首项为右公比为2的等比数列，所以同+㈤+…+同==

9«-l-1

22,

课标文数12.D3[2011•北京卷]在等比数列中，若白=；,如=4,则公比4=

+。2+…+0?=.

课标文数12.D3[2011•北京卷]2

【解析】由题意可知。4=。1夕3=53=4,可得夕=2,

女1-2")

所以2H------—=2〃一子

大纲文数17.D3[2011•全国卷]设等比数列｛%｝的前n项和为S”.已知色=6,6卬+6=30,

求a„和S”.

大纲文数17.D3[2011•全国卷]【解答】设｛为｝的公比为由题设得

卜q=6,

[6t7j+4闯2=30.

4i=3,ci\=2,

解得或

加=2,[q=3.

当6=3,g=2时,%=3X2"T,5„=3X(2n-l)；

当。1=2,g=3时,%=2X3"T,S,=3f.

13

课标理数16.D3,C4[2011•福建卷]已知等比数列｛仇｝的公比q=3,前3项和$3=9.

(1)求数列｛。”｝的通项公式；

TT

(2)若函数/)=然皿及+0)(/>0,0〈孵兀)在x=4处取得最大值，月.最大值为。3,求函数加)

的解析式.

课标数学16.D3,C4[2011・福建卷]【解答】⑴由4=3,$3=学得明与尹=早，解得

1

a\=y

所以q=^X3"T=3"-2.

(2)由Q)可知%=3"-2,所以的=3.

因为函数Xx)的最大值为3,所以，=3；

因为当x=2寸段)取得最大值，

所以sin(2X器+/=1.

■JI

又0<9<兀，故9=%.

所以函数y(x)的解析式为/(x)=3sin(2x+y.

课标文数16.D3[2011•福建卷]商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根

据商品的最低销售限价。，最高销售限价6(6>。)以及实数x(0avl)确定实际销售价格c=a+x(b

~a).这里，x被称为乐观系数.

经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(。一。)是(b—c)和(6—0的等比中项.据此可得，最

佳乐观系数x的值等于________.

课标文数16.D3[2011•福建卷]写」【解析】由已知，有(c—0是(6—c)和(6—a)的等

比中项，即

(c-4=(6—c)(b—a),

把c=a+x(b—q)代入上式，得

x2(b—a)2=[b—a—x(b—a)](b—a),即x2(b-a)2=(1~x)(h—tz)2,

■:b>a,b—a#0,

**.x2=1—x,即f+x—1=0,

解得》=孝，

因为0<x〈l,所以最佳乐观系数x的值等于二中后

课标文数U.D3[2011•广东卷]已知｛%｝是递增等比数列,勿=2,。4一的=4,则此数列的

公比q—.

课标文数U.D3[2011•广东卷]2【解析】｛4｝为等比数列，所以。4r3=侬2一2夕=4,

即2,-2g=4,

所以g-2=0,解得夕=-1或q=2,又｛%｝是递增等比数列，所以g=2.

课标文数17.D2,D3[2011•湖北卷]成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分

别加上2、5、13后成为等比数列｛/>“｝中的仇、仇、仇.

(1)求数列｛勿｝的通项公式；

(2)数列｛儿｝的前〃项和为S”求证：数列是等比数列.

课标文数17.D2,D3[2011・湖北卷]【解答】(1)设成等差数列的三个正数分别为a—d,

a+d

依题意，得a—d+a+q+d=15.解得a=5.

所以仍,｝中的甲，M缶依次为7—dlO,18+d.

依题意，有(7—团(18+4=100,

解得d=2或d=-13(舍去).

故出”｝的第3项为5,公比为2.

由/>3=6「22,即5=6「22,解得仇=，.

所以｛儿｝是以(为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为/2"T=5-2”7

aIT)弓

(2)证明：由⑴得数列｛，,｝的前〃项利S,尸一工一=52".2一本即5,+彳=5-21

所以S]+w=5,7=5・2〃-2=2.

S〃+1

因此卜“+芥是以|为首项，公比为2的等比数列.

课标理数18.D3[2011•江西卷]已知两个等比数列｛为｝,｛b„｝,满足见=0(心0),bx-ax=\,

b2—。2=2,by-。3=3.

(1)若4=1,求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛为｝唯一,求a的值.

课标理数18.D3[2011•江西卷]【解答】(1)设｛4｝的公比为分则"=1+。=2,岳=2+

aq=2+q,63=3+aq~=3+q~,

由仇，bi,一成等比数列得(2+q)2=2(3+q2),

即g?—4q+2=0,解得令|=2+啦，夕2=2一也，

所以3｝的通项公式为斯=(2+五尸或许=(2—6)"7.

(2)设㈤｝的公比为夕，则由(2+ag)2=(l+a)(3+4),得的2—4的+3。­1=0,(*)

由。>0得/=4/+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根，

由｛%｝唯一，知方程(*)必有一根为0,代入(*)得。=/

课标文数5.D3[2011・辽宁卷]若等比数列｛斯｝满足小研产16”,则公比为()

A.2B.4C.8D.16

课标文数5.D3[2011•辽宁卷]B【解析】由于。血+|=16",又加q=16"],所以婚山

=，=16,乂由1=16"知0r>0,所以夕=4.

课标文数17.D2,D3[2011•课标全国卷]己知等比数列｛斯｝中，。I=1，公比夕=；.

(1)S〃为｛小｝的前〃项和，证明：s产与电；

(2)设6〃=log34]+log3a2H---Hlog3aw,求数列｛"J的通项公式.

课标文数17.D2,D3[2011•课标全国.卷]【解答】⑴因为为=卜(9"[=/,

丸-豹T

S〃一j—一―2-'

1-3

=

所以Sn-2-^.

(2)/=log3,+10g3。2T---卜log30?

=一(1+2+…+〃)

〃(勿+1)

=一­2_>

所以｛/>,｝的通项公式为，,=一吟

大纲文数9.D3[2011・四川卷]数列｛四｝的前〃项和为S”若0=1,%+i=3S”(〃》l)，则

%=()

A.3X44B.3X44+1

C.44D.44+1

大纲文数9.D3[2011,四川卷]A【解析】由a”+]=3S”=S”+1—S„—3S„^Slt+,—45„,所以

数列｛a｝是首项为1，公比为4的等比数列，所以S“=4"T,所以恁=$6-$5=4、-44=3X44,

所以选择A.

大纲理数ll.D2[2011•重庆卷]在等差数列｛%｝中，6+的=37,贝ija2+a4+a6+as^

大纲理数ll.D2[2011•重庆卷]74【解析】由死+田=37,得(0+2闭+(0+60=37,

B|J2a1+8c/=37..,.。2+。4+。6+。8=(0+功+(。1+34+(。|+5(/)+(。|+7<7)—2(2<71+8</)—74.

课标文数7.D4[2011・安徽卷]若数列｛%｝的通项公式是为=(—1)"(3〃-2),则6+念+…

+。10=()

A.15B.12

C.-12D.-15

课标文数7.D4[2011•安徽卷]A【解析】0+s+…+mo=-1+4—7+10+…+(一

1)10-(3X10-2)=(-1+4)+(-7+10)+-+[(-1)9.(3X9-2)+(-1)10-(3X10-2)]=3X5=15.

课标文数21.D3,D4[2011•安徽卷]在数1和100之间插入〃个实数，使得这〃+2个数构

成递增的等比数列，将这〃+2个数的乘积记作T“，再令a”=lgT“，”21.

(1)求数列｛&“｝的通项公式；

(2)设b„—tana„-tana„+i，求数列｛b,｝的前〃项和S„.

课标文数21.D3,D4[2011•安徽卷]本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角

差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能

力.

【解答】(1)设小方…，-2构成等比数列,其中」=1,1+2=100,则

=

Tnt\'t2%+「f”+2，①

Tn-tn+2'tn+.\..

①X②并利用“”+3r=/〃“+2=102(lWiW"+2),得

/—)…“&+也)«"+2")=102("+2),

,a〃=lg7j；=〃+2,

(2)由题意和(1)中计算结果,知

b〃=tan(〃+2>tan(〃+3),〃21.

tan(〃+[)—tan%

另一方面，利用tanl=tan[(%+l)一勾=

1+tan(%+

“t八一、,tan(4+1)—tan左

得tan伙+])3很=--------------1.

nn+2

所以产b=

Sk=lkEk=3tan(A+l)-tanZ:

tan(A+1)-tan卜1tan(.+3)—tan3

乙k=3Ltanltanl

课标理数18.D3,D4[2011・安徽卷]

在数1和100之间插入n个实数，使得这〃+2个数构成递增的等比数列，将这勿+2个

数的乘积记作T.，再令为=lgT“，”21.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)设b„=tana„-tana„+i，求数列也,｝的前n项和S,,.

课标理数18.D3,D4[2011・安徽卷]【解析】本题考查等比和等差数列，对数和指数的运

算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，运算求解能力

和创新思维能力.

【解答】⑴设小々…，野+2构成等比数列，其中“=1,力+2=100,则

Tn-i\'h..%+「41+2，①

■=f"+24+1......为力，②

①X②并利用“”+3-尸/]。+2=IO?。WiW〃+2),得

4=(彳力+2)•(〃〃+1)…“("+也>&+2%)=102("+2)

・'•a〃=lg7〃=〃+2,

(2)由题意和(1)中计算结果，知

bn=tan(w+2)-tan(w+3),

另一方面，利用

tan(%+1)—tan左

tan1=tan[(Z+1)一川=

1+tan(左+

,tan(上+1)—tan左

得tan(左+l>tank=~~j——1.

nn+2

所以S=£bk=Ztan/+l),tan%

nk=\k=3

n+2tan(k+1)—tan攵

=z1

k-3tanl

tan(〃+3)—tan3

n.

tanl

大纲理数20.D2,D4[2011•全国卷]设数列｛%｝满足切=0且E一一1二=1•

L4〃+lLG”

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设6“=匕坐记5〃=三①，证明：S„<1.

大纲理数20.D2,D4[2011•全国卷]【解答】⑴由题设厂片一不工7=1，

即｛七｝是公差为1的等差数列.

乂士=1'故土=〃.

所以a.=1

(2)证明：由(1)得

b113+1—5__1_1

,\/w+1-y/ny[^1

〃〃(11、

・・5=砂=育麻-后卜

课标文数20.D4[2011•湖南卷]某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M

的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初〃的价值比上年初减少10万元；

从第7年开始，每年初”的价值为上年初的75%.

(1)求第n年初M的价值an的表达式；

(2)设…七％.若4大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更

新.证明：须在第9年初对M更新.

课标文数2O.D4[2O11•湖南卷]【解答】(1)当〃W6时，数列｛4｝是首项为120,公差为一

10的等差数列.

^=120-10(^7-1)=130-10^?；

当心6时，数列㈤｝是以恁为首项，公比为1的等比数列，又。6=70,所以““=70X。

«-6

因此，第〃年初，加的价值4的表达式为

130—10〃，〃W6,

a"~70义(犷6,〃》7.

(2)设S,表示数列｛%｝的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得

当1W〃W6时,5"=120”一5〃(〃一1),

4=120-5(〃-1)=125-5”；

当〃》7时，由于$6=570,故

6

S„=S6+(a7+a8+-+t7„)=570+70x1x4X1一仔)"=780—210X(J)"R

780-210

因为｛““｝是递减数列，所以｛4”｝是递减数列.又

780-210X(J)2

，8=g=82百>80，

780—210X©)379

49=Q-76Q^<80,

所以须在第9年初对M更新.

课标理数5.D4[2011♦江西卷]已知数列｛四｝的前〃项和工满足：Sn+Sm=Sn+m，且0=1.

那么。]0=()

A.1B.9

C.10D.55

课标理数5.D4[2011•江西卷]A【解析】方法一：由S〃+S〃=S〃+m，得S]+S9=S】o，

.•・Q]O=S]O—Sg=S\—=1,故选A.

方法二：

<S2=<7]+。2=25],；・。2=1，

VS3=S|+52=3,「・。3=1,

S4=S[+S3=4,•*.6/4=1,

由此归纳cj\o=1，故选A.

课标理数17.D4[2011•辽宁卷]

已知等差数列｛。〃｝满足。2=0，。6+。8=-10.

(1)求数列｛恁｝的通项公式；

(2)求数歹《券]的前n项和.

课标理数17.D4R011•辽宁卷]【解答】(1)设等差数列｛为｝的公差为d,由已知条件可得

。]+1=0,自=1，

,解得

2<7]+12(/=—10.[d=-1.

故数列｛。〃｝的通项公式为an=2—n.

(2)设数歹《黄r｝的前〃项和为S“，即S,,=s+华+…+京，故&=1,

另

§为

=£1+1TF

224+(•

所

当

时

以h

»

显-%

2-27

2-

?7

所以S〃=2〃-i.

综上，数列]用｝的前〃项和s,=卢.

课标理数14.D4[2011•陕西卷]植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植•

棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树

坑出发前来领取树苗住里所走的路程总和最小，这个最小值为(米).

课标理数14.D4[2011•陕西卷]2000【解析】树苗放在10或11号坑，则其余的十九人

一次走过的路程为90,80,70,60,…,80,90,100,则和为s=式粤空X2+100X2=2000,

若放在11号坑，结果一样.

课标理数19.BU,D4[2011•陕西卷]

如图1-11,从点Pi(0,0)作x轴的垂线交曲线丁=炉于点。1(0,1),曲线在0点处的切线

与x轴交于点尸2.现从22作x轴的垂线交曲线于点。2,依次重复上述过程得到一系列点：尸”

Qi；。2；…；p„>。"，记尸*点的坐标为(X&.0)/=1,2,…，ri).

(1)试求x*与的关系(2<AW“)；

(2)求|P©|+尸2。2|+BQI+…+巴®.

课标理数19.B1LD4[2011•陕西卷]【解答】

(1)设PR-I(4-I.O),由y'=e”得。i—i(x*-i,cx*-i)点处切线方程为y-ex>-i=ex*-i(x—

由y=0得Xk=Xk-i-1(2WAW〃).

(2)由»=0,Xk—X),\——1,得Xk=—(k—1),

所以RQ尸ex产广(1),于是

S=\P\91+甲2。2|+岛0|+…+\PQ\

n1~nnn八」一〃

=1+eT+e-2+…+eS)=^_£_r=5_L^

1—ee—1

课标文数1O.D4[2O11・陕西卷]植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一

棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20

依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两

个最佳坑位的编号为()

A.①和⑳B.⑨和⑩

C.⑨和⑪D.⑩和⑪

课标文数1O.D4[2O11•陕西卷]D【解析】从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁

边，则每个人所走的路程和最小，-共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑,

故答案选D.

潮底哀数19.B11,D4[2(H1•陕西卷]如图1-12,从点尸1(0,0)作x轴的垂线交曲线『=

d于点曲线在Qi点处的切线与x轴交于点B.再从B作x轴的垂线交曲线于点Qi，

依次重复”

上述过程得到一系列点：Pi，Qv/，&…;片，Q*，记史成蝴振为80)/=12…，

n).一

(1)试求XX与xk1的关系(2WkWm；♦

⑵求IP1Q