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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在我国传统文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五个物质类别,在五者之间,有一种“相生”的关系,具体是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个,这二者具有相生关系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.82.已知抛物线上一点到焦点的距离为,分别为抛物线与圆上的动点,则的最小值为()A. B. C. D.3.已知函数,则方程的实数根的个数是()A. B. C. D.4.已知数列是以1为首项,2为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,设,,则当时,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.115.若函数有且只有4个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.在中,为边上的中点,且,则()A. B. C. D.7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A. B.6 C. D.8.设双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.B.C.D.9.复数(为虚数单位),则的共轭复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10.已知数列满足:,则()A.16 B.25 C.28 D.3311.已知向量,则()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()12.己知集合,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素(这些元素可以延缓衰老,还能起到抗癌的效果)对人体的作用,现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验,则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.14.若,且,则的最小值是______.15.若函数在区间上恰有4个不同的零点,则正数的取值范围是______.16.若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)(1)已知数列满足:,且(为非零常数,),求数列的前项和;(2)已知数列满足:(ⅰ)对任意的;(ⅱ)对任意的,,且.①若,求数列是等比数列的充要条件.②求证:数列是等比数列,其中.18.(12分)若正数满足,求的最小值.19.(12分)已知各项均为正数的数列的前项和为,满足,,,,恰为等比数列的前3项.(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前项和为;若对均满足,求整数的最大值;(3)是否存在数列满足等式成立,若存在,求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.20.(12分)在平面直角坐标系中,已知点,曲线:(为参数)以原点为极点,轴正半轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(Ⅰ)判断点与直线的位置关系并说明理由;(Ⅱ)设直线与曲线的两个交点分别为,,求的值.21.(12分)已知函数.(1)若,,求函数的单调区间;(2)时,若对一切恒成立,求a的取值范围.22.(10分)已知函数(其中是自然对数的底数)(1)若在R上单调递增,求正数a的取值范围;(2)若f(x)在处导数相等,证明:;(3)当时,证明:对于任意,若,则直线与曲线有唯一公共点(注:当时,直线与曲线的交点在y轴两侧).
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】从五行中任取两个,所有可能的方法为:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共种,其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土,共种,所以所求的概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,属于基础题.2.D【解析】
利用抛物线的定义,求得p的值,由利用两点间距离公式求得,根据二次函数的性质,求得,由取得最小值为,求得结果.【详解】由抛物线焦点在轴上,准线方程,则点到焦点的距离为,则,所以抛物线方程:,设,圆,圆心为,半径为1,则,当时,取得最小值,最小值为,故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题,涉及到的知识点有抛物线的定义,点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径,二次函数的最小值,属于中档题目.3.D【解析】
画出函数,将方程看作交点个数,运用图象判断根的个数.【详解】画出函数令有两解,则分别有3个,2个解,故方程的实数根的个数是3+2=5个故选:D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用,分类思想的运用,数学结合的思想判断方程的根,难度较大,属于中档题.4.B【解析】
根据题意计算,,,解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项,2为公差的等差数列,∴.∵是以1为首项,2为公比的等比数列,∴.∴.∵,∴,解得.则当时,的最大值是9.故选:.【点睛】本题考查了等差数列,等比数列,f分组求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.5.B【解析】
由是偶函数,则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解:显然是偶函数所以只需时,有且只有2个零点即可令,则令,递减,且递增,且时,有且只有2个零点,只需故选:B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围,基础题.6.A【解析】
由为边上的中点,表示出,然后用向量模的计算公式求模.【详解】解:为边上的中点,,故选:A【点睛】在三角形中,考查中点向量公式和向量模的求法,是基础题.7.D【解析】
用列举法,通过循环过程直接得出与的值,得到时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图,可得,,满足条件,,,满足条件,,,满足条件,,,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为.故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.8.A【解析】
由题意,根据双曲线的对称性知在轴上,设,则由得:,因为到直线的距离小于,所以,即,所以双曲线渐近线斜率,故选A.9.C【解析】
由复数除法求出,写出共轭复数,写出共轭复数对应点坐标即得【详解】解析:,,对应点为,在第三象限.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法运算,共轭复数的概念,复数的几何意义.掌握复数除法法则是解题关键.10.C【解析】
依次递推求出得解.【详解】n=1时,,n=2时,,n=3时,,n=4时,,n=5时,.故选:C【点睛】本题主要考查递推公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.D【解析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则,两个向量平行、垂直的性质,得出结论.【详解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐标对应不成比例,故、不平行,故排除A;显然,•3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),显然,和的坐标对应不成比例,故和不平行,故排除C;∴•()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正确,故选:D.【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算,两个向量平行、垂直的性质,属于基础题.12.C【解析】
先化简,再求.【详解】因为,又因为,所以,故选:C.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算,还考查了运算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
记只雌蛙分别为,只雄蛙分别为,从中任选只牛蛙进行抽样试验,其基本事件为,共15个,选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为,共9个,故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.14.8【解析】
利用的代换,将写成,然后根据基本不等式求解最小值.【详解】因为(即取等号),所以最小值为.【点睛】已知,求解()的最小值的处理方法:利用,得到,展开后利用基本不等式求解,注意取等号的条件.15.;【解析】
求出函数的零点,让正数零点从小到大排列,第三个正数零点落在区间上,第四个零点在区间外即可.【详解】由,得,,,,∵,∴,解得.故答案为:.【点睛】本题考查函数的零点,根据正弦函数性质求出函数零点,然后题意,把正数零点从小到大排列,由于0已经是一个零点,因此只有前3个零点在区间上.由此可得的不等关系,从而得出结论,本题解法属于中档题.16.【解析】
依题意得,再求点到平面的距离为点到直线的距离,用公式所以即可得出答案.【详解】解:正三棱柱的所有棱长均为2,则,点到平面的距离为点到直线的距离所以,所以.故答案为:【点睛】本题考查椎体的体积公式,考查运算能力,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)①;②证明见解析.【解析】
(1)由条件可得,结合等差数列的定义和通项公式、求和公式,即可得到所求;(2)①若,可令,运用已知条件和等比数列的性质,即可得到所求充要条件;②当,,,由等比数列的定义和不等式的性质,化简变形,即可得到所求结论.【详解】解:(1),,且为非零常数,,,可得,可得数列的首项为,公差为的等差数列,可得,前项和为;(2)①若,可令,,且,即,,,,对任意的,,可得,可得,,数列是等比数列,则,,可得,,即,又,即有,即,数列是等比数列的充要条件为;②证明:对任意的,,,,,当,,,可得,即以为首项、为公比的等比数列;同理可得以为首项、为公比的等比数列;对任意的,,可得,即有,所以对,,,可得,,即且,则,可令,故数列,,,,,,,,,是以为首项,为公比的等比数列,其中.【点睛】本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法和推理、运算能力,属于难题.18.【解析】试题分析:由柯西不等式得,所以试题解析:因为均为正数,且,所以.于是由均值不等式可知,当且仅当时,上式等号成立.从而.故的最小值为.此时.考点:柯西不等式19.(2),(2),的最大整数是2.(3)存在,【解析】
(2)由可得(),然后把这两个等式相减,化简得,公差为2,因为,,为等比数列,所以,化简计算得,,从而得到数列的通项公式,再计算出,,,从而可求出数列的通项公式;(2)令,化简计算得,从而可得数列是递增的,所以只要的最小值大于即可,而的最小值为,所以可得答案;(3)由题意可知,,即,这个可看成一个数列的前项和,再写出其前()项和,两式相减得,,利用同样的方法可得.【详解】解:(2)由题,当时,,即当时,①②①-②得,整理得,又因为各项均为正数的数列.故是从第二项的等差数列,公差为2.又恰为等比数列的前3项,故,解得.又,故,因为也成立.故是以为首项,2为公差的等差数列.故.即2,4,8恰为等比数列的前3项,故是以为首项,公比为的等比数列,故.综上,(2)令,则所以数列是递增的,若对均满足,只要的最小值大于即可因为的最小值为,所以,所以的最大整数是2.(3)由,得,③④③-④得,⑤,⑥⑤-⑥得,,所以存在这样的数列,【点睛】此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,最值,恒成立问题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.(Ⅰ)点在直线上;见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)直线:,即,所以直线的直角坐标方程为,因为,所以点在直线上;(Ⅱ)根据直线的参数方程中参数的几何意义可得.【详解】(Ⅰ)直线:,即,所以直线的直角坐标方程为,因为,所以点在直线上;(Ⅱ)直线的参数方程为(为参数),曲线的普通方程为,将直线的参数方程代入曲线的普通方程得,设两根为,,所以,,故与异号,所以,,所以.【点睛】本题考查在极坐标参数方程中方程互化,还考查了直线的参数方程中参数的几何意义,属于中档题.21.(1)单调递减区间为,单调递增区间为;(2)【解析】
(1)求导,根据导数与函数单调性关系即可求出.(2)解法一:分类讨论:当时,观察式子可得恒成立;当时,利用导数判断函数为单调递增,可知;当时,令,由,,根据零点存在性定理可得,进而可得在上,单调递减,即不满足题意;解法二:通过分离参数可知条件等价于恒成立,进而记,问题转化为求在上的最小值问题,通过二次求导,结合洛比达法则计算可得结论.【详解】(1)当,,,,令,解得,当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增.(2)解法一:当时,函数,若时,此时对任意都有,所以恒
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