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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱中,点是平面内一点,则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为()A.2 B.3 C.4 D.52.一个组合体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),则该几何体的体积是()A. B. C. D.3.已知函数是上的减函数,当最小时,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.4.已知(i为虚数单位,),则ab等于()A.2 B.-2 C. D.5.已知曲线的一条对称轴方程为,曲线向左平移个单位长度,得到曲线的一个对称中心的坐标为,则的最小值是()A. B. C. D.6.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,则7.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案种数是()A.18种 B.36种 C.54种 D.72种8.设是定义在实数集上的函数,满足条件是偶函数,且当时,,则,,的大小关系是()A. B. C. D.9.已知函数,若,则a的取值范围为()A. B. C. D.10.如图,在棱长为4的正方体中,E,F,G分别为棱AB,BC,的中点,M为棱AD的中点,设P,Q为底面ABCD内的两个动点,满足平面EFG,,则的最小值为()A. B. C. D.11.已知是函数图象上的一点,过作圆的两条切线,切点分别为,则的最小值为()A. B. C.0 D.12.把满足条件(1),,(2),,使得的函数称为“D函数”,下列函数是“D函数”的个数为()①②③④⑤A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若关于的不等式在上恒成立,则的最大值为__________.14.已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7,则a2=____.15.已知,是互相垂直的单位向量,若与λ的夹角为60°,则实数λ的值是__.16.在边长为的菱形中,点在菱形所在的平面内.若,则_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图在棱锥中,为矩形,面,(1)在上是否存在一点,使面,若存在确定点位置,若不存在,请说明理由;(2)当为中点时,求二面角的余弦值.18.(12分)已知圆,定点,为平面内一动点,以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程(2)过点的直线与交于两点,已知点,直线分别与直线交于两点,线段的中点是否在定直线上,若存在,求出该直线方程;若不是,说明理由.19.(12分)如图,在三棱柱中,平面,,且.(1)求棱与所成的角的大小;(2)在棱上确定一点,使二面角的平面角的余弦值为.20.(12分)已知,且的解集为.(1)求实数,的值;(2)若的图像与直线及围成的四边形的面积不小于14,求实数取值范围.21.(12分)在中,角,,所对的边分别为,,,且.求的值;设的平分线与边交于点,已知,,求的值.22.(10分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(2)设点,直线与曲线交于两点,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
根据几何体分析正视图和侧视图的形状,结合题干中的数据可计算出结果.【详解】由三视图的性质和定义知,三棱锥的正视图与侧视图都是底边长为高为的三角形,其面积都是,正视图与侧视图的面积之和为,故选:A.【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图的面积和,解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.2.C【解析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体,几何体是圆柱中挖去一个三棱柱,从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得,几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱,故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积,即,故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题,解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体,然后根据几何体的结构求出其体积.3.A【解析】
首先根据为上的减函数,列出不等式组,求得,所以当最小时,,之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题,画出图形,数形结合得到结果.【详解】由于为上的减函数,则有,可得,所以当最小时,,函数恰有两个零点等价于方程有两个实根,等价于函数与的图像有两个交点.画出函数的简图如下,而函数恒过定点,数形结合可得的取值范围为.故选:A.【点睛】该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围,根据函数零点个数求参数的取值范围,数形结合思想的应用,属于中档题目.4.A【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求解.【详解】,,得,..故选:.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,是基础题.5.C【解析】
在对称轴处取得最值有,结合,可得,易得曲线的解析式为,结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.,又..∴平移后曲线为.曲线的一个对称中心为..,注意到故的最小值为.故选:C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用,涉及到函数的平移、函数的对称性,考查学生数形结合、数学运算的能力,是一道中档题.6.D【解析】试题分析:,,故选D.考点:点线面的位置关系.7.B【解析】
把4名大学生按人数分成3组,为1人、1人、2人,再把这三组分配到3个乡镇即得.【详解】把4名大学生按人数分成3组,为1人、1人、2人,再把这三组分配到3个乡镇,则不同的分配方案有种.故选:.【点睛】本题考查排列组合,属于基础题.8.C【解析】∵y=f(x+1)是偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)关于x=1对称.
∵当x≥1时,为减函数,∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,
故选C9.C【解析】
求出函数定义域,在定义域内确定函数的单调性,利用单调性解不等式.【详解】由得,在时,是增函数,是增函数,是增函数,∴是增函数,∴由得,解得.故选:C.【点睛】本题考查函数的单调性,考查解函数不等式,解题关键是确定函数的单调性,解题时可先确定函数定义域,在定义域内求解.10.C【解析】
把截面画完整,可得在上,由知在以为圆心1为半径的四分之一圆上,利用对称性可得的最小值.【详解】如图,分别取的中点,连接,易证共面,即平面为截面,连接,由中位线定理可得,平面,平面,则平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方体中平面,从而有,∴,∴在以为圆心1为半径的四分之一圆(圆在正方形内的部分)上,显然关于直线的对称点为,,当且仅当共线时取等号,∴所求最小值为.故选:C.【点睛】本题考查空间距离的最小值问题,解题时作出正方体的完整截面求出点轨迹是第一个难点,第二个难点是求出点轨迹,第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值.11.C【解析】
先画出函数图像和圆,可知,若设,则,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若设圆的圆心为,则,所以只要取得最小值,若设,则,然后构造函数,利用导数求其最小值即可.【详解】记圆的圆心为,设,则,设,记,则,令,因为在上单调递增,且,所以当时,;当时,,则在上单调递减,在上单调递增,所以,即,所以(当时等号成立).故选:C【点睛】此题考查的是两个向量的数量积的最小值,利用了导数求解,考查了转化思想和运算能力,属于难题.12.B【解析】
满足(1)(2)的函数是偶函数且值域关于原点对称,分别对所给函数进行验证.【详解】满足(1)(2)的函数是偶函数且值域关于原点对称,①不满足(2);②不满足(1);③不满足(2);④⑤均满足(1)(2).故选:B.【点睛】本题考查新定义函数的问题,涉及到函数的性质,考查学生逻辑推理与分析能力,是一道容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
分类讨论,时不合题意;时求导,求出函数的单调区间,得到在上的最小值,利用不等式恒成立转化为函数最小值,化简得,构造放缩函数对自变量再研究,可解,【详解】令;当时,,不合题意;当时,,令,得或,所以在区间和上单调递减.因为,且在区间上单调递增,所以在处取极小值,即最小值为.若,,则,即.当时,,当时,则.设,则.当时,;当时,,所以在上单调递增;在上单调递减,所以,即,所以的最大值为.故答案为:【点睛】本题考查不等式恒成立问题.不等式恒成立问题的求解思路:已知不等式(为实参数)对任意的恒成立,求参数的取值范围.利用导数解决此类问题可以运用分离参数法;如果无法分离参数,可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解,如果是二次不等式恒成立的问题,可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或,)求解.14.【解析】
根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解:(2x-1)7的展开式通式为:当时,,则.故答案为:【点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数,是基础题.15.【解析】
根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义,列出方程解方程即可求出λ的值.【详解】解:由题意,设(1,0),(0,1),则(,﹣1),λ(1,λ);又夹角为60°,∴()•(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题,是中档题.16.【解析】
以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.【详解】解:连接设交于点以点为原点,分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则:设得,解得,,或,显然得出的是定值,取则,.故答案为:.【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析;(2)【解析】
(1)要证明PC⊥面ADE,由已知可得AD⊥PC,只需满足即可,从而得到点E为中点;(2)求出面ADE的法向量,面PAE的法向量,利用空间向量的数量积,求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值.【详解】(1)法一:要证明PC⊥面ADE,易知AD⊥面PDC,即得AD⊥PC,故只需即可,所以由,即存在点E为PC中点.法二:建立如图所示的空间直角坐标系D-XYZ,由题意知PD=CD=1,,设,,,由,得,即存在点E为PC中点.(2)由(1)知,,,,,,设面ADE的法向量为,面PAE的法向量为由的法向量为得,得,同理求得所以,故所求二面角P-AE-D的余弦值为.【点睛】本题考查二面角的平面角的求法,考查直线与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.18.(1);(2)存在,.【解析】
(1)设以为直径的圆心为,切点为,取关于轴的对称点,连接,计算得到,故轨迹为椭圆,计算得到答案.(2)设直线的方程为,设,联立方程得到,,计算,得到答案.【详解】(1)设以为直径的圆心为,切点为,则,取关于轴的对称点,连接,故,所以点的轨迹是以为焦点,长轴为4的椭圆,其中,曲线方程为.(2)设直线的方程为,设,直线的方程为,同理,所以,即,联立,所以,代入得,所以点都在定直线上.【点睛】本题考查了轨迹方程,定直线问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.(1)(2)【解析】试题分析:(1)因为AB⊥AC,A1B⊥平面ABC,所以以A为坐标原点,分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴,以过A,且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系,由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标,求出棱AA1与BC上的两个向量,由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小;
(2)设棱B1C1上的一点P,由向量共线得到P点的坐标,然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量,把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为,转化为它们法向量所成角的余弦值,由此确定出P点的坐标.试题解析:解(1)如图,以为原点建立空间直角坐标系,则,.,故与棱所成的角是.(2)为棱中点,设,则.设平面的法向量为,,则,故而平面的法向量是,则,解得,即为棱中点,其坐标为.点睛:本题主要考查线面垂直的判定与性质,以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.20.(1),;(2)【解析】
(1)解绝对值不等式得,根据不等式的解集为
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