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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设函数,当时,,则()A. B. C.1 D.2.已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是()A. B. C. D.3.已知平面向量,满足,且,则与的夹角为()A. B. C. D.4.已知集合A={x|x<1},B={x|},则A. B.C. D.5.若复数满足,则对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.()A. B. C.1 D.7.在中,角、、所对的边分别为、、,若,则()A. B. C. D.8.设,满足约束条件,则的最大值是()A. B. C. D.9.已知命题p:“”是“”的充要条件;,,则()A.为真命题 B.为真命题C.为真命题 D.为假命题10.已知命题若,则,则下列说法正确的是()A.命题是真命题B.命题的逆命题是真命题C.命题的否命题是“若,则”D.命题的逆否命题是“若,则”11.在中,“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12.某四棱锥的三视图如图所示,该几何体的体积是()A.8 B. C.4 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知两个单位向量满足,则向量与的夹角为_____________.14.若正实数x,y,满足x+2y=5,则x215.在一块土地上种植某种农作物,连续5年的产量(单位:吨)分别为9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.则该农作物的年平均产量是______吨.16.函数在区间(-∞,1)上递增,则实数a的取值范围是____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)证明:当时,;(2)若函数有三个零点,求实数的取值范围.18.(12分)若数列前n项和为,且满足(t为常数,且)(1)求数列的通项公式:(2)设,且数列为等比数列,令,.求证:.19.(12分)在中,.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,,求的值.20.(12分)某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.方案一:每满100元减20元;方案二:满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球(逐个有放回地抽取),所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)红球个数3210实际付款7折8折9折原价(1)该商场某顾客购物金额超过100元,若该顾客选择方案二,求该顾客获得7折或8折优惠的概率;(2)若某顾客购物金额为180元,选择哪种方案更划算?21.(12分)已知直线的参数方程:(为参数)和圆的极坐标方程:(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)已知点,直线与圆相交于、两点,求的值.22.(10分)已知函数.(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)设其中为常数.若方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由降幂公式,两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,然后由正弦函数性质求得参数值.【详解】,时,,,∴,由题意,∴.故选:A.【点睛】本题考查二倍角公式,考查两角和的正弦公式,考查正弦函数性质,掌握正弦函数性质是解题关键.2.C【解析】试题分析:如下图所示,则,因为与的夹角为,即,所以,设,则,在三角形中,由正弦定理得,所以,所以,故选C.考点:1.向量加减法的几何意义;2.正弦定理;3.正弦函数性质.3.C【解析】
根据,两边平方,化简得,再利用数量积定义得到求解.【详解】因为平面向量,满足,且,所以,所以,所以,所以,所以与的夹角为.故选:C【点睛】本题主要考查平面向量的模,向量的夹角和数量积运算,属于基础题.4.A【解析】∵集合∴∵集合∴,故选A5.D【解析】
利用复数模的计算、复数的除法化简复数,再根据复数的几何意义,即可得答案;【详解】,对应的点,对应的点位于复平面的第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题.6.A【解析】
利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式,结合复数的模长公式可求得结果.【详解】,,因此,.故选:A.【点睛】本题考查复数模长的计算,同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用,考查计算能力,属于基础题.7.D【解析】
利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】由余弦定理得:,整理可得:,.故选:.【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用,属于基础题.8.D【解析】
作出不等式对应的平面区域,由目标函数的几何意义,通过平移即可求z的最大值.【详解】作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线:在可行域内平移当过点时,取得最大值.由得:,故选:D【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,属于基础题.9.B【解析】
由的单调性,可判断p是真命题;分类讨论打开绝对值,可得q是假命题,依次分析即得解【详解】由函数是R上的增函数,知命题p是真命题.对于命题q,当,即时,;当,即时,,由,得,无解,因此命题q是假命题.所以为假命题,A错误;为真命题,B正确;为假命题,C错误;为真命题,D错误.故选:B【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词,考查了学生逻辑推理,分类讨论,数学运算的能力,属于中档题.10.B【解析】
解不等式,可判断A选项的正误;写出原命题的逆命题并判断其真假,可判断B选项的正误;利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式,解得,则命题为假命题,A选项错误;命题的逆命题是“若,则”,该命题为真命题,B选项正确;命题的否命题是“若,则”,C选项错误;命题的逆否命题是“若,则”,D选项错误.故选:B.【点睛】本题考查四种命题的关系,考查推理能力,属于基础题.11.C【解析】
由余弦函数的单调性找出的等价条件为,再利用大角对大边,结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要条件.故选:C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定,同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用,考查推理能力,属于中等题.12.D【解析】
根据三视图知,该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥,画出图形,结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积.【详解】根据三视图知,该几何体是侧棱底面的四棱锥,如图所示:结合图中数据知,该四棱锥底面为对角线为2的正方形,高为PA=2,∴四棱锥的体积为.故选:D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由得,即得解.【详解】由题意可知,则.解得,所以,向量与的夹角为.故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.8【解析】
分析:将题中的式子进行整理,将x+1当做一个整体,之后应用已知两个正数的整式形式和为定值,求分式形式和的最值的问题的求解方法,即可求得结果.详解:x2-3x+1+2点睛:该题属于应用基本不等式求最值的问题,解决该题的关键是需要对式子进行化简,转化,利用整体思维,最后注意此类问题的求解方法-------相乘,即可得结果.15.10【解析】
根据已知数据直接计算即得.【详解】由题得,.故答案为:10【点睛】本题考查求平均数,是基础题.16.【解析】
根据复合函数单调性同增异减,结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组,解不等式求得的取值范围.【详解】由二次函数的性质和复合函数的单调性可得解得.故答案为:【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析;(2)【解析】
(1)要证明,只需证明即可;(2)有3个根,可转化为有3个根,即与有3个不同交点,利用导数作出的图象即可.【详解】(1)令,则,当时,,故在上单调递增,所以,即,所以.(2)由已知,,依题意,有3个零点,即有3个根,显然0不是其根,所以有3个根,令,则,当时,,当时,,当时,,故在单调递减,在,上单调递增,作出的图象,易得.故实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.18.(1)(2)详见解析【解析】
(1)利用可得的递推关系,从而可求其通项.(2)由为等比数列可得,从而可得的通项,利用错位相减法可得的前项和,利用不等式的性质可证.【详解】(1)由题意,得:(t为常数,且),当时,得,得.由,故,,故.(2)由,由为等比数列可知:,又,故,化简得到,所以或(舍).所以,,则.设的前n项和为.则,相减可得【点睛】数列的通项与前项和的关系式,我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.数列求和关键看通项的结构形式,如果通项是等差数列与等比数列的和,则用分组求和法;如果通项是等差数列与等比数列的乘积,则用错位相减法;如果通项可以拆成一个数列连续两项的差,那么用裂项相消法;如果通项的符号有规律的出现,则用并项求和法.19.(1);(2).【解析】试题分析:(1)由正弦定理得到.消去公因式得到所以.进而得到角A;(2)结合三角形的面积公式,和余弦定理得到,联立两式得到.解析:(I)因为,所以,由正弦定理,得.又因为,,所以.又因为,所以.(II)由,得,由余弦定理,得,即,因为,解得.因为,所以.20.(1)(2)选择方案二更为划算【解析】
(1)计算顾客获得7折优惠的概率,获得8折优惠的概率,相加得到答案.(2)选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为126,144,162,180.,计算概率得到数学期望,比较大小得到答案.【详解】(1)该顾客获得7折优惠的概率,该顾客获得8折优惠的概率,故该顾客获得7折或8折优惠的概率.(2)若选择方案一,则付款金额为.若选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为126,144,162,180.,,则.因为,所以选择方案二更为划算.【点睛】本题考查了概率的计算,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.21.(1):,:;(2)【解析】
(1)消去参数求得直线的普通方程,将两边同乘以,化简求得圆的直角坐标方程.(2)求得直线的标准参数方程,代入圆的直角坐标方程,化简后写出韦达定理,根据直线参数的几何意义,求得的值.【详解】(1)消去参数,得直线的普通方程为,将两边同乘以得,,∴圆的直角坐标方程为;(2)经检验点在直线上,可转化为①,将①式代入圆的直角坐标方程为得,化简得,设是方程的两根,则,,∵,∴与同号,由的几何意义得.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查利用直线参数的几何意义求解距离问题,属于中档题.22.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(I)零点分段法,分,,
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