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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数(,,),将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的部分图象如图所示,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知实数满足不等式组,则的最小值为()A. B. C. D.3.设,,分别是中,,所对边的边长,则直线与的位置关系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直4.如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是()A. B. C. D.5.已知函数.下列命题:①函数的图象关于原点对称;②函数是周期函数;③当时,函数取最大值;④函数的图象与函数的图象没有公共点,其中正确命题的序号是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④6.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的离心率为()A. B. C.3 D.47.在中,,,,点满足,则等于()A.10 B.9 C.8 D.78.设,为非零向量,则“存在正数,使得”是“”的()A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.充分不必要条件9.若实数x,y满足条件,目标函数,则z的最大值为()A. B.1 C.2 D.010.已知定义在上的函数,,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.11.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A. B.6 C. D.12.已知函数的最小正周期为,且满足,则要得到函数的图像,可将函数的图像()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数,其中且,则______________.14.若x,y均为正数,且,则的最小值为________.15.某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间,有7人用时为6分钟,有14人用时7分钟,有15人用时为8分钟,还有4人用时为10分钟,则高二(4)班全体同学用餐平均用时为____分钟.16.在中,,是的角平分线,设,则实数的取值范围是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)当时,判断在上的单调性并加以证明;(2)若,,求的取值范围.18.(12分)将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值.19.(12分)设函数.(1)若,求实数的取值范围;(2)证明:,恒成立.20.(12分)2019年是中华人民共和国成立70周年.为了让人民了解建国70周年的风雨历程,某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查,将他们的年龄分成6段:,,…,,并绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)现从年龄在,,内的人员中按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机选取3人进行座谈,用表示年龄在)内的人数,求的分布列和数学期望;(2)若用样本的频率代替概率,用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查,其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时,求的值.21.(12分)在边长为的正方形,分别为的中点,分别为的中点,现沿折叠,使三点重合,构成一个三棱锥.(1)判别与平面的位置关系,并给出证明;(2)求多面体的体积.22.(10分)在数列中,已知,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.【详解】设,根据图象可知,,再由,取,∴.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,∴.,,令,则,显然,∴是的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换,二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.2.B【解析】
作出约束条件的可行域,在可行域内求的最小值即为的最小值,作,平移直线即可求解.【详解】作出实数满足不等式组的可行域,如图(阴影部分)令,则,作出,平移直线,当直线经过点时,截距最小,故,即的最小值为.故选:B【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义,属于基础题.3.C【解析】试题分析:由已知直线的斜率为,直线的斜率为,又由正弦定理得,故,两直线垂直考点:直线与直线的位置关系4.C【解析】
根据程序框图的运行,循环算出当时,结束运行,总结分析即可得出答案.【详解】由题可知,程序框图的运行结果为31,当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.此时输出.故选:C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构,已知输出结果求条件框,属于基础题.5.A【解析】
根据奇偶性的定义可判断出①正确;由周期函数特点知②错误;函数定义域为,最值点即为极值点,由知③错误;令,在和两种情况下知均无零点,知④正确.【详解】由题意得:定义域为,,为奇函数,图象关于原点对称,①正确;为周期函数,不是周期函数,不是周期函数,②错误;,,不是最值,③错误;令,当时,,,,此时与无交点;当时,,,,此时与无交点;综上所述:与无交点,④正确.故选:.【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用,涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解;本题综合性较强,对于学生的分析和推理能力有较高要求.6.A【解析】
根据题意,由抛物线的方程可得其焦点坐标,由此可得双曲线的焦点坐标,由双曲线的几何性质可得,解可得,由离心率公式计算可得答案.【详解】根据题意,抛物线的焦点为,则双曲线的焦点也为,即,则有,解可得,双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程,关键是求出抛物线焦点的坐标,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.D【解析】
利用已知条件,表示出向量,然后求解向量的数量积.【详解】在中,,,,点满足,可得则==【点睛】本题考查了向量的数量积运算,关键是利用基向量表示所求向量.8.D【解析】
充分性中,由向量数乘的几何意义得,再由数量积运算即可说明成立;必要性中,由数量积运算可得,不一定有正数,使得,所以不成立,即可得答案.【详解】充分性:若存在正数,使得,则,,得证;必要性:若,则,不一定有正数,使得,故不成立;所以是充分不必要条件故选:D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,向量数乘的几何意义,还考查了充分必要条件的判定,属于简单题.9.C【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到最大值.【详解】若实数x,y满足条件,目标函数如图:当时函数取最大值为故答案选C【点睛】求线性目标函数的最值:当时,直线过可行域且在轴上截距最大时,值最大,在轴截距最小时,z值最小;当时,直线过可行域且在轴上截距最大时,值最小,在轴上截距最小时,值最大.10.D【解析】
先判断函数在时的单调性,可以判断出函数是奇函数,利用奇函数的性质可以得到,比较三个数的大小,然后根据函数在时的单调性,比较出三个数的大小.【详解】当时,,函数在时,是增函数.因为,所以函数是奇函数,所以有,因为,函数在时,是增函数,所以,故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题,判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.11.D【解析】
用列举法,通过循环过程直接得出与的值,得到时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图,可得,,满足条件,,,满足条件,,,满足条件,,,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为.故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.12.C【解析】
依题意可得,且是的一条对称轴,即可求出的值,再根据三角函数的平移规则计算可得;【详解】解:由已知得,是的一条对称轴,且使取得最值,则,,,,故选:C.【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先化简函数的解析式,在求出,从而求得的值.【详解】由题意,函数可化简为,所以,所以.故答案为:0.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用,以及导数的运算和函数值的求解,其中解答中正确化简函数的解析式,准确求解导数是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.14.4【解析】
由基本不等式可得,则,即可解得.【详解】方法一:,当且仅当时取等.方法二:因为,所以,所以,当且仅当时取等.故答案为:.【点睛】本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易.15.7.5【解析】
分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.【详解】故答案为:7.5【点睛】此题考查求平均数,关键在于准确计算出所有数据之和,易错点在于概念辨析不清导致计算出错.16.【解析】
设,,,由,用面积公式表示面积可得到,利用,即得解.【详解】设,,,由得:,化简得,由于,故.故答案为:【点睛】本题考查了解三角形综合,考查了学生转化划归,综合分析,数学运算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)在为增函数;证明见解析(2)【解析】
(1)令,求出,可推得,故在为增函数;(2)令,则,由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数的取值范围.【详解】(1)当时,.记,则,当时,,.所以,所以在单调递增,所以.因为,所以,所以在为增函数.(2)由题意,得,记,则,令,则,当时,,,所以,所以在为增函数,即在单调递增,所以.①当,,恒成立,所以为增函数,即在单调递增,又,所以,所以在为增函数,所以所以满足题意.②当,,令,,因为,所以,故在单调递增,故,即.故,又在单调递增,由零点存在性定理知,存在唯一实数,,当时,,单调递减,即单调递减,所以,此时在为减函数,所以,不合题意,应舍去.综上所述,的取值范围是.【点睛】本题主要考查了导数的综合应用,利用导数研究函数的单调性、最值和零点及不等式恒成立等问题,考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想,考查了学生的逻辑推理和运算求解能力,属于难题.18.(1)见解析;(2).【解析】
(1)取的中点,连接、,连接,证明出四边形为平行四边形,可得出,然后利用线面平行的判定定理可证得结论;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得二面角的余弦值,进而可求得其正弦值.【详解】(1)取中点,连接、、,且,四边形为平行四边形,且,、分别为、中点,且,则四边形为平行四边形,且,且,且,所以,四边形为平行四边形,且,四边形为平行四边形,,平面,平面,平面;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、,,,,设平面的法向量为,由,得,取,则,,,设平面的法向量为,由,得,取,则,,,,,因此,二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角,考查推理能力与计算能力,属于中等题.19.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)将不等式化为,利用零点分段法,求得不等式的解集.(2)将要证明的不等式转化为证,恒成立,由的最小值为,得到只要证,即证,利用绝对值不等式和基本不等式,证得上式成立.【详解】(1)∵,∴,即当时,不等式化为,∴当时,不等式化为,此时无解当时,不等式化为,∴综上,原不等式的解集为(2)要证,恒成立即证,恒成立∵的最小值为-2,∴只需证,即证又∴成立,∴原题得证【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法,基本不等式等知识;考查推理论证能力、运算求解能力;考查化归与转化,分类与整合思想.20.(1)分布列见解析,(1)【解析】
(1)根据频率分布直方图及抽取总人数,结合各组频率值即可求得各组抽取的人数;的可能取值为0,1,1,由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值,即可得分布列;由数学期望公式即可求得其数学期望.(1)先求得年龄在内的频率,视为概率.结合二项分布的性质,表示出,令,化简后可证明其单调性及取得最大值时的值.【详解】(
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