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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知随机变量服从正态分布,,()A. B. C. D.2.在精准扶贫工作中,有6名男干部、5名女干部,从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作,则不同的选法共有()A.60种 B.70种 C.75种 D.150种3.正项等差数列的前和为,已知,则=()A.35 B.36 C.45 D.544.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到次结束为止.某考生一次发球成功的概率为,发球次数为,若的数学期望,则的取值范围为()A. B. C. D.5.在区间上随机取一个数,使得成立的概率为等差数列的公差,且,若,则的最小值为()A.8 B.9 C.10 D.116.在中,分别为所对的边,若函数有极值点,则的范围是()A. B.C. D.7.如图所示,直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,则球的体积为()A.1605π3 B.6428.已知函数,若,则的值等于()A. B. C. D.9.已知双曲线:(,)的焦距为.点为双曲线的右顶点,若点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.310.记单调递增的等比数列的前项和为,若,,则()A. B. C. D.11.等比数列中,,则与的等比中项是()A.±4 B.4 C. D.12.为得到y=sin(2x-πA.向左平移π3个单位B.向左平移πC.向右平移π3个单位D.向右平移π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中,项的系数是__________.14.已知为椭圆内一定点,经过引一条弦,使此弦被点平分,则此弦所在的直线方程为________________.15.已知函数,若恒成立,则的取值范围是___________.16.如图,在矩形中,为边的中点,,,分别以、为圆心,为半径作圆弧、(在线段上).由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,为棱的中点,为棱上任意一点,且不与点、点重合..(1)求证:平面平面;(2)是否存在点使得平面与平面所成的角的余弦值为?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.18.(12分)在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,,,分别为,的中点.(1)求证:.(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)如图,在三棱锥中,,,侧面为等边三角形,侧棱.(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥外接球的体积.20.(12分)已知的内角的对边分别为,且满足.(1)求角的大小;(2)若的面积为,求的周长的最小值.21.(12分)已知函数(1)求函数在处的切线方程(2)设函数,对于任意,恒成立,求的取值范围.22.(10分)在四棱锥中,底面是平行四边形,为其中心,为锐角三角形,且平面底面,为的中点,.(1)求证:平面;(2)求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出,进而可得出结果.【详解】,所以,.故选:B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率,属于基础题.2.C【解析】
根据题意,分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:根据题意,从6名男干部中选出2名男干部,有种取法,从5名女干部中选出1名女干部,有种取法,则有种不同的选法;故选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用,涉及分步计数原理问题,属于基础题.3.C【解析】
由等差数列通项公式得,求出,再利用等差数列前项和公式能求出.【详解】正项等差数列的前项和,,,解得或(舍),,故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式,属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质()与前项和的关系.4.A【解析】
根据题意,分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可【详解】由题可知,,,则解得,由可得,答案选A【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解,易错点为第三次发球分为两种情况:三次都不成功、第三次成功5.D【解析】
由题意,本题符合几何概型,只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度,利用几何概型公式可得概率,即等差数列的公差,利用条件,求得,从而求得,解不等式求得结果.【详解】由题意,本题符合几何概型,区间长度为6,使得成立的的范围为,区间长度为2,故使得成立的概率为,又,,,令,则有,故的最小值为11,故选:D.【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题,涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式,等差数列的通项公式,属于基础题目.6.D【解析】试题分析:由已知可得有两个不等实根.考点:1、余弦定理;2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理,函数的极值,涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根,从而可得.7.A【解析】
设球心为O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的内切圆的圆心为O1,该圆与边B【详解】如图,设三棱柱为ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1为斜边是A1C1则圆O1的半径为O设球心为O,则由球的几何知识得ΔOO1M所以OM=2即球O的半径为25所以球O的体积为43故选A.【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题,解答本题的关键有两个:(1)构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离d和小圆半径r为三边的直角三角形,并在此三角形内求出球的半径,这是解决与球有关的问题时常用的方法.(2)若直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则该直角三角形内切圆的半径r=a+b-c8.B【解析】
由函数的奇偶性可得,【详解】∵其中为奇函数,也为奇函数∴也为奇函数∴故选:B【点睛】函数奇偶性的运用即得结果,小记,定义域关于原点对称时有:①奇函数±奇函数=奇函数;②奇函数×奇函数=偶函数;③奇函数÷奇函数=偶函数;④偶函数±偶函数=偶函数;⑤偶函数×偶函数=偶函数;⑥奇函数×偶函数=奇函数;⑦奇函数÷偶函数=奇函数9.A【解析】
由点到直线距离公式建立的等式,变形后可求得离心率.【详解】由题意,一条渐近线方程为,即,∴,,即,,.故选:A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础.10.C【解析】
先利用等比数列的性质得到的值,再根据的方程组可得的值,从而得到数列的公比,进而得到数列的通项和前项和,根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为为等比数列,所以,故即,由可得或,因为为递增数列,故符合.此时,所以或(舍,因为为递增数列).故,.故选C.【点睛】一般地,如果为等比数列,为其前项和,则有性质:(1)若,则;(2)公比时,则有,其中为常数且;(3)为等比数列()且公比为.11.A【解析】
利用等比数列的性质可得,即可得出.【详解】设与的等比中项是.
由等比数列的性质可得,.
∴与的等比中项
故选A.【点睛】本题考查了等比中项的求法,属于基础题.12.D【解析】试题分析:因为,所以为得到y=sin(2x-π3)的图象,只需要将考点:三角函数的图像变换.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.240【解析】
利用二项式展开式的通项公式,令x的指数等于3,计算展开式中含有项的系数即可.【详解】由题意得:,只需,可得,代回原式可得,故答案:240.【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用,相对不难.14.【解析】
设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,利用点差法可求得直线的斜率,进而可求得直线的点斜式方程,化为一般式即可.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,由于点为弦的中点,则,得,由题意得,两式相减得,所以,直线的斜率为,所以,弦所在的直线方程为,即.故答案为:.【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程,一般利用点差法,也可以利用韦达定理设而不求法来解答,考查计算能力,属于中等题.15.【解析】
求导得到,讨论和两种情况,计算时,函数在上单调递减,故,不符合,排除,得到答案。【详解】因为,所以,因为,所以.当,即时,,则在上单调递增,从而,故符合题意;当,即时,因为在上单调递增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,则在上单调递减,从而,故不符合题意.综上,的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,转化为函数的最值问题是解题的关键.16.【解析】由题意,可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成;其中,圆柱的底面半径为1,母线长为2;体积为;两个半球的半径都为1,则两个半球的体积为;则所求几何体的体积为.考点:旋转体的组合体.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析(2)存在,为中点【解析】
(1)证明面,即证明平面平面;(2)以为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,建立空间直角坐标系.利用向量方法得,解得,所以为中点.【详解】(1)由于为中点,.又,故,所以为直角三角形且,即.又因为面,面面,面面,故面,又面,所以面面.(2)由(1)知面,又四边形为矩形,则两两垂直.以为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,建立空间直角坐标系.则,设,则,设平面的法向量为,则有,令,则,则平面的一个法向量为,同理可得平面的一个法向量为,设平面与平面所成角为,则由题意可得,解得,所以点为中点.【点睛】本题主要考查空间几何位置关系的证明,考查空间二面角的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.(1)见解析(2)【解析】
(1)由已知可证明平面,从而得证面面垂直,再由,得线面垂直,从而得,由直角三角形得结论;(2)以为轴建立空间直角坐标系,用空间向量法示二面角.【详解】(1)证明:连接,,.,,平面.平面,平面平面.,为的中点,.平面平面,平面.平面,.为斜边的中点,,(2),由(1)可知,为等腰直角三角形,则.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,则,记平面的法向量为由得到,取,可得,则.易知平面的法向量为.记二面角的平面角为,且由图可知为锐角,则,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直,从而得线线垂直,考查用空间向量法求二面角.在立体几何中求异面直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时,可以建立空间直角坐标系,用空间向量法求解空间角,可避免空间角的作证过程,通过计算求解.19.(1)见解析;(2).【解析】
(1)设中点为,连接、,利用等腰三角形三线合一的性质得出,利用勾股定理得出,由线面垂直的判定定理可证得平面,再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面;(2)先确定三棱锥的外接球球心的位置,利用三角形相似求出外接球的半径,再由球体的体积公式可求得结果.【详解】(1)设中点为,连接、,因为,所以.又,所以,又由已知,,则,所以,.又为正三角形,且,所以,因为,所以,,,平面,又平面,平面平面;(2)由于是底面直角三角形的斜边的中点,所以点是的外心,由(1)知平面,所以三棱锥的外接球的球心在上.在中,的垂直平分线与的交点即为球心,记的中点为点,则.由与相似可得,所以.所以三棱锥外接球的体积为.【点睛】本题考查面面垂直的证明,同时也考查了三棱锥外接球体积的计算,找出外接球球心的位置是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20.(1)(2)【解析】
(1)因为,所以,由余弦定理得,化简得,可得,解得,又因为,所以.(6分)(2)因为,所以,则(当且仅当时,取等号).由(1)得(当且仅当时,取等号),解得.所以(当且仅当时,取等号),所以的周长的最小值为.21.(1);(2)【解析】
(1)求出,即可求出切线的点斜式方程,整理即可;(2)的取值范围满足,,求出,当时求出,的解,得到单调区间,极小值最小值即可.【详解】(1)由于,此时切点坐标为所以切线方程为.(2)由已知,故.由于,故,设由于在单调递增同时时,,时,,故存在使得且当时,当时,所以当时,当时,所以当时,取得极小值,也是最小值,故由于,所以,.
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