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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签,如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图(例如:年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、),根据该图,以下结论一定正确的是()A.年该工厂的棉签产量最少B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显C.三年累计下来产量最多的是口罩D.口罩的产量逐年增加2.已知非零向量满足,,且与的夹角为,则()A.6 B. C. D.33.已知,则“m⊥n”是“m⊥l”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.三棱锥中,侧棱底面,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.5.如图,在平面四边形中,满足,且,沿着把折起,使点到达点的位置,且使,则三棱锥体积的最大值为()A.12 B. C. D.6.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为,,,且,则此三棱锥外接球表面积的最小值为()A. B. C. D.7.如图是函数在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上的所有的点()A.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变B.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变C.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变D.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变8.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.已知函数,为的零点,为图象的对称轴,且在区间上单调,则的最大值是()A. B. C. D.10.函数(,,)的部分图象如图所示,则的值分别为()A.2,0 B.2, C.2, D.2,11.已知全集,则集合的子集个数为()A. B. C. D.12.已知函数,,若成立,则的最小值为()A.0 B.4 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________.14.设,满足条件,则的最大值为__________.15.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为________.16.命题“”的否定是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线和圆,倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点,且与圆相切.(1)求的值;(2)动点在抛物线的准线上,动点在上,若在点处的切线交轴于点,设.求证点在定直线上,并求该定直线的方程.18.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如下:等级不合格合格得分频数624(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;(2)其他条件不变,在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈,每次抽取1人,求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下,第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率;(3)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求的数学期望.19.(12分)如图,在直三棱柱中,,点P,Q分别为,的中点.求证:(1)PQ平面;(2)平面.20.(12分)在中,、、的对应边分别为、、,已知,,.(1)求;(2)设为中点,求的长.21.(12分)已知数列的前项和为,且满足().(1)求数列的通项公式;(2)设(),数列的前项和.若对恒成立,求实数,的值.22.(10分)在如图所示的多面体中,平面平面,四边形是边长为2的菱形,四边形为直角梯形,四边形为平行四边形,且,,(1)若分别为,的中点,求证:平面;(2)若,与平面所成角的正弦值,求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误,根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知,所以,从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较,故A、B、D选项错误;由堆积图可知,从年至年,该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的,则三年累计下来产量最多的是口罩,C选项正确.故选:C.【点睛】本题考查堆积图的应用,考查数据处理能力,属于基础题.2.D【解析】
利用向量的加法的平行四边形法则,判断四边形的形状,推出结果即可.【详解】解:非零向量,满足,可知两个向量垂直,,且与的夹角为,说明以向量,为邻边,为对角线的平行四边形是正方形,所以则.故选:.【点睛】本题考查向量的几何意义,向量加法的平行四边形法则的应用,考查分析问题解决问题的能力,属于基础题.3.B【解析】
构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α为面ADD1A1,底面ABCD为β,然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m,n即可进行判断.【详解】如图,取长方体ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α为面ADD1A1,底面ABCD为β,直线=直线。若令AD1=m,AB=n,则m⊥n,但m不垂直于若m⊥,由平面平面可知,直线m垂直于平面β,所以m垂直于平面β内的任意一条直线∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考点有两个:①考查了充分必要条件的判断,在确定好大前提的条件下,从m⊥n⇒m⊥?和m⊥⇒m⊥n?两方面进行判断;②是空间的垂直关系,一般利用长方体为载体进行分析.4.B【解析】由题,侧棱底面,,,,则根据余弦定理可得,的外接圆圆心三棱锥的外接球的球心到面的距离则外接球的半径,则该三棱锥的外接球的表面积为点睛:本题考查的知识点是球内接多面体,熟练掌握球的半径公式是解答的关键.5.C【解析】
过作于,连接,易知,,从而可证平面,进而可知,当最大时,取得最大值,取的中点,可得,再由,求出的最大值即可.【详解】在和中,,所以,则,过作于,连接,显然,则,且,又因为,所以平面,所以,当最大时,取得最大值,取的中点,则,所以,因为,所以点在以为焦点的椭圆上(不在左右顶点),其中长轴长为10,焦距长为8,所以的最大值为椭圆的短轴长的一半,故最大值为,所以最大值为,故的最大值为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值,考查学生的空间想象能力与计算求解能力,属于中档题.6.B【解析】
根据三视图得到几何体为一三棱锥,并以该三棱锥构造长方体,于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而得到外接球的半径,求得外接球的面积后可求出最小值.【详解】由已知条件及三视图得,此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点,即为三棱锥,且长方体的长、宽、高分别为,∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球,且球半径为,∴三棱锥外接球表面积为,∴当且仅当,时,三棱锥外接球的表面积取得最小值为.故选B.【点睛】(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径,同时要作一圆面起衬托作用.(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线,对于一些比较特殊的三棱锥,在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体,通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.7.A【解析】
由函数的最大值求出,根据周期求出,由五点画法中的点坐标求出,进而求出的解析式,与对比结合坐标变换关系,即可求出结论.【详解】由图可知,,又,,又,,,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上的所有向左平移个长度单位,得到的图象,再将的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)即可.故选:A【点睛】本题考查函数的图象求解析式,考查函数图象间的变换关系,属于中档题.8.A【解析】
根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解得的取值范围,即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,因为对任意,,都有,所以函数在上为减函数,则,解得:.即实数的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.9.B【解析】
由题意可得,且,故有①,再根据,求得②,由①②可得的最大值,检验的这个值满足条件.【详解】解:函数,,为的零点,为图象的对称轴,,且,、,,即为奇数①.在,单调,,②.由①②可得的最大值为1.当时,由为图象的对称轴,可得,,故有,,满足为的零点,同时也满足满足在上单调,故为的最大值,故选:B.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征,正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,属于中档题.10.D【解析】
由题意结合函数的图象,求出周期,根据周期公式求出,求出,根据函数的图象过点,求出,即可求得答案【详解】由函数图象可知:,函数的图象过点,,则故选【点睛】本题主要考查的是的图像的运用,在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件,计算三角函数的周期、最值,代入已知点坐标求出结果11.C【解析】
先求B.再求,求得则子集个数可求【详解】由题=,则集合,故其子集个数为故选C【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数,熟练掌握各自的定义是解本题的关键,是基础题12.A【解析】
令,进而求得,再转化为函数的最值问题即可求解.【详解】∵∴(),∴,令:,,在上增,且,所以在上减,在上增,所以,所以的最小值为0.故选:A【点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用,考查了转化的数学思想,恰当的用一个未知数来表示和是本题的关键,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.4【解析】
由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可【详解】由题意得函数的最小正周期,解得故答案为:4【点睛】本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的14.【解析】
作出可行域,由得,平移直线,数形结合可求的最大值.【详解】作出可行域如图所示由得,则是直线在轴上的截距.平移直线,当直线经过可行域内的点时,最小,此时最大.解方程组,得,..故答案为:.【点睛】本题考查简单的线性规划,属于基础题.15.【解析】
根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体,结合图中数据求出它的体积.【详解】根据三视图知,该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体,如图所示:结合图中数据,计算它的体积为.故答案为:.【点睛】本题考查了根据三视图求简单组合体的体积应用问题,是基础题.16.,【解析】
根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.【详解】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题,则该命题的否定是:,故答案为:,.【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)点在定直线上.【解析】
(1)设出直线的方程为,由直线和圆相切的条件:,解得;(2)设出,运用导数求得切线的斜率,求得为切点的切线方程,再由向量的坐标表示,可得在定直线上;【详解】解:(1)依题意设直线的方程为,由已知得:圆的圆心,半径,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,即,解得或(舍去).所以;(2)依题意设,由(1)知抛物线方程为,所以,所以,设,则以为切点的切线的斜率为,所以切线的方程为.令,,即交轴于点坐标为,所以,,,.设点坐标为,则,所以点在定直线上.【点睛】本题考查抛物线的方程和性质,直线与圆的位置关系的判断,考查直线方程和圆方程的运用,以及切线方程的求法,考查化简整理的运算能力,属于综合题.18.(1)64,65;(2);(3).【解析】
(1)根据频率分布直方图及其性质可求出,平均数,中位数;(2)设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件,“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件,由条件概率公式可求出;(3)从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈,其中“不合格”的学生数为,“合格”的学生数为6;由题意可得,5,10,15,1,利用“超几何分布”的计算公式即可得出概率,进而得出分布列与数学期望.【详解】由题意知,样本容量为,.(1)平均数为,设中位数为,因为,所以,则,解得.(2)由题意可知,分数在内的学生有24人,分数在内的学生有12人.设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件,“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件,则,所以.(3)在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人,则“不合格”的学生人数为,“合格”的学生人数为.由题意可得的所有可能取值为0,5,10,15,1.,.所以的分布列为0510151.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布列及其数学期望,考查了计算能力,属于中档题.19.(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)取的中点D,连结,.根据线面平行的判定定理即得;(2)先证,,和都是平面内的直线且交于点,由(1)得,再结合线面垂直的判定定理即得.【详解】(1)取的中点D,连结,.在中,P,D分别为,中点,,且.在直三棱柱中,,.Q为棱的中点,,且.,.四边形为平行四边形,从而.又平面,平面,平面.(2)在直三棱柱中,平面.又平面,.,D为中点,.由(1)知,,.又,平面,平面,平面.【点睛】本题考查线面平行的判定定理,以及线面垂直的判定定理,难度不大.20.(1);(2).【解析】
(1)直接根据特殊角的三角函数值求出,结合正弦定理求出;(2)结合第一问的结论以及余弦定理即可求解.【详解】解:(1)∵,且,∴,由正弦定理,∴,∵∴锐角,∴(2)∵,∴∴∴在中,由余弦定理得∴【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用.21.(1)(2),.【解析】
(1)根据数列的通项与前n项和的关系式,即求解数列的通项公式;(2)由(1)可得,利用等比数列的前n项和公式和裂项法,求得,结合
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