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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.2.若集合,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.3.已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则|FA|=()A.1 B.2 C.3 D.44.已知复数z满足(i为虚数单位),则z的虚部为()A. B. C.1 D.5.已知函数是上的偶函数,且当时,函数是单调递减函数,则,,的大小关系是()A. B.C. D.6.若,,则的值为()A. B. C. D.7.已知的内角的对边分别是且,若为最大边,则的取值范围是()A. B. C. D.8.过双曲线左焦点的直线交的左支于两点,直线(是坐标原点)交的右支于点,若,且,则的离心率是()A. B. C. D.9.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点,若为线段的中点,且(为坐标原点),则双曲线的离心率为()A. B. C. D.10.正方形的边长为,是正方形内部(不包括正方形的边)一点,且,则的最小值为()A. B. C. D.11.若,则“”的一个充分不必要条件是A. B.C.且 D.或12.已知函数(e为自然对数底数),若关于x的不等式有且只有一个正整数解,则实数m的最大值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,在中,已知,为边的中点.若,垂足为,则的值为__.14.在四面体中,分别是的中点.则下述结论:①四面体的体积为;②异面直线所成角的正弦值为;③四面体外接球的表面积为;④若用一个与直线垂直,且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积最大值为.其中正确的有_____.(填写所有正确结论的编号)15.已知盒中有2个红球,2个黄球,且每种颜色的两个球均按,编号,现从中摸出2个球(除颜色与编号外球没有区别),则恰好同时包含字母,的概率为________.16.设f(x)=etx(t>0),过点P(t,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y=f(x)的交点为Q,曲线C过点Q的切线交x轴于点R,若S(1,f(1)),则△PRS的面积的最小值是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,点是直线上的动点,为定点,点为的中点,动点满足,且,设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的直线交曲线于,两点,为曲线上异于,的任意一点,直线,分别交直线于,两点.问是否为定值?若是,求的值;若不是,请说明理由.18.(12分)如图,在四棱锥中,是边长为的正方形的中心,平面,为的中点.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,E,F分别是棱AB,PC的中点.求证:(1)EF//平面PAD;(2)平面PCE⊥平面PCD.20.(12分)为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,当不处罚时,有80人会闯红灯,处罚时,得到如表数据:处罚金额(单位:元)5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少?(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类:类市民在罚金不超过10元时就会改正行为;类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷,则前两位均为类市民的概率是多少?21.(12分)已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.22.(10分)某超市在节日期间进行有奖促销,规定凡在该超市购物满400元的顾客,均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下:奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球(红、黄、黑、白).顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则摸奖停止,否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元,摸到白球或黄球奖励10元,摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率;(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据计算结果,可知该循环结构循环了5次;输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等式.【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,根据结果填写判断框,属于基础题.2.D【解析】
由题意,分析即得解【详解】由题意,故,故选:D【点睛】本题考查了元素和集合,集合和集合之间的关系,考查了学生概念理解,数学运算能力,属于基础题.3.C【解析】
方法一:设,利用抛物线的定义判断出是的中点,结合等腰三角形的性质求得点的横坐标,根据抛物线的定义求得,进而求得.方法二:设出两点的横坐标,由抛物线的定义,结合求得的关系式,联立直线的方程和抛物线方程,写出韦达定理,由此求得,进而求得.【详解】方法一:由题意得抛物线的准线方程为,直线恒过定点,过分别作于,于,连接,由,则,所以点为的中点,又点是的中点,则,所以,又所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为,所以,所以.方法二:抛物线的准线方程为,直线由题意设两点横坐标分别为,则由抛物线定义得又①②由①②得.故选:C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查直线和抛物线的位置关系,属于中档题.4.D【解析】
根据复数z满足,利用复数的除法求得,再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z满足,所以,所以z的虚部为.故选:D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.5.D【解析】
利用对数函数的单调性可得,再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为,,故.又,故.因为当时,函数是单调递减函数,所以.因为为偶函数,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用,比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系,本题属于中档题.6.A【解析】
取,得到,取,则,计算得到答案.【详解】取,得到;取,则.故.故选:.【点睛】本题考查了二项式定理的应用,取和是解题的关键.7.C【解析】
由,化简得到的值,根据余弦定理和基本不等式,即可求解.【详解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因为为三角形的最大角,所以,又由余弦定理,当且仅当时,等号成立,所以,即,又由,所以的取值范围是.故选:C.【点睛】本题主要考查了代数式的化简,余弦定理,以及基本不等式的综合应用,试题难度较大,属于中档试题,着重考查了推理与运算能力.8.D【解析】
如图,设双曲线的右焦点为,连接并延长交右支于,连接,设,利用双曲线的几何性质可以得到,,结合、可求离心率.【详解】如图,设双曲线的右焦点为,连接,连接并延长交右支于.因为,故四边形为平行四边形,故.又双曲线为中心对称图形,故.设,则,故,故.因为为直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故选:D.【点睛】本题考查双曲线离心率,注意利用双曲线的对称性(中心对称、轴对称)以及双曲线的定义来构造关于的方程,本题属于难题.9.C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点,∴,则为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴,即.∴双曲线的离心率为故选C.点睛:本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质,考查了离心率的求解,同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用,对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).10.C【解析】
分别以直线为轴,直线为轴建立平面直角坐标系,设,根据,可求,而,化简求解.【详解】解:建立以为原点,以直线为轴,直线为轴的平面直角坐标系.设,,,则,,由,即,得.所以=,所以当时,的最小值为.故选:C.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示,属于基础题.11.C【解析】,∴,当且仅当时取等号.故“且”是“”的充分不必要条件.选C.12.A【解析】
若不等式有且只有一个正整数解,则的图象在图象的上方只有一个正整数值,利用导数求出的最小值,分别画出与的图象,结合图象可得.【详解】解:,∴,设,∴,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,∴,当时,,当,,函数恒过点,分别画出与的图象,如图所示,,若不等式有且只有一个正整数解,则的图象在图象的上方只有一个正整数值,∴且,即,且∴,故实数m的最大值为,故选:A【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了数形结合思想,考查了数学运算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
,由余弦定理,得,得,,,所以,所以.点睛:本题考查平面向量的综合应用.本题中存在垂直关系,所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系,得到,所以本题转化为求长度,利用余弦定理和面积公式求解即可.14.①③④.【解析】
补图成长方体,在长方体中利用割补法求四面体的体积,和外接球的表面积,以及异面直线的夹角,作出截面即可计算截面面积的最值.【详解】根据四面体特征,可以补图成长方体设其边长为,,解得补成长,宽,高分别为的长方体,在长方体中:①四面体的体积为,故正确②异面直线所成角的正弦值等价于边长为的矩形的对角线夹角正弦值,可得正弦值为,故错;③四面体外接球就是长方体的外接球,半径,其表面积为,故正确;④由于,故截面为平行四边形,可得,设异面直线与所成的角为,则,算得,.故正确.故答案为:①③④.【点睛】此题考查根据几何体求体积,外接球的表面积,异面直线夹角和截面面积最值,关键在于熟练掌握点线面位置关系的处理方法,补图法作为解决体积和外接球问题的常用方法,平常需要积累常见几何体的补图方法.15.【解析】
根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数,让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率.【详解】从袋中任意地同时摸出两个球共种情况,其中有种情况是两个球颜色不相同;故其概率是故答案为:.【点睛】本题主要考查了求事件概率,解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.16.【解析】
计算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面积为S,导数S′,由S′=0得t=1,根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ∥y轴,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的导数f′(x)=tetx,∴过Q的切线斜率k=t,设R(r,0),则k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面积为S,导数S′,由S′=0得t=1,当t>1时,S′>0,当0<t<1时,S′<0,∴t=1为极小值点,也为最小值点,∴△PRS的面积的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)是定值,.【解析】
(1)设出M的坐标为,采用直接法求曲线的方程;(2)设AB的方程为,,,,求出AT方程,联立直线方程得D点的坐标,同理可得E点的坐标,最后利用向量数量积算即可.【详解】(1)设动点M的坐标为,由知∥,又在直线上,所以P点坐标为,又,点为的中点,所以,,,由得,即;(2)设直线AB的方程为,代入得,设,,则,,设,则,所以AT的直线方程为即,令,则,所以D点的坐标为,同理E点的坐标为,于是,,所以,从而,所以是定值.【点睛】本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题,在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系,本题思路简单,但计算量比较大,是一道有一定难度的题.18.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由正方形的性质得出,由平面得出,进而可推导出平面,再利用面面垂直的判定定理可证得结论;(Ⅱ)取的中点,连接、,以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法能求出二面角的余弦值.【详解】(Ⅰ)是正方形,,平面,平面,、平面,且,平面,又平面,平面平面;(Ⅱ)取的中点,连接、,是正方形,易知、、两两垂直,以点为坐标原点,以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系,在中,,,,、、、,设平面的一个法向量,,,由,得,令,则,,.设平面的一个法向量,,,由,得,取,得,,得.,二面角为钝二面角,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角,考查推理能力与计算能力,属于中等题.19.(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)取的中点构造平行四边形,得到,从而证出平面;(2)先证平面,再利用面面垂直的判定定理得到平面平面.【详解】证明:(1)如图,取的中点,连接,,是棱的中点,底面是矩形,,且,又,分别是棱,的中点,,且,,且,四边形为平行四边形,,又平面,平面,平面;(2),点是棱的中点,,又,,平面,平面,,底面是矩形,,平面,平面,且,平面,又平面,,,,又平面,平面,且,平面,又平面,平面平面.【点睛】本题主要考查线面平行的判定,面面垂直的判定,首选判定定理,是中档题.20.(1)降低(2)【解析】
(1)计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率,和不进行处罚时行人闯红灯的概率,求解即可;(2)闯红灯的市民有80人,其中类市民和类市民各有40人,根据分层抽样法抽出4人依次排序,计算所求的概率值.【详解】解:
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