广东省2020年高二数学上学期期中考试卷（三）

广东省2020年高二数学上学期期中考试卷（三）

（考试时间120分钟满分150分）

一.单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知等差数列｛a"中，an=4n-3,则首项和公差d的值分别为（）

A.1,3B.-3,4C.1,4D.1,2

在中，222

2.aABCB^|a+b=c+V2baf则NC=（）

A.30°B.150°C.45°D.135°

3.设x,y£R,且x+y=4,则5*+5丫的最小值是（）

A.9B.25C.162D.50

11

4.在等比数列｛a"中，已知ai=9,q=--3,an=9>则n=（）

A.4B.5C.6D.7

3x-1、

5.不等式2-x〉l的解集是（）

333

A.{x|"^<x<2}B.{x|"^<x<2}C.{x|x>2或x«%}D.{x|x>"^}

6.在AABC中，已知A=30。，C=45。，a=2,则aABC的面积等于（）

A.&B.V3+1C.2A/2

D.I（百+1）

7.不等式J+mx+T〉°恒成立的条件是（）

A.m>2B.m<2C.m<0或m>2D.0<m<2

8.在aABC中，若a=2bcosC,则AABC一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

9.若a,b,c成等比数列，m是a,b的等差中项，n是b,c的等差中项，则益二=

（）

A.4B.3C.2D.1

10.关于x的方程ax2+2x-1=0至少有一个正的实根，则a的取值范围是（）

A.a>0B.-l<a<0C.a>0或-IVaVOD.a>-1

11.设关于X的不等式：x2-ax-2>0解集为M,若2eM,MEM,则实数a的取

值范围是（）

V5MM

A.（-8,）u（i,+8）B.（-8,）c.,i）

V3

D.,1）

12.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某

人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45。，沿点A向北偏东30。前进100

米到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30。，则水柱的高度是（）

A.50米B.60米C.80米D.100米

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13.在等差数列｛a"中，aI，a2,a4这三项构成等比数列，则公比q=.

14.在aABC中，A=60。，|AB|=2,且△ABC的面积为义3,则|AC|=.

2

15.已知实数a>b,当a、b满足__________条件时，不等式工成立.

ab

IJ+2

x

16.下列函数中，①尸|x+—|；@yI■；③y=log2x+logx2(x>0且XHI)；©y=3+3

XVx"+1

x；⑤y=x+9-2；@y=Vxf-TB-2；⑦y=k)g2x2+2最小值为2的函数是

xvx

(只填序号)

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.在等比数列｛aj中,a】a2a3=27,a2+a4=30试求:

(1)ai和公比q；

(2)前6项的和S6.

18.在锐角AABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且Jga=2csinA

(1)确定角C的大小；

(2)若c=®且4ABC的面积为"，求a+b的值.

2

19.关于x的不等式a2x+b2(1-x)>[ax+b(1-x)]2

(1)当a=l,b=0时解不等式；

(2)a,beR,axb解不等式.

20.已知等差数列｛aj的首项为a,公差为b,且不等式k)g2(ax2-3x+6)>2的解集

为｛x|xVl或x>b｝.

(1)求数列｛a。｝的通项公式及前n项和Sn公式；

(II)求数列｛-7—｝的前n项和Tn.

anan+l

21.有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，第一种方式可截成长度为a的钢

条2根，长度为b的钢条1根；

第二种方式可截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根.现长度为a的钢条至少

需要15根，长度为b的钢条至少需要27根.

问：如何切割可使钢条用量最省？

22.(1)设不等式2x-l>m(x2-1)对满足-2<m<2的一切实数m的取值都成立，

求x的取值范围；

(2)是否存在m使得不等式2x-l>m(x2-1)对满足-24x42的实数x的取值都成

立.

参考答案

一.单项选择题

1.C.2.C.3,D.4.B5.B.6.B.7.D.8.B

9.C.

10.D.11.C12.A.

二.填空题

13.解：设等差数列｛aj的公差为d,

则可得(即+d)2=aj(ai+3d)

解得ai=d或d=0

③2一

二公比q=---=2或1.

al

故答案为：2或1.

14.解：在△ABC中，A=60。，|AB|=2,且aABC的面积为乂3

2

所吗|AC||AC|sin60。=哼,

则|AC|=1.

故答案为：1.

15.解，当ab>0时，Va>b,

即工"

ababba

当abVO时，Va>b,

即工v±

ababba

综上所述，当a、b满足ab>0时，不等式工<5成立.

ab

故答案为：ab>0,.

16.解:①:x与1同号，故尸|乂+工卜冈+口，由冈>0,I-1>0

XXXX

=x+

•|x+""|lll~~l-2u|x|故正确;

③当VxV1时，log2xV()时，y=log2x+logx2<-2,故错误;

④由3x>0,3'x>0,

y=3x+3_X&I眇一一02,故正确；

⑤当xVO时，尸x+§-火-6,故错误;

x

⑥^->0,

则尸«j-A

@Vx2>0,故y=log2x2e(-8,+<»),y=log2X2+2e(-+°°),故错误;

故答案为：①③④⑥

三、解答题

2

a.'a.q'a.q=27

17.解：（1）在等比数列｛aj中，由已知可得：，...(3分)

q+a[q3=30

a.=l

解得：1或（6分）

q=3q=~3

n

_ai(l-q)

n-1_q

.当卜]=1IX(1-36)1-36”“

Tm时‘,6=—口一=F-36d"。分)

aj=-166

。(-1)X[1-(-3)]3-11OO

==182（14分）

q=-3S6=*4

18.解：(1)VA/3a=2csinA

正弦定理得V^sinA=2si.nCsinA，

：A锐角，

/.sinA>0,

•.•s.in4CM=-»

又・・・c锐角，

(2)三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC

即7=a2+b2-ab,

又由AABC的面积得s弓absinC^^ab坐/^•

即ab=6,

(a+b)2=a2+b2+2ab=25

由于a+b为正，所以a+b=5.

19.解：(1)当a=l、b=0时，原不等式化为xNx2,(2分)

即x(x-1)<0；...(4分)

解得04x41,

工原不等式的解集为｛x|0«xVl｝；…(6分)

(2)Va2x+b2(1-x)>[ax+b(1-x)]2,

/.(a-b)2x>(a-b)2x2,(10分)

又「axb,

J(a-b)2>0,

・，・x>x2；

即x(x-1)<0,...(12分)

解得0<x<l；

，不等式的解集为｛x|(ExR｝・…(14分)

20.解：(I)二•不等式log?(ax2-3x+6)>2可转化为ax2-3x+2>0,

所给条件表明：ax2-3x+2>0的解集为｛x|x<lorx>b｝,根据不等式解集的意义

可知:方程ax2-3x+2=0的两根为xj=UX2=b.

利用韦达定理不难得出a=l,b=2.

2

由此知an=l+2(n-1)=2n-1,sn=n...由分)

(11)寿17口，a同""(2nT),(2n+l)~2(2n-l2n+l

则

中1+b2+b3i+bn申(；')+03)+43)一(嵩-备)]

4(1-dr)...(12分)

21.解：设按第一种切割方式需钢条x根，按第二种切割方式需钢条y根,

'2x+y>15

x+3y>27L_

根据题意得约束条件是、十二2目标函数是z=x+y,

x>0,xcN

y>0,y€N

画出不等式组表示的平面区域如下图阴影部分.

此时z=11.4,但x,y,z都应当为正整数,

.•.点（3.6,7.8）不是最优解.

经过可行域内的整点且使z最小的直线是y=-x+12,

即z=12,满足该约束条件的（x,y）有两个：（4,8）或（3,9）,它们都是最优解.

即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8

根；

或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，可满足要求.

22.解：(1)令f(m)=2x-1-m(x2-1)=(1-x2)m+2x-1,可看成是一条直线,

且使|m|42的一切

实