新高考数学二轮复习热点7-4 抛物线及其应用（6题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）

热点7-4抛物线及其应用抛物线是高考数学的热点问题，在高考中选择题、填空题、解答题都曾出现过，属于高频考点。这部分内容主要涉及标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤。【题型1抛物线的定义及概念辨析】满分技巧1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2).【例1】（2023·广东广州·高三天河中学校考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点到SKIPIF1<0轴的距离为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．1【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）动点P到直线SKIPIF1<0的距离减去它到点SKIPIF1<0的距离等于2，则点P的轨迹是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线【变式1-2】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）焦点为SKIPIF1<0的抛物线SKIPIF1<0的对称轴与准线交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上且在第一象限，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．1D．SKIPIF1<0【变式1-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C：SKIPIF1<0的焦点，直线SKIPIF1<0与抛物线C交于A，B两点，若SKIPIF1<0，则抛物线C的准线方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【变式1-4】（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线SKIPIF1<0的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且SKIPIF1<0平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若SKIPIF1<0，则梯形SKIPIF1<0的面积为（）A．12B．6C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【题型2利用定义求距离和差最值】满分技巧与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．【例2】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）已知点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的焦点，点SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上任意一点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．7B．6C．5D．4【变式2-1】（2023·江西萍乡·高三统考期末）点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上任意一点，点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上任意一点，SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0的定点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．2B．SKIPIF1<0C．3D．SKIPIF1<0【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，SKIPIF1<0，过点M作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为．【变式2-3】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为抛物线SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0上的动点，设点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【变式2-4】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）设P为抛物线C：SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0关于P的对称点为B，记P到直线SKIPIF1<0的距离分别SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【题型3抛物线标准方程的求解】满分技巧1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．2、待定系数法（1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．【例3】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则抛物线SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式3-1】（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【变式3-2】（2023·上海杨浦·统考一模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，第一象限的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点在抛物线上，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若线段SKIPIF1<0中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.【变式3-3】（2023·天津河东·高三校考阶段练习）点M为抛物线SKIPIF1<0SKIPIF1<0上点，抛物线焦点为F，过M作y轴垂线交y轴于N点，若SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为底边的等腰三角形，且SKIPIF1<0，则抛物线方程为.【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）若点A，B在抛物线SKIPIF1<0上，O是坐标原点，正三角形OAB的面积为SKIPIF1<0，则该抛物线的方程是．【题型4抛物线的中点弦问题】满分技巧设直线与曲线的两个交点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，中点坐标为SKIPIF1<0，代入抛物线方程，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将两式相减，可得SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0【例4】（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线l与抛物线C交于A，B两点，若SKIPIF1<0，则直线l的斜率是（）A．SKIPIF1<0B．4C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式4-1】（2022·北京·高三北京二中校考阶段练习）已知A，B是抛物线SKIPIF1<0上的两点，线段AB的中点为SKIPIF1<0，则直线AB的方程为．【变式4-2】（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线SKIPIF1<0上两点A，B关于点SKIPIF1<0对称，则直线AB的斜率为.【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）直线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是参数）与抛物线SKIPIF1<0的相交弦是SKIPIF1<0，则弦SKIPIF1<0的中点轨迹方程是.【变式4-4】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．（1）求抛物线SKIPIF1<0的方程；（2）已知直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，求直线SKIPIF1<0的方程．【题型5抛物线的弦长问题】满分技巧1、一般弦长：设为抛物线的弦，，，（为直线的斜率，且）.2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，根据抛物线的定义有，，故.又因为是梯形的中位线，所以，从而有下列结论；（1）以为直径的圆必与准线相切.（2）(焦点弦长与中点关系)（3）.（4）若直线的倾斜角为，则.（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.（6）为定值.【例5】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0且斜率大于零的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0及抛物线SKIPIF1<0的公共点从右到左依次为点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式5-1】（2023·江西景德镇·统考一模）已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，SKIPIF1<0的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在SKIPIF1<0的两侧）.若四边形SKIPIF1<0为菱形，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．2【变式5-2】（2022·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）若直线l经过抛物线SKIPIF1<0的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为.【变式5-3】（2022·四川内江·统考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，坐标原点为SKIPIF1<0，焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.（1）若直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0只有一个公共点，求SKIPIF1<0的值；（2）过点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的面积．【变式5-4】（2023·湖南邵阳·高三邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0的准线方程是SKIPIF1<0.（1）求抛物线的方程；（2）设直线SKIPIF1<0与抛物线相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，求实数k的值.【题型6直线与抛物线综合应用】满分技巧求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．【例6】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离与到点SKIPIF1<0的距离之和的最小值为3．（1）求抛物线SKIPIF1<0的标准方程．（2）已知过点SKIPIF1<0且互相垂直的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别交于点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0．若直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【变式6-1】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的准线方程为SKIPIF1<0．动点P在SKIPIF1<0上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N．（1）求抛物线C的方程：（2）当SKIPIF1<0面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点）【变式6-2】（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的准线SKIPIF1<0上的一点，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为4.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）抛物线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方一点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作两条倾斜角互补的直线，与曲线SKIPIF1<0的另一个交点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0的斜率为定值.【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线SKIPIF1<0的准线经过点SKIPIF1<0．（1）求抛物线C的方程．（2）设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交于点M，N，请问：是否存在以SKIPIF1<0为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-4】（2023·重庆·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是抛物线上一点，且SKIPIF1<0.（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：SKIPIF1<0，点B是l与y轴的交点，过点ASKIPIF1<0作与l平行的直线SKIPIF1<0，过点A的动直线SKIPIF1<0与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线SKIPIF1<0于点M，N，证明：SKIPIF1<0．（建议用时：60分钟）1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．4D．52．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交于A，B两点，点A为x轴上方一点，过点A作SKIPIF1<0垂直于C的准线于点D．若SKIPIF1<0，则p的值为（）A．SKIPIF1<0B．1C．SKIPIF1<0D．23．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上的一点，过SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2023·全国·模拟预测）设SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上第四象限的点．若直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．6B．4C．3D．25．（2023·江苏徐州·高三统考期中）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06．（2023·全国·模拟预测）已知焦点为SKIPIF1<0的抛物线SKIPIF1<0上有一点SKIPIF1<0，准线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线SKIPIF1<0于M，N两点，且MN的中点为SKIPIF1<0，则直线l的斜率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．3D．SKIPIF1<08．（2023·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）（多选）设抛物线C:SKIPIF1<0的焦点为F，准线为SKIPIF1<0.点A，B是抛物线C上不同的两点，且SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．以线段SKIPIF1<0为直径的圆必与准线相切C．线段SKIPIF1<0的长为定值D．线段SKIPIF1<0的中点E到准线的距离为定值9．（2023·广东佛山·高三校考阶段练习）（多选）直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，下列说法正确的是（）A．抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0B．拋物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0为原点，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<010．（2023上·山东·高三校联考开学考试）（多选）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0到准线的距离为2，过SKIPIF1<0轴上异于坐标原点的任意一点SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0的一条切线，切点为SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0的斜率存在，SKIPIF1<0为坐标原点.则（）A．SKIPIF1<0B．当线段SKIPIF1<0的中点在抛物线SKIPIF1<0