新高考数学二轮复习热点7-2 椭圆及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）

热点7-2椭圆及其应用椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。【题型1椭圆的定义及概念辨析】满分技巧在椭圆的定义中条件SKIPIF1<0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当SKIPIF1<0时，其轨迹为线段SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，其轨迹不存在．【例1】（2021·高二课时练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个定点，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正常数），动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．直线【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时动点SKIPIF1<0的轨迹是椭圆；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时动点SKIPIF1<0的轨迹是线段SKIPIF1<0．故选：C．【变式1-1】（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上关于原点对称的两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．1B．2C．4D．5【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0,所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形.所以SKIPIF1<0.由椭圆的定义得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故选：C【变式1-2】（2023·陕西西安·校考三模）已知椭圆SKIPIF1<0的两焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0.因为椭圆SKIPIF1<0的两焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B【变式1-3】（2023·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）一动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，与圆SKIPIF1<0内切，则动圆圆心SKIPIF1<0点的轨迹方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意可知：圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，可知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切于点SKIPIF1<0，显然圆心SKIPIF1<0不能与点SKIPIF1<0重合，设圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，由题意可知：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可知点M的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆（点SKIPIF1<0除外），且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点的轨迹方程为SKIPIF1<0.故选：D.【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）点M在椭圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是SKIPIF1<0中点，且ON长度是4，则SKIPIF1<0的长度是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】设椭圆右焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0由已知得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0因为N是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，再根据椭圆定义得SKIPIF1<0【题型2利用定义求距离和差最值】满分技巧利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：（1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；（2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值【例2】（2023·江西抚州·高三乐安县第二中学校考期中）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，SKIPIF1<0是椭圆上一动点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】椭圆SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图，设椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，由图形知，当SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0（与椭圆的交点）上时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0不在直线SKIPIF1<0（与椭圆的交点）上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延长线（与椭圆的交点）上时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【变式2-1】（2023·江苏南通·统考三模）已知SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．5B．6C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】依题意SKIPIF1<0，设椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0三点共线，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之间时等号成立.而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0四点共线，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之间，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的延长线与圆SKIPIF1<0的交点时等号成立.故选：D【变式2-2】（2023·全国·高二课时练习）已知点P为椭圆SKIPIF1<0上任意一点，点M、N分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的点，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】设圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0的圆心分别为SKIPIF1<0,半径分别为SKIPIF1<0.则椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0的延长线上时取等号.此时SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0.故选：C.【变式2-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根据椭圆的定义可得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0三点共线时，取值最大或最小.由已知得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0点位于图中SKIPIF1<0时，根据三角形三边关系取值最大.SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0点位于图中SKIPIF1<0时，根据三角形三边关系取值最大.SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式2-4】（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，点P在椭圆C上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】由椭圆方程可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，如图，连接SKIPIF1<0并延长，交椭圆于P，则SKIPIF1<0，(当且仅当点SKIPIF1<0三点共线时，且点SKIPIF1<0位于第三象限时取等号)此时SKIPIF1<0取最大值为SKIPIF1<0【题型3椭圆标准方程的求解】满分技巧1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；（2）定量：依据条件及SKIPIF1<0确定SKIPIF1<0的值；（3）写出标准方程；2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为SKIPIF1<0；3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为SKIPIF1<0，将点的坐标代入，解方程组求得系数。【例3】（2022·湖北十堰·高三统考期末）已知曲线SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“曲线C是椭圆”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若曲线SKIPIF1<0是椭圆，则有：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0故“SKIPIF1<0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选：C【变式3-1】（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）已知方程SKIPIF1<0表示焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】方程SKIPIF1<0表示焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：A.【变式3-2】（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知直线SKIPIF1<0经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以椭圆的焦点在SKIPIF1<0轴上.设椭圆的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0.故选：C.【变式3-3】（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0右焦点为SKIPIF1<0，其上下顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该椭圆的标准方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根据题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在椭圆中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即椭圆的标准方程为SKIPIF1<0.故选：D.【变式3-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交椭圆E于点P．若点A到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为16，则椭圆E的标准方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，所以点A到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0①．由SKIPIF1<0的周长为16，得SKIPIF1<0，即a+c=8②，联立①②，解得SKIPIF1<0③．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0④．联立②④，解得a=6，c=2，所以SKIPIF1<0，故椭圆E的标准方程为是SKIPIF1<0.故选：B．【题型4椭圆的焦点三角形问题】满分技巧一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF2，AF12+性质1：AF1+拓展：∆AF1∆ABF1性质2：4c【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0分别是椭圆的左、右焦点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为【答案】SKIPIF1<0【解析】椭圆SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式4-1】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】2【解析】因椭圆方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又由椭圆定义，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【变式4-2】（2023·浙江宁波·统考一模）设SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如下图所示：不妨设SKIPIF1<0，根据椭圆定义可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由余弦定理可知SKIPIF1<0；又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；所以可得SKIPIF1<0；故选：C【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的上、下焦点分别为SKIPIF1<0，短半轴长为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交该椭圆于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的周长是SKIPIF1<0的周长的3倍，则SKIPIF1<0的周长为（）A．6B．5C．7D．9【答案】B【解析】由题意可得SKIPIF1<0，由离心率为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0，由椭圆的定义得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B．【变式4-4】（2023·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0为直角三角形的点SKIPIF1<0有（）个A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因此以SKIPIF1<0为直径作圆与SKIPIF1<0必有四个不同的交点，因此SKIPIF1<0中以SKIPIF1<0的三角形有四个，除此之外以SKIPIF1<0为直角，SKIPIF1<0为直角的SKIPIF1<0各有两个，所以存在使SKIPIF1<0为直角三角形的点SKIPIF1<0共有8个.故选：D【题型5求椭圆的离心率与范围】满分技巧1、求椭圆离心率的3种方法（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．2、求椭圆离心率范围的2种方法（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系。【例5】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知椭圆C：SKIPIF1<0的左右焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，若满足SKIPIF1<0成等差数列，且SKIPIF1<0，则C的离心率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，则在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.【变式5-1】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）己知SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0分别为其左右焦点，SKIPIF1<0为其右顶点，SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为．【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，如图所示，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由椭圆定义得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0【变式5-2】（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，经过SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，且SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式5-3】（2023·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0为钝角三角形，则离心率SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为钝角三角形，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即椭圆SKIPIF1<0的离心率的取值范围为SKIPIF1<0.故选：A.【变式5-4】（2023·重庆·统考三模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆离心率的取值范围为．【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由正弦定理可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根据椭圆的定义可知，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【题型6椭圆的中点弦问题】满分技巧解决椭圆中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。证明：设、，则有，上式减下式得，∴，∴，∴。特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。【例6】（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：SKIPIF1<0的右焦点为F，斜率为2的直线与椭圆C交于点A，B，且SKIPIF1<0，点D为线段AB的中点，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】解法一：由题意知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，因为直线AB的斜率为2，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解法二：由题意知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．设直线AB的方程为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立并整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解法三：由题意知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：D．【变式6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0外的一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点），过点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，取线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则由题意可得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为直线SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：SKIPIF1<0，若椭圆C上有不同的两点关于直线SKIPIF1<0对称，则实数m的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0是椭圆C上关于直线l：SKIPIF1<0对称的两个点，SKIPIF1<0是线段PQ的中点，则SKIPIF1<0，两式相减，得SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵点M应在椭圆C的内部，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.∴实数m的取值范围是SKIPIF1<0.【变式6-3】（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C：SKIPIF1<0，圆O：SKIPIF1<0，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若SKIPIF1<0，则直线l的方程为．【答案】SKIPIF1<0【解析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,进而SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0，设直线上任意一点SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0是圆的切线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由中点坐标公式可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0故直线l的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【题型7直线与椭圆相交弦长求解】满分技巧求弦长的两种方法：（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，焦距为SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0的直线l与椭圆SKIPIF1<0有两个不同的交点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.联立得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有两个不同的交点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0过原点时，SKIPIF1<0最大，最大值为SKIPIF1<0.【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）过点SKIPIF1<0的直线l与椭圆SKIPIF1<0.交于A，B两点，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0（O为坐标原点），求直线l的方程.【答案】SKIPIF1<0【解析】显然直线SKIPIF1<0不垂直于y轴，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去x得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【变式7-2】（2023·江苏徐州·高三统考期中）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的标准方程；（2）过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，当SKIPIF1<0时，求直线SKIPIF1<0的方程.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】（1）由题意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0.（2）易知直线SKIPIF1<0的斜率不为0，设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，消去y，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式7-3】（2023·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在SKIPIF1<0轴上，离心率为SKIPIF1<0，焦距为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点SKIPIF1<0，且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆于A，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的面积．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：SKIPIF1<0，因为焦距为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又离心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，所以椭圆标准方程为：SKIPIF1<0.（2）由（1）知：左焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由弦长公式SKIPIF1<0,SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．【变式7-4】（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）设椭圆SKIPIF1<0的左右顶点分别为SKIPIF1<0，左右焦点SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求椭圆方程．（2）若斜率为1的直线SKIPIF1<0交椭圆于A，B两点，与以SKIPIF1<0为直径的圆交于C，D两点．若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0．（2）设直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意，以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0，则圆心到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【题型8直线与椭圆综合问题】【例8】（2023·全国·模拟预测）已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0均相切，且一个内切、一个外切．（1）求动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程．（2）已知点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，记直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0．试问：点SKIPIF1<0是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）点SKIPIF1<0恒在定直线SKIPIF1<0上【解析】（1）设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0．由已知条件，得SKIPIF1<0．①当动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，与圆SKIPIF1<0内切时，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．②当动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切，与圆SKIPIF1<0外切时，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．综上可知，圆心SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为焦点，6为长轴长的椭圆．易得圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，所以动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．联立直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0的方程，得SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并整理，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0