新高考数学二轮复习热点5-2 等比数列的通项及前n项和（6题型+满分技巧+限时检测）（解析版）

热点5-2等比数列的通项及前n项和主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等比数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等差数列一般设置一道选择题和一道解答题。【题型1等比数列的基本量计算】满分技巧等比数列的运算技巧1、在等比数列的通项公式和前SKIPIF1<0项和公式中，共涉及五个量：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中首项SKIPIF1<0和公比SKIPIF1<0为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都可以看作一个整体。【例1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设正项等比数列SKIPIF1<0的公比为q（SKIPIF1<0）．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍负值），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：A．【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意，设正项等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：A．【变式1-2】（2023·辽宁·高三统考期中）已知SKIPIF1<0为等比数列，其公比SKIPIF1<0，前7项的和为1016，则SKIPIF1<0的值为（）A．8B．10C．12D．16【答案】C【解析】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C【变式1-3】（2023·四川雅安·统考一模）在等比数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】等比数列SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，验证不成立；故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相除得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.【变式1-4】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符合题意，（注意对SKIPIF1<0情况的讨论），所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，（注意等比数列SKIPIF1<0为正项数列，故SKIPIF1<0），因此SKIPIF1<0.故选：C．【题型2等比数列性质的应用】满分技巧1、等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．2、应用等比数列性质解题时的2个注意点（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【例2】（2023·湖南永州·高三校考阶段练习）在等比数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．1B．2C．10D．100【答案】B【解析】由等比数列的性质可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列SKIPIF1<0的前n项积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：B．【变式2-2】（2023·陕西·校联考模拟预测）等比数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】依题意，等比数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，此时SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.【变式2-3】（2023·江苏淮安·高三校联考期中）已知数列SKIPIF1<0是正项等比数列，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．24B．27C．36D．40【答案】B【解析】数列SKIPIF1<0是正项等比数列，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B.【变式2-4】（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因为数列SKIPIF1<0为等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0设SKIPIF1<0①则SKIPIF1<0②由①+②得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0【题型3等比数列单调性及应用】满分技巧等比数列前n项和的函数特征1、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系（1）当公比SKIPIF1<0时，等比数列的前SKIPIF1<0项和公式是SKIPIF1<0，它可以变形为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则上式可以写成SKIPIF1<0的形式，由此可见，数列SKIPIF1<0的图象是函数SKIPIF1<0图象上的一群孤立的点；（2）当公比SKIPIF1<0时，等比数列的前SKIPIF1<0项和公式是SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的图象是函数SKIPIF1<0图象上的一群孤立的点。2、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系当公比SKIPIF1<0时，等比数列的前SKIPIF1<0项和公式是SKIPIF1<0，它可以变形为SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则上式可写成SKIPIF1<0的形式，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一次函数。【例3】（2023·福建厦门·高三厦门第二中学校考阶段练习）已知等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项积为SKIPIF1<0，则下列选项判断正确的是（）A．若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是递增数列B．若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是递增数列C．若数列SKIPIF1<0是递增数列，则SKIPIF1<0D．若数列SKIPIF1<0是递增数列，则SKIPIF1<0【答案】D【解析】对于A中，如果数列SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，但是等比数列SKIPIF1<0不是递增数列，所以A不正确；对于B中，如果数列SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，但是等比数列SKIPIF1<0不是递增数列，所以B不正确；对于C中，如果数列SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是递增数列，但是SKIPIF1<0，所以C不正确；对于D中，数列SKIPIF1<0是递增数列，可知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0正确，所以D正确；故选：D．【变式3-1】（2023·广东佛山·统考一模）等比数列SKIPIF1<0公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为等比数列SKIPIF1<0公比为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然数列SKIPIF1<0为不是递增数列；当“数列SKIPIF1<0为递增数列”时，有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以如果SKIPIF1<0，例如SKIPIF1<0，显然有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然数列SKIPIF1<0为不是递增数列，因此有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，显然SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0不一定恒成立，例如SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0不一定恒成立，例如SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒不成立，因此“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0为递增数列”的必要不充分条件，故选：B【变式3-2】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）（多选）设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】A项，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0和SKIPIF1<0异号.由于SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A项正确；B项，从前面的求解过程知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，说明SKIPIF1<0是单调递减的正项等比数列，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，故B项正确；C项，SKIPIF1<0是正项数列，SKIPIF1<0没有最大值，故C项错误；D项，从前面的分析过程可知SKIPIF1<0前6项均大于1.从SKIPIF1<0起全部在SKIPIF1<0上.所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故D项正确，故选：ABD【变式3-3】（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）（多选）设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项积为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列选项正确的是（）A．SKIPIF1<0为递减数列B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0中的最小项D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为4045【答案】BC【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0各项为正数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为递增数列，A错误；由A项及SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B正确；由上可知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即C正确；由SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0的最小值不为4045，即D错误.故选：BC.【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小D．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【答案】AC【解析】对于A，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故A正确；对于B，C，等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为递增数列，由等比数列的性质，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为递增数列，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，故B错误，C正确；对于D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为递增数列，SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC【题型4等比数列前n项和性质应用】满分技巧等比数列前SKIPIF1<0项和的性质（1）在公比SKIPIF1<0或SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……仍成等比数列，其公比为SKIPIF1<0；（2）对SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；（3）若等比数列SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0项，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是数列SKIPIF1<0的偶数项和与奇数项和；（4）等比数列的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，且SKIPIF1<0）【例4】（2023·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知各项均为实数的等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．150B．140C．130D．120【答案】A【解析】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，在等比数列SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成公比为SKIPIF1<0的等比数列.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去）.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A【变式4-1】（2023·河北石家庄·高三统考期中）已知数列SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0为其前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．27B．39C．81D．120【答案】D【解析】由题知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为数列SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.【变式4-2】（2023·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．8B．9C．16D．17【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为等比数列，所以SKIPIF1<0仍成等比数列.易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.故选:A.【变式4-3】（2023·河北保定·高三保定市第三中学校联考期末）（多选）已知数列SKIPIF1<0为等差数列，公差为SKIPIF1<0；数列SKIPIF1<0为等比数列，公比为SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．存在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．B．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列C．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列D．当SKIPIF1<0时，存在实数A、SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】对于选项A：例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正确；对于选项B：因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，故B正确；对于选项C：例如SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不一定成等比数列，故C错误；对于选项D：因为数列SKIPIF1<0为等差数列，设SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即存在实数A、SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，故D正确；故选：ABD.【变式4-4】（2023·安徽·高三怀远第一中学校联考阶段练习）记SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）60；（2）证明见解析.【解析】（1）设等比数列SKIPIF1<0的公比为q，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，且公比为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，因为数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0【题型5等比数列的判定与证明】满分技巧1、定义法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0为常数且SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是等比数列．2、等比中项法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是等比数列．3、通项公式法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是等比数列．4、前SKIPIF1<0项和公式法：若数列的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．（2）只满足SKIPIF1<0的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要SKIPIF1<0.【例5】（2022·新疆·统考一模）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）证明：SKIPIF1<0是等比数列；（2）求数列SKIPIF1<0的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为3，公比为4的等比数列.（2）由（1）知：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当n为奇数时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当n为偶数时，SKIPIF1<0·综上，SKIPIF1<0·【变式5-1】（2023·上海·高三校考期中）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为正整数.（1）证明：SKIPIF1<0是等比数列；（2）求数列SKIPIF1<0的通项公式及其前n项和SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减可得：SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首项为1，公比为SKIPIF1<0的等比数列.（2）由（1）得SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式5-2】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.（1）证明：数列SKIPIF1<0是等比数列；（2）若SKIPIF1<0成立，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）4【解析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为4.【变式5-3】（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0，并证明：SKIPIF1<0是等比数列；（2）求满足SKIPIF1<0的所有正整数SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，证明见解析；（2）1，2【解析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；由已知得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列；（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由二次函数及指数函数性质可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，其中SKIPIF1<0，所以满足SKIPIF1<0的所有正整数SKIPIF1<0为1，2.【变式5-4】（2023·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）证明：数列SKIPIF1<0为等比数列，并求出数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】（1）证明见解析，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得数列SKIPIF1<0是以首项为1，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）由（1）可知：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【题型6等比数列的实际应用】【例6】（2023·山东青岛·青岛第五十八中学校考一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．8B．10C．12D．16【答案】C【解析】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是以2为公比的等比数列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：C．【变式6-1】（2023·广东广州·统考三模）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（）．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设第SKIPIF1<0年的存款到取出时的本息和为SKIPIF1<0（千元），SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数为：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D.【变式6-2】（2023·湖南·校联考模拟预测）已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的SKIPIF1<0倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（）（参考数据：取SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0万元B．SKIPIF1<0万元C．SKIPIF1<0万元D．SKIPIF1<0万元【答案】D【解析】设第SKIPIF1<0年的销售额为SKIPIF1<0万元，依题意可得数列SKIPIF1<0是首项为a，公比为SKIPIF1<0的等比数列，则该公司从第1年到第11年的销售总额为SKIPIF1<0万元．故选：D【变式6-3】（2023·安徽·高三马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）0.618是无理数SKIPIF1<0的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，SKIPIF1<0是顶角为SKIPIF1<0，底SKIPIF1<0的第一个黄金三角形，SKIPIF1<0是顶角为SKIPIF1<0的第二个黄金三角形，SKIPIF1<0是顶角为SKIPIF1<0的第三个黄金三角形，SKIPIF1<0是顶角为SKIPIF1<0的第四个黄金三角形SKIPIF1<0，那么依次类推，第2023个黄金三角形的周长大约为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】第一个黄金三角形SKIPIF1<0的底为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得腰长SKIPIF1<0，记第SKIPIF1<0个黄金三角形的底边长为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，第SKIPIF1<0个黄金三角形的底边长为SKIPIF1<0，腰长为SKIPIF1<0，而第SKIPIF1<0个黄金三角形的底边长SKIPIF1<0为第SKIPIF1<0个黄金三角形的腰长，则SKIPIF1<0，因此，各个黄金三角形的底边长依次排成一列得数列SKIPIF1<0，是首项为2，公比为SKIPIF1<0的等比数列，第SKIPIF1<0个黄金三角形的底边长SKIPIF1<0，腰长为SKIPIF1<0，周长为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以第2023个黄金三角形的周长大约为SKIPIF1<0.故选：D【变式6-4】（2023·山东·统考一模）假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长SKIPIF1<0.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米.求：（1）截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计（以2023年为累计的第一年）为多少万平方米？（2）哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于SKIPIF1<0？【答案】（1）4750；（2）2028【解析】（1）设中、低价房面积构成数列SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0是等差数列，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以截止2032年底，预计该市所建中、低价房的累计面积为4750万平方米.（2）设新建住房面积构成数列SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0是等比数列，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得到：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增数列，而SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故满足上述不等式的最小正整数SKIPIF1<0，所以到2028年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于SKIPIF1<0.（建议用时：60分钟）1．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．1B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．2【答案】B【解析】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选:B.2．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在正项等比数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．1B．2C．3D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0为等比数列，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人第4天与第5天共走的里程数为（）A．24B．36C．42D．60【答案】B【解析】设第SKIPIF1<0天走的里程数为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由题意可知，数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以此人第4天与第5天共走里程数为SKIPIF1<0.故选：B.4．（2023·四川·高三校联考阶段练习）在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．48B．72C．96D．112【答案】B【解析】设等比数列SKIPIF1<0的公比为q，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.5．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈三中校考期末）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的比值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．3【答案】D【解析】SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在等式式两边同取倒数得，SKIPIF1<0，在两边同加SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列.则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的比值为SKIPIF1<0.故选：D.6．（2023·全国·模拟预测）设等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和是SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．13B．12C．6D．3【答案】A【解析】方法一因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.方法二因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.7．（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设甲：SKIPIF1<0；乙：SKIPIF1<0，则（）A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0