新高考数学二轮复习重难点2-5 利用导数研究零点与隐零点（7题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）

重难点2-5利用导数研究零点与隐零点导数综合问题中的零点问题在高考中常以解答压轴题的形式出现。主要包含函数零点个数判断与证明。主要考查：根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等，在高考中难度偏大。【题型1判断函数零点的个数】满分技巧1、判断函数零点个数的常用方法（1）直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图。函数零点的个数问题即是函数图象与SKIPIF1<0轴交点的个数问题．（2）分离出参数，转化为SKIPIF1<0，根据导数的知识求出函数SKIPIF1<0在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0图象交点的个数问题．只需要用a与函数SKIPIF1<0的极值和最值进行比较即可．2、处理函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图像的交点问题的常用方法（1）数形结合，即分别作出两函数的图像，观察交点情况；（2）将函数交点问题转化为方程SKIPIF1<0根的个数问题，也通过构造函数SKIPIF1<0，把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根的情况.【例1】（2023·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）SKIPIF1<0的零点的个数为（）A．0B．1C．2D．3【变式1-1】（2023·四川成都·高三成都列五中学校考期末）函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0的交点个数为.【变式1-2】（2024·云南德宏·高三统考期末）已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7【变式1-3】（2023·四川攀枝花·统考一模）已知定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零点个数为（）A．4B．5C．3或4D．4或5【题型2讨论证明函数零点的个数】满分技巧证明函数零点个数的方法与判断零点个数的方法相似，多在解答题中进行考察。利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。注意：单调性+零点存在=唯一零点【例2】（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0的零点是函数SKIPIF1<0的零点．（1）求实数a的值；（2）证明：SKIPIF1<0有唯一零点．【变式2-1】（2023·全国·高三校联考开学考试）已知函数SKIPIF1<0．（1）求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线；（2）若对任意SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，证明函数SKIPIF1<0存在两个零点．【变式2-2】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0单调增区间；（2）讨论SKIPIF1<0的零点个数．【变式2-3】（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极值点，求SKIPIF1<0；（2）讨论函数SKIPIF1<0的零点个数．【题型3根据函数零点个数求参数】满分技巧1、分离参数SKIPIF1<0后，将原问题转化为SKIPIF1<0的值域（最值）问题或转化为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。【例3】（2024·重庆·统考一模）（多选）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有两个不同零点的充分不必要条件可以是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式3-1】（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0有3个零点，则SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式3-2】（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0（1）求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程SKIPIF1<0（2）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恰有两个不同的零点，求实数SKIPIF1<0的取值范围【变式3-3】（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；（2）若SKIPIF1<0有且仅有1个零点，求SKIPIF1<0的取值范围.【题型4max、min函数的零点问题】【例4】（2022·江苏徐州·高三期末）设SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有且只有三个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式4-1】（2022·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数SKIPIF1<0.（1）若过点SKIPIF1<0可作SKIPIF1<0的两条切线，求SKIPIF1<0的值.（2）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0中的最小值，设函数SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0零点的个数.【变式4-2】（2022·福建龙岩·高三福建省龙岩第一中学校考期中）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（1）讨论函数SKIPIF1<0的单调性；（2）用SKIPIF1<0表示m，n的最大值，记SKIPIF1<0，讨论函数SKIPIF1<0的零点个数【变式4-3】（2023·四川南充·统考三模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为自然对数的底数.（1）当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的极值；（2）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的最大值，记函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，讨论函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零点个数.【题型5导数与三角函数的零点问题】满分技巧有关三角函数的零点问题处理主要手段有：（1）分段处理；（2）讨论好单调性与端点（特殊点），注意高阶函数的应用，直接能清楚判断所讨论区间的单调性；（3）关注有关三角函数不等式放缩，有时候可优化解题，避免繁杂的找点过程：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【例5】（2024·陕西·校联考一模）已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；（2）讨论SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的零点个数，【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（2）若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且仅有三个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0．【变式5-2】（2023·甘肃兰州·高三兰化一中校考期末）已知函数SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的单调区间;（2）当SKIPIF1<0时，试判断函数SKIPIF1<0零点的个数，并加以证明.【变式5-3】（2024·湖南邵阳·统考一模）已知函数SKIPIF1<0.（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）设SKIPIF1<0，求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恰有两个零点.【题型6不含参函数的“隐零点”问题】满分技巧1、不含参函数的“隐零点”问题的解策略：已知不含参函数SKIPIF1<0，导函数方程SKIPIF1<0的根存在，却无法求出，设方程SKIPIF1<0的根为SKIPIF1<0，则有：①关系式SKIPIF1<0成立；②注意确定SKIPIF1<0的合适范围.2、“虚设零点”的具体操作方法：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程SKIPIF1<0，并结合SKIPIF1<0的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；第二步：以零点为分界点，说明导函数SKIPIF1<0的正负，进而得到SKIPIF1<0的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；第三步：将零点方程SKIPIF1<0适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征）【例6】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；（2）记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数，若对SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【变式6-1】（2024·河北邢台·高三统考期末）已知函数SKIPIF1<0．（1）求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；（2）证明：SKIPIF1<0．【变式6-2】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；（2）当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，求整数SKIPIF1<0的最大值．【变式6-3】（2024·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若函数SKIPIF1<0只有一个零点，求实数SKIPIF1<0的取值所构成的集合；（2）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值域.【题型7含参函数的“隐零点”问题】满分技巧含参函数的“隐零点”问题解题策略：已知含参函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为参数，导函数方程SKIPIF1<0的根存在，却无法求出，设方程SKIPIF1<0的根为SKIPIF1<0，则有①有关系式SKIPIF1<0成立，该关系式给出了SKIPIF1<0的关系；②注意确定SKIPIF1<0的合适范围，往往和SKIPIF1<0的范围有关.【例7】（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为自然对数的底数）.（1）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程，（2）当SKIPIF1<0时，判断SKIPIF1<0是否存在极值，并说明理由；（3）SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【变式7-1】（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）讨论SKIPIF1<0的极值点的个数．【变式7-2】（2024·河南焦作·高三统考期末）（1）求函数SKIPIF1<0的极值；（2）若SKIPIF1<0，证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【变式7-3】（2024·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，讨论函数SKIPIF1<0的单调性；（2）当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0.（建议用时：60分钟）1．（2022·河南·高三校联考期末）若函数SKIPIF1<0恰好有两个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02．（2022·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03．（2024·广西·模拟预测）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2023·广东中山·高三校考阶段练习）设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPI