新高考数学二轮复习解答题培优练习专题03 平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）(典型题型归类训练)解析版

专题03平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：求二面角 2题型二：已知二面角求参数 10题型三：求二面角最值（范围） 18三、专项训练 24一、必备秘籍1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点SKIPIF1<0，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0称为二面角的平面角.2、二面角的范围：SKIPIF1<03、向量法求二面角平面角（1）如图①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的两个面内与棱SKIPIF1<0垂直的直线，则二面角的大小SKIPIF1<0．（2）如图②③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是二面角SKIPIF1<0的两个半平面SKIPIF1<0的法向量，则二面角的大小SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）二、典型题型题型一：求二面角1．（22·23下·河南·模拟预测）如图，直四棱柱SKIPIF1<0的底面是正方形，SKIPIF1<0，E，F分别为BC，SKIPIF1<0的中点.

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点G，连接FG，因为E，F分别为BC，SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四边形AEFG是平行四边形，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，SKIPIF1<0为z轴建立坐标系，如图所示，

设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0.2．（2023·江西南昌·模拟预测）如图，直三棱柱SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离；(2)设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的大小．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意知：SKIPIF1<0；设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.（2）取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0为直三棱柱，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0则以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0正方向为SKIPIF1<0轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0.3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使得点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，满足平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值的大小.【答案】(1)证明见详解(2)SKIPIF1<0【详解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内的两条相交直线，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）

如图，作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1），SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴，过点SKIPIF1<0垂直平面SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0.4．（2023·河北沧州·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和SKIPIF1<0个圆柱拼接而成.SKIPIF1<0在同一平面内，且SKIPIF1<0.

(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）如图，连接SKIPIF1<0，因为该几何体是由等高的半个圆柱和SKIPIF1<0个圆柱拼接而成，

SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）如图，以SKIPIF1<0为坐标原点建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，记直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去），即SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因此平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.5．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如图所示，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一动点．

(1)若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，证明：SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0内，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0两两垂直，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．

题型二：已知二面角求参数1．（2023·四川南充·三模）如图，在四棱台SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

(1)证明：BDSKIPIF1<0CC1；(2)棱SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0若存在，求线段SKIPIF1<0的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，SKIPIF1<0【详解】（1）证明:如图所示，连接SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0为棱台，所以SKIPIF1<0四点共面，又因为四边形SKIPIF1<0为菱形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）解：取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为底面SKIPIF1<0是菱形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是正三角形，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0假设点SKIPIF1<0存在，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0

设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又由平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0由于二面角SKIPIF1<0为锐角，则点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0.

2．（2023·吉林长春·一模）长方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点（如图1），将点SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0旋转至点SKIPIF1<0处，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（如图2）．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，当二面角SKIPIF1<0大小为SKIPIF1<0时，求四棱锥SKIPIF1<0的体积．【答案】(1)证明见详解(2)SKIPIF1<0【详解】（1）证明：在长方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）

如图，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0两两互相垂直，以SKIPIF1<0为坐标原点，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的靠近SKIPIF1<0的三等分点时，二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，又四边形SKIPIF1<0的面积为3，SKIPIF1<0四棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<03．（2023·福建宁德·一模）如图①在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到图②所示几何体．(1)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求四棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0；(2)在线段SKIPIF1<0上，是否存在一点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值为SKIPIF1<0，如果存在，求出SKIPIF1<0的值，如果不存在，说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0【详解】（1）由图①知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由图②知，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三者两两垂直，以点SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以此时SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.4．（2023·江西九江·一模）如图，直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0的位置，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点（端点除外），若二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由直角梯形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故以SKIPIF1<0所在的直线分别为SKIPIF1<0轴，建立如图空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，易知SKIPIF1<0，故线段SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0.5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0垂直于底面SKIPIF1<0.(2)当点E在BC边上移动，使二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，而底面SKIPIF1<0是矩形，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0;同理侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，而底面SKIPIF1<0是矩形，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0垂直于底面SKIPIF1<0（2）由（1）知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，点F是PB的中点，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即为二面角SKIPIF1<0的平面角，即SKIPIF1<0；而SKIPIF1<0,以A为坐标原点，以SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，

则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由原图可知二面角SKIPIF1<0为锐角，故二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0.题型三：求二面角最值（范围）1．（23·24高二上·山东·阶段练习）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的点，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0.

(1)证明：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0：(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）如图，连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，又易知，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，得到SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

（2）如图建立空间直角坐标系，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值的取值范围为SKIPIF1<0.

2．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0四点共面(2)当点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上运动时（包括端点），求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角余弦值的的取值范围.【答案】(1)证明见解析．(2)SKIPIF1<0．【详解】（1）分别以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，如图，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共面，即SKIPIF1<0四点共面；

（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角余弦值的的取值范围是SKIPIF1<0．3．（23·24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图（1），在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0沿直线AE折起，使得SKIPIF1<0，如图（2）.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)已知点H在线段AB上移动，设平面ADE与平面DHC所成的角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意证明如下，取线段AE的中点O，连接DO，OC，如图.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABCE，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面ABCE.（2）由题意及（1）得，建立空间直角坐标系如下图所示，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.易知平面ADE的一个法向量为SKIPIF1<0.设点H的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设平面DHC的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.4．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0､SKIPIF1<0的中点.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若点SKIPIF