新教材苏教版必修第二册11解三角形

第11章解三角形

11.1余弦定理

基础过关练

题组一已知两边及其夹角解三角形

1.（2021江苏江浦高级中学高一期中）在△Z6C中4年3,2企1,1=120。，则BC=

（）

A.V7B.V10C.V13

2.（2021江苏镇江中学高一月考）已知AZ比中，角力以。所对的边分别为a,b,c,若

a=10,Z^15,6^60°,则cos展（）

,V75V7V75V7

A.Dn.-----------

14141414

3.（2020江苏启东中学高一期中）在回中，除&力年仇&8是方程*-28牙+2=0的

两个根，且2cos（4+约=1,则边力£的长为（）

B.V10C.V5

4.在△力欧中，角4旦。所对的边分别为名仇c,已知a-2V3,c=V6+V2,^45。，解此三

角形.

深度解析

题组二已知三边（或三边关系）解三角形

5.在回中，角所对的边分别为名仇G且界8看+企附则角£的大小是

（）

6.边长分别为1,代,2a的三角形的最大角与最小角的和是（）

7.（2020江苏无锡羊尖高级中学学情检测）已知a、b、。分别为的内角4B、

。所对的边,若满足（齐止。）•（KZ^c）=a"则角。的大小为（）

OOOO

8.（2021江苏阜宁中学高一期中）等腰42%中，角力以。所对的边分别为a/,G如果

等腰回的周长是底边长的5倍,那么它的顶角。的余弦值为.

题组三已知两边及其一边的对角解三角形

9.设△板的内角4%的对边分别为a,b,c.若a=2,c-2何cos1=今且沃c,则b=

（）

A.V3V2

10.（2020江苏苏州高一期中）在△26。中，已知a=V7,c=3J=60。，则炉.

11.（2021江苏石榴高级中学高一月考）已知在△Z6C中，角力以。所对的边分别为

a,5,c,且l^V3,c=3,B=3Q。，解此三角形.

题组四利用余弦定理判断三角形的形状

12.（2021山东烟台一中高一期中）在中，若荏2一配2=荏•前，则△26。的形

状为（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形

13.（2020江苏泰州中学高一期中）在△力勿中,cos?畀等（a,仇c分别为角4%的对

边），则△力£。一定是（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

14.（2021江苏徐州七中高一月考）在AZa中，角4打。所对的边分别为a/,c,已知

a：6：c=2：4：5,则△力式的形状为.

题组五余弦定理的实际应用

15.（2021江苏三仓中学高一月考）某学校体育馆的“人”字形屋架为等腰三角形,如图,

测得Z£Mm,N/=30°,则其跨度力£的长为（）

C

AR

V3mV3m

16.（2020江苏武进高级中学期中）我舰在岛Z南偏西50°方向相距12nmile的B

处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向航行，若我舰以28nmile/h的速度用lh

追上敌舰，则敌舰的速度为nmile/h.

能力提升练

题组一利用余弦定理解三角形

1.（2021江苏启东中学高一月考,*：）若a,a+l,K2是锐角三角形的三边长，则a的取

值范围是（）

A.Ka<3B.a>lC.a>3D.0<a<l

2.（多选）（2020江苏江阴二中、要塞中学高一期中联考，嫡）在△47。

中,力展建,4年1,庐士则角力的可能取值为（）

6

A，2B.JC.§D.[

6332

3.（多选）（2021江苏泗阳中学高一月考，箱）在中，角力以。所对的边分别为

a/,c,若养4+尿,则角力可以为（）

A.—B.-

44

C.XD.«

123

4.（2020江苏响水中学高一阶段测试，姨）在回中，角4B、。所对的边分别为冬

b、c,且cos竿=g,a=3,g/7,则c的值为.

5.（2020江苏震泽中学高一学情检测,婚）已知三角形的三边长为三个连续自然数,

且最大角是钝角.求这个三角形三边的长.

题组二利用余弦定理判断三角形的形状

6.（2020江苏启东中学高一期中，箱）在△Z6C中，角力以。的对边分别为a,b,c若

警=也&,则该三角形一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

7.（2020江苏智贤高级中学阶段检测,"）已知△Z6C的内角力以。所对的边分别为

a,6,c,（a+加c）（a+6c）=3aS且2cosZsin庐sinC则△力是（深度解析）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

题组三余弦定理的综合应用

8.（2021江苏响水中学高一期中，母）在△Z6C中,4^9,//=60°，。点满足

丽=2丽,/氏后，则比的长为（）

V7V6V3

9.（多选）（2021江苏吴江中学高一月考,小）在式中，角4B、。所对的边分别为

a、b、c,则下列能确定。为锐角的有（）

k.AC•C5>0

B.a2+^2>c2

C.A£均为锐角，且sin给cos方

y4+tan^tan6>0

10.（2020江苏启东中学高二质量检测,箱）在△/回中，内角的对边分别为

且满足庐Hgcos庐设瓦？•前V则△Z6C三边a,b,c的长度分别

42

为.

11.（*0在△26。中,a/,c分别为角46,。的对边，且2sin*sine2sinZcosC

⑴求4

（2）若gAsinZ=4W,求a的取值范围.

12.（2020江苏宜兴第一中学阶段测试,*）△力%的三个内角力以。的对边分别是

a,仇°,且齐优Z?+c）,求证：Z=2£.

答案全解全析

第n章解三角形

H.1余弦定理

基础过关练

1.C由余弦定理得£d=Zd+Z4一AB-COSJ=9+1-2X3X1X(-1

：.B(=^3.故选C.

2.A由余弦定理得[2=4+方2_2a6cos用100+225-2X10X15X9175,

J67=5V7,

.2_。2+42一庐__100+。75—225—V7

**2ac2x10x57714*

故选A.

3.B由题意得卜+b=2g,

vab=2,

VcosC=cos[n_(A+m]

=-cos(/+功=],

4^=3?+9-2aseos△aN+Aa归a+6)2-a归275)2-2=10,

：.AB=y[w.

4.解析/j=a+c-2accosB

=(2V3)2+(V6+V2)-2X2V3X(V6+V2)Xcos45°

=12+(V6+V2)-4V3X(V3+1)=8,

b=2短.

\'cosA=^^

2bc

二(2夜)2+(通+鱼)2一(2百)2二1

2x2V2x(V6+V2)2J

：.A=60°,：.(=75O.

解题模板

已知两边及其夹角解三角形时，可先用余弦定理建立关于第三边的方程，求第三边,

再运用余弦定理的另一种形式求其他的角.

5.Aa-l)-c^y[2ac,/.

由余弦定理得C0S企，c2工二变二停

2ac2ac2

(0,JI),.*.5=45°.故选A.

6.C由题意可得，边长为西的边对的角不是最大角，也不是最小角，

设边长为代的边所对的角为。，则由余弦定理可得cos。总鬻考,...”45°,

故三角形的最大角与最小角的和是180°-45°=135

7.C•.,(a+6c)(a+Z?+c)=aS,

...a2+ZM=_a6,即^^=总

/.cos^-1,/.0=120°.

8.答案oZ

解析设周长为1,由题意可知l=5c,所以a=b=2c,

由余弦定理得COS"2丈"=4;2*4c2K

2ab2x2cx2c8

9.B由余弦定理得于可+仅⑸2乂方利四乂景即人6出8=0,解得b=2或炉4,

因为伏所以b=2.

10.答案1或2

解析由a2=9+c2_26ccos4得7=%9-66X；,所以为3出2=0,解得炉1或b=2.

11.解析由庐才+[2-2&g05£,可得(旬2=]+32-2)<3*3*(：0530°,

所以，-3ga+6=0,解得a=g或a=2V3.

当a=V5时,a=6,所以A=^=30,(^=120；

当a=2VMcosZ更妒啜装=0,所以4=90°Q60°.

12.D设在中，内角4耳。的对边分别为a/,c.

因为帚-就J方.元所以c-a-bccQS^bc•笔"匕简相六界6,

所以△力欧是直角三角形.故选D.

13.B•.•cos2g=叱,，2cos22=Q,R[]1+cos庐比,，1+^^=出，整理得^+斤二力

22c2cc2acc

.,.△Z6C为直角三角形.

14.答案钝角三角形

解析因为a：8：c=2：4：5,所以可令a=2k,K4k,c=bk[k>0).

则角C最大,cost*吟劈2：；(5贮=-登0,所以C为钝角，所以△四。为钝角三角形.

ZXZ/CX4/CJ.O

15.答案D

信息提取①在等腰三角形相。中乙4=30°；②三角形中已知两边及其中一

边的对角，求另一边.

数学建模以生活中的“人”字形屋架为背景,构建数学模型，求解三角形中的边长问

题.根据等腰三角形的性质及余弦定理求力£的长即可.

解析因为△26。是等腰三角形，所以B(=A(=4m,ZB=ZA=30。，所以NSd20°,

由余弦定理得，力尻山2+42-2X4X4xCOS120。=4g(m).故选D.

16.答案20

解析设敌舰的速度为Himile/h,我舰在。处追上敌舰，如图，由题意得N

BAC=120,J^=12nmile,J^KXl=y(nmile),^^28Xl=28(nmile),

在AABC中，由余弦定理得BG=AE+AG-2AB•Z&osN掰伐12?+落

2X12XPXCOS120°=784,解得420(尸-32舍去)，即敌舰的速度为20nmile/h.

C[北

/\10°

H

能力提升练

1.C因为三角形是锐角三角形,所以最大边长a+2对应的角为锐角，设该角为。，

所以cos吃:'+2/>o,即#_2廿3>0,解得a>3或a<-l,

又a>0,所以a>3.

故选C.

2.AD由余弦定理相AG=BG+Bh2BC・BA•cos^%+3-2£CXKX堂1,解得BOI

或给2.

当BOX时,/田式;为等腰三角形，所以上展三O；

当BO2时，初+—=£自此时△力比为直角三角形，所以Z带.

综上，角力的可能取值为名或全

3.BC由余弦定理得a^l)+c-2bccosA,

又a=l}+bc,lf+bc=l)+c-2bccosA,

整理彳导cos^g.

对于A,若/笔则cos/=S=-今则c=(l-仞仅0,故A错误；

对于B,若有,则cos/=新争则c=(l+仞6>0,故B正确；

对于C,若/专，则cosZ=1J=誓则。=^^〉0,故C正确；

对于D,若/=g,则cosZ=1^=W，则c=。，故D错误.

故选BC.

4.答案1或2

解析在△26。中,Z+6+en,

cos—=cos—=sin-=i,

2222'

由bJ/+02-2Hccos打得。2-36?+2=0,解得或c-2.

5.解析设三角形三边的长分别为〃最大角为a

222

•ccgzy-n4-(n+l)-(n+2)

a是钝角,/.COSQ<0,

•n2+(n+l)2-(n+2)2/n

**2n(n+l)3

,.,27?(??+1)>0,

772+(/7+1)2-(7?+2)2<0,

.,.772-27^3<0,/.-l<77<3.

VzzGN*.*./?=1或n=2.

当n=\时,1,2,3不能构成三角形的三边，故舍去.当n=2时，符合题意.

故2,3,4即为所求三边的长.

636鬻*，acos£切。

由余弦定理可得axRbX*，整理可得/啰+l2_a2户夕①

V1=V2,：.甘:2甘②

由①②得l2=3养才+左

该三角形是直角三角形.

7.D由(a+Z?+c)(a+Z?-c)=3a6得a+l)-c=ab,

由余弦定理得COS"2；二二黑片,

2ab2ab2

又0〈伏兀，所以△小

因为2cos/sia5=sinC所以2cos/sio5=sin(/+功=sin/cosHcos/sin用

贝ijsin/cos6cosAsin企0,

即sin(/-5)=0,

又0T筲,0〈水祟所以-半小6管，所以/-庐0,即A=B,

故△/欧为等边三角形.

归纳总结

在判断三角形形状时注意以下结论的应用：

222

△A8C为直角三角形或^=a+c或c=a+t)',

△力回为锐角三角形04+62〉02且毋+1^且/+且2〉代

△N6C为钝角三角形<=>才+欣(？或sz+cta2或c+a2<^2.

8.A因为方=2方，

所iikAD=AB+BD=AB+^BC=AB+^(AC-AB)~AB+^AC,

设力忙x,贝lj而2=G荏+』就了即37=i/+iXjrX9Xcos60。+、X9；

即2V+9k126=0,解得产6或产-?，

因为x〉0,所以产6,

即AB=6,

所以BC=y]AB2+AC2-2AB-71Ccos60o=^62+92-2X6X9x1=3V7.

故选A.

9.BCD对于A,就•话=-3•有=-磊|T利cosOO,可得cosCO,则。为钝角，故A

不满足条件；

对于B,由余弦定理可得cos6^*〉0,则C为锐角，故B满足条件；

对于为锐角,.£也为锐角，

〈sin给cos展si噜⑹,且函数户sinx在(o,习上单调递增4台£均在(0,?

内,.•.啰-旦则A+B>1，Ji-(4+功《，故C满足条件;

对于D,若△力%为直角三角形，则tan/、tanHtan。中有一个无意义,不符合题意,

•.,/+班小几，，/+后冗-C

・'・tan(Z+5=tan(兀一6)二一tanC

由tan(4+0二：；煞；：；；得tanJ+1an^=tan(^4+5)(1-1anJtan5),

/.tari24+tan^tanC=tan(J+j5)(l-tanJtan^+tanC=tan62-tan6(l-

tanJtan5)=tanJ•tan^tan6>0,

由于△力比中至少有两个锐角，则tan/、tan8tan。中至少有两个正数，

故tan/、tan反tan。均为正数,从而知。为锐角，故D满足条件.

故选BCD.

10.答案1,企,2或2,企,1

解析