自然对数函数

Chapter4

指數函數與對數函數課程內容指數函數對數函數對數函數的導數指數函數的導數經濟學上的兩個應用：相對變化率與需求彈性指數成長與衰退學習目標指數函數與對數函數的意義及其圖形如何求指數函數與對數函數的導數指數函數與對數函數在經濟學上的應用

瞭解成長與衰退的指數模型指數函數本章，將介紹兩類重要函數，即指數函數

(exponentialfunction)與對數函數

(logarithmicfunction)，進而探討這些函數的特性，導數以及在經濟學和其他領域上的應用。定義4-1:設

a>0且a

1，則f(x)=ax

稱為以a

為底

(base)的指數函數，其中x

稱為指數

(exponent)。4-1指數函數描繪指數函數圖形描繪f(x)=2x

之圖形。描繪之圖形。4-1指數函數指數函數之性質及圖形定理4-1:設f(x)=ax為指數函數，則(a)f(x)之定義域為(-

,

)。(b)f(x)之值域為(0,

)。(c)f(x)之

y

截距為f(0)=a0=1，但無x

截距。(d)f(x)為連續函數。(e)若a>1，則f(x)為遞增函數，，

，其圖形如左圖所示。(f)若0<a<1，則f(x)為遞減函數，，，其圖形如右圖所示。4-1指數函數最典型的指數函數的例子，即所謂的複利

(compoundedinterest)問題。假設我們將本金

(principal)P0

元存到某家銀行，銀行的存款利率

(interest)為r(例如r

為8%)且每年複利一次，試問n

年後本利和為多少？複利問題解:設P(n)表示n

年後的本利和，則顯然地一年後的本利和為

4-1指數函數二年後之本利和為

依此類推，我們得到n

年後之本利和為複利問題銀行的利率通常以年利率為準，但是有些銀行可能依顧客的需求而每半年複利一次，即每年複利二次；每季複利一次，即每年複利四次；每月複利一次，即每年複利十二次。假設將本金P0存放於銀行，年利率為r且每年複利k次，即每365/k

天複利一次。在這種情況下，每次複利之利率為r/k

而一年後之本利和為n

年後之本利和為4-1指數函數4-1指數函數求本利和將1000元存放於銀行，年利率為6%且每年複利一次，試問5年後之本利和為多少？將1000元存放於銀行且銀行之年利率為8%。(a)每年複利一次，試問2年後之本利和為多少？(b)每半年複利一次，試問2年後之本利和為多少？(c)每季複利一次，試問2年後之本利和為多少？(d)每個月複利一次，試問2年之本利和為多少？現值在上述的論述中，我們得到其中P(n)為

n

年後的本利和，屬於未來的價值。現在我們逆向思考，假設n

年後，我們可拿回本利和P(n)，那麼P0

即所謂的現值(presentvalue)。因此，現值求現值:某家銀行年利率為6%且每半年複利一次，求4年後10000元之現值為何？4-1指數函數求折價一部價值36000元之個人電腦，每年的折價率為20%，試問這部電腦3年後價值多少？4-1指數函數解:如同在複利的情況，我們可將折價率視為-0.2，因此，3年後電腦之折價為36000(1-0.2)3=36000(0.8)3=18432

元。複利的次數趨近於無窮大時若銀行每年複利的次數頻率趨近於無窮大時，則n年後之本利和應該為令是否存在？4-1指數函數自然指數定義4-2:

稱為自然指數(naturalexponent)。定義4-3:連續複利(continuouslycompoundedinterest)

將本金P0

元存於年利率r的銀行裡，在連續複利之下，t

年後之本利和為P(t)=P0ert。定義4-4:連續複利之現值銀行之年利率為

r，連續複利，t

年後P

元其現值為P0=Pe-rt。4-1指數函數求連續複利之現值銀行之年利率為6%，在連續複利之下，10年後之5000元其現值為多少？連續複利求連續複利之本利和將1000元存放於年利率8%之銀行裡，連續複利，2年後之本利和為多少？4-1指數函數自然指數函數定義4-5:y=ex

稱為自然指數函數(naturalexponentialfunction)。4-1指數函數自然指數函數之圖形若k>0，則y=ekx

之圖形如左圖所示，y=e-kx

之圖形如右圖所示。4-1指數函數隨堂演練4-11.描繪

y=3x

與

y=3-x

之圖形。2.將1000元存放在年利率8%之銀行裡，求下列各種情況下，10年後之本利和。a.每年複利一次。b.每季複利一次。c.每月複利一次。d.連續複利。3.在漲跌幅7%的台北股票市場，某一支股票，每股以50元上市交易，連續漲停10個交易日，求第10個交易日之收盤價。4.求極限5.描繪函數

y=2+ex

與y=2+e-x

之圖形。4-1指數函數對數函數定義4-5:設a>0且a

1。若ay=x，則y

稱為以a

為底

(base)x

之對數

(logarithm)，通常表示成y=loga

x且y稱為以a

為底之對數函數(logarithmicfunction)。求對數求log28。求。4-2對數函數對數函數之性質及圖形定理4-2:

設f(x)=loga

x

為對數函數，則(a)f(x)之定義域為(0,

)。

(b)f(x)之值域為(-

,

)。(c)f(x)之x截距為1，即loga

1=0，但無y截距。(d)f(x)為連續函數。(e)對任意

x>1，；對任意數y，。(f)若a>1，則f(x)為遞增函數，，

且其圖形如左圖。(g)若0<a<1，則f(x)為遞減函數，，且其圖形如右圖。4-2對數函數對數的基本運算法則對數的基本運算法則:函數的化簡化簡f(x)=log2x7-log2x5

。4-2對數函數常用對數函數、自然對數函數定義4-6:y=log10

x

稱為常用對數函數

(commonlogarithmicfunction)，通常表示成y=logx，即y=logx

若且唯若10y=x。定義4-7:y=loge

x

稱為自然對數函數，通常表示成y=ln

x，即y=ln

x

若且唯若ey

=x

。求對數求log1000。求log0.001。求ln

e8。求ln

e-0.2。4-2對數函數解方程式求105x=2之解。求3e2x=18之解。求102x-2(10x)-3=0之解。4-2對數函數變底公式變底公式(changebaseformula)：求對數求log210。4-2對數函數求雙倍期(doublingtime)將本金P0

存放於年利率為6%之銀行，每年複利一次，試問幾年後其本利和為本金之兩倍？將本金P0存放於年利率為8%之銀行，連續複利，試問幾年後其本利和為本金之兩倍？4-2對數函數對數函數的應用求學習時間某人練習中文打字，練習到第

t

週時，此人每分鐘可打f(t)=20(1-e-0.5t)個中文字，試問此人練習幾天以後，每分鐘可以打5個中文字？訊息之傳播某一重大訊息經媒體報導，在t小時以後，得到這個訊息之比率為f(t)=1-e-0.4t，試問多久以後80%的人都接收到這個訊息？4-2對數函數隨堂演練4-21.求log4

64與

log

0.001。2.化簡

log2

x(x+1)-log2

(x+1)2。3.求

22x=16與

9x

-6(3x)+9=0之解。4.

將一筆錢存放在年利率10%之銀行裡，連續複利，試問幾年後其本利和為本金之2倍？5.

描繪

y=ln

(2x)與

之圖形。4-2對數函數對數函數的導數定理4-3:設

f(x)=ln

x，則f(x)為可微函數且，即。定理4-4:若u(x)為正值可微函數，則f(x)=ln

u(x)為可微且

，即。定理4-5:loga

x

為可微函數且。若u(x)為可微的正值函數，則loga

u(x)為可微且。4-3對數函數的導數對數函數的導數求ln(x2+x+1)之導數。求y=ln

x

在x=1之切線方程式。判別y=ln

x

圖形之凹性。求ln(1.1)之線性近似。求f(x)=ln(x2+1)10之導數。4-3對數函數的導數對數函數的導數(a)求f(x)=log3

x

之導數。

(b)求g(x)=log3(x4+1)之導數。求f(x)=(x2+1)ln(x2+8)。求之導數設x>0，f(x)=xx，求f'(x)。4-3對數函數的導數隨堂演練4-31.求下列函數之導數：2.利用對數微分法求下列函數之導數：3.求

ln

(0.9)與

ln

(1.01)之線性近似。4.求

y=x+ln

x

在

x=e

之切線方程式。5.描繪

y=x+ln

x

之圖形。4-3對數函數的導數指數函數的導數定理4-6:設f(x)=ex，則f(x)為可微函數且f'(x)=ex

，即。定理4-7:

若u(x)為可微函數，則eu(x)

亦為可微函數且定理4-8:設a>0，a

1。則ax

為可微函數且若u(x)為可微，則au(x)

亦為可微且4-4指數函數的導數指數函數的導數求之導數。求y=ex

在x=0之切線方程式。判別y=ex

圖形之凹性。求e0.01

之線性近似。4-4指數函數的導數指數函數的導數(a)求f(x)=2x

之導數。

(b)求之導數。求(a)(b)求之相對極值。4-4指數函數的導數隨堂演練4-41.求下列函數之導數：2.

求之相對極值並描繪其圖形。3.

求

之線性近似。4.

某公司經銷某種商品，其需求函數為x=D(p)=500e-0.2p。求收入函數

R(p)與邊際收入函數

R'(p)。5.

證明函數

為遞增函數並描繪其圖形。4-4指數函數的導數經濟學上的應用定義4-7:

相對變化率(relativerateofchange)

設f(t)為可微函數且f(t)

0，則f(t)之相對變化率為。求相對變化率郵局之存款由公元2000年起預估總額為(其中t以年為單位)，試問16年後郵局存款總額之相對變化率為何？某公司在t

年時其負債總額為(萬元)，試問該公司在第8年時其負債之相對變化率為何？4-5經濟學上的兩個應用需求彈性假設

x=D(p)為一需求函數，需求量之相對變化率為且售價之相對變化率為。因此，定義4-8:設x=D(p)為需求函數，則需求彈性為若E(p)>1，則需求具彈性

(elastic)。若E(p)<1，則需求不具彈性

(inelastic)。若E(p)=1，則需求為單位彈性

(unitelasticity)。4-5經濟學上的兩個應用設x=D(p)=20-

p2

為需求函數，求p=2和p=4之需求彈性，並作適當之解釋。需求彈性解:

所以，E(2)=8/16=1/2=0.5，即當p=2時，需求不具彈性；E(4)=32/(20-16)=8，即當p=4時，需求具彈性。4-5經濟學上的兩個應用在p=2時，1%單位售價之變化只引起0.5%需求量之變化。E(4)=8表示在p=4時，1%單位售價之變化引起8%需求量之變化。某家早餐店老闆估計每天三明治的需求函數為D(p)=60-p，求三明治之售價p=10元時之需求彈性。需求彈性解:

所以，E(10)=10/50=0.2，故在p=10時，需求不具彈性，即當售價為10元時，1%之售價變化只引起0.2%之需求量變化。4-5經濟學上的兩個應用需求彈性的功能需求彈性的功能是用來決定當單位售價為p

時，為了增加總收入，我們應該提高或降低單位售價的策略。設x=D(p)為一需求函數，則總收入為R=px

=pD(p)。當E(p)<1時，即需求不具彈性，R'(p)>0，所以提高售價可以增加總收入。當E(p)>1時，即需求具彈性，R'(p)<0，所以降低售價可以增加總收入。當E(p)=1時，即需求為單位彈性，R'(p)=0，此時總收入為最大。4-5經濟學上的兩個應用隨堂演練4-51.求下列函數之相對變化率函數：2.

求下列函數在指定

t

時之相對變化率：3.求下列函數在指定

p

時之需求彈性：4.若商店販售某種商品，其需求函數為

D(p)=200-10p，試問

p

為多少時，其需求為單位彈性：5.設需求函數為

x=5e-2p，證明需求彈性為價格的2倍。4-5經濟學上的兩個應用指數成長與衰退在自然科學及社會科學裡，某些函數N(t)的變化常常遵循以下法則：N(t)在時間t的變化率與在t時的量N(t)成比率，即N'(t)=kN(t)，k為比率常數。連續複利的問題，族群的成長，細菌的培養和放射性物質的衰變等都屬於這種現象。以複利的問題來印證，設將P0

元存放於年利率為r

之銀行裡，在連續複利之下，t

年後之本利和為P(t)=P0ert。因此，P'(t)=P0rert

=rP(t)。4-6指數成長與衰退指數成長與衰退假設某個函數N(t)滿足N'(t)=kN(t)，那麼，N(t)=？從複利的例子中，可猜測N(t)=N0ekt，N0=N(0)為一常數。事實上這是正確的，至於如何求得，我們將其留到第十章討論微分方程式時再加以探討。在N