人教A版（2019）选修第二册第四章第二节课时2等差数列的前n项和公式一（含解析）

人教A版（2019）选修第二册第四章第二节课时2等

差数列的前n项和公式（1）

一、单选题

1.函数〃X）在定义域R内可导，若〃x）=〃2-x）且（x-l）r（x）<（），若a=〃0），

b=c=/（3）,则“，b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.a>c>b

2.已知公差不为0的等差数列｛凡｝满足则（)

A.。6=。B.。7=°C.S[2=0D-S]3=0

3.已知等差数列｛4｝的各项都为整数，且4=-5,%%=-1，则闻+|%|+…+%卜

A.70B.58C.51D.40

4.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S〃，S7=14,《-=28（〃>7）,S〃=225,则〃=

（）

A.8B.9C.15D.17

5.已知等差数列｛4｝的前〃项和是S“，公差△不等于零，若生，%，〃6成等比数列，则

A.4d>0,公3>0B.cixd>0,dS3<0

C.ciyd<0,dS3>0D.qd<0,dS3Vo

6.设S〃是等差数列｛4｝(〃e")的前几项和，且4=1,S4=16,则%=

()

A.7B.10C.13D.16

7.设等差数列｛6｝的前〃项和为S〃，公差d=l,且$6-§2=10,则%+4=

()

A.2B.3C.4D.5

二、多选题

8.已知数列｛叫的前”项和为S“=33〃-〃2,则()

A.%=34-2〃B.。“>0时，〃的最大值为17

C.同+|闻+…+|4|=272D.同+同+…+底|=450

9.等差数列｛4｝的前"项和为S“，且S,,=4,Sm=-(m,“eN*,加二〃)，则下

mn

列各值中不可能是“的为()

A.3B.4C.5D.6

10.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,若％=31,与=210,则()

A.若b“=(-l)"q,则数列出｝的前2020项和为4040B.数列｛*｝是公比为8的等

比数列

D.若优=」一，则数列也“｝的前2020

C.S19=19〃9

44+1

2020

项和为

24249

三、填空题

11.在等差数列｛an｝中，=120,那么/+%的值是

12.等差数列数“｝的前”项和为和,且其=4,S4=16,数列等“｝满足I=4+4",

则数列仍“｝的前9和4=

13.已知数列｛4｝满足：q=l,a„=2an_t+2"-'(n>2,neN),则为=

四、解答题

14.已知等差数列｛为｝的前〃项和为S“，且G=5,九=225.

(I)求数列｛。,,｝的通项4；

(II)设2=3册+2〃，求数列也｝的前“项和却

15.已知各项均为正数的两个数列伍,,｝,也｝满足-2-1=d+2。,,，

2a,,=log,hn+log2b“u+1,且q=々=1.

(1)求证：数列｛",J为等差数列；

(2)求数列｛4｝的通项公式；

(3)设数列0｝,｛[｝的前n项和分别为S,,,却求使得等式：2sBi+4-36=7；成立的有

序数对⑺,，•)(，〃,ieN*).

16.已知等差数列｛4｝的公差不为0,前〃项和为S,,55=25,*,$2,S,成等比数歹IJ.

(1)求。〃与s〃；

(2)设,求证：4+4+4+…+2<1.

3〃3”+1

17.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,,q=1,S4=452.

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(2)若。,—+/+2+・“+,9=180(mwN*),求机的值.

+,

18.设等比数列｛«„｝的前n项和为S,、=2"-2；数列仍“｝满足6/-^+3b„)n+2bn=0

(feR,«eM).

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

(2)①试确定，的值，使得数列｛〃,｝为等差数列；②在①结论下，若对每个正整数

k,在4与4+i之间插入仇个2,符到一个数列｛%｝.设I是数列｛%｝的前〃项和，试

求满足乙=2clM的所有正整数机.

19.对于无穷数列｛4｝,也｝,若a=max｛q,42,…4｝-min｛4，%,…&｝

(1=1,2,3,…),则称他,｝是｛叫的“伴随数列”.其中,max｛《,%...%｝,

疝乂卬叼,…4｝分别表示中的最大数和最小数.已知｛4｝为无穷数列，其前

〃项和为为，数列｛〃｝是｛4｝的“伴随数列”.

⑴若4=〃+2022,求低｝的前"项和;

(2)证明：(=0且如他;

⑶若sz+.r=当以+当为1卬)，求所有满足该条件的

｛4｝•

参考答案:

I.c

【解析】

【分析】

确定函数关于X=1对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案.

【详解】

/(x)=/(2-x),即“x+l)=/(l—x),函数关于x=I对称，

当彳>1时，(x-i)r(x)<o,即r(x)<o,函数单调递减；

当x<l时，(x-l)r(x)<0,EP,f(x)>0,函数单调递增.

a=/(O)=〃2),力==c=/'⑶，故b>a>c.

故选：C.

【点睛】

本题考查了利用函数的单调性和对称性判断函数值的大小关系，意在考查学生对于函数性

质的综合应用能力.

2.C

【解析】

【分析】

由条件利用等差中项化简，再根据等差数列的性质及等差数列的求和公式即可求解.

【详解】

•••"；+4=片+《，

%—ag+45—综=0,

2d(%+a5)+2d(ai+a6)=0,又d#0,%+as=a6+a7

2(%+%)=。，

.5=12(4+%)12(4+田)二0

"l2"2-2一，

故选：C

【点睛】

关键点点睛：根据等差数列的性质机+〃=p+时，+4=<+%化简是解

答案第1页，共14页

题的关键，属于中档题.

3.B

【解析】

【详解】

设等差数列｛4｝的公差为d,由各项都为整数得deZ,

因为“=-5,所以/为=（-5+24）（-5+34）=-1,化简得6/-25d+26=0,解得d=2或

13

d=—（舍去），

6

所以%=2〃-7

所以同+同+…+%|=5+3+1+1+3+…+13=9+"I；"=58.

故选B.

4.C

【解析】

【分析】

利用等差数列的性质化简已知条件，由此列方程，通过通过解方程求得〃的值.

【详解】

因为跖=7%=14,所以%=2,又s“=〃（q+%）="（%+%）=225,

22

*=28（〃>7）,所以15〃=225,解得〃=15.故选C.

【点睛】

本题考查等差数列的性质与前”项和的计算，考查运算求解能力.属于中档题.

5.C

【解析】

【分析】

由%，小，4成等比数列.可得。32=4&，利用等差数列的通项公式可得

（4+24）2=（《+d）（4+54）,解出4d<0,2q+d=0.即可.

【详解】

由生吗,&成等比数列.可得，

答案第2页，共14页

可得(4+2d)2=3+d)(q+5”),

即2qd+/=0,•.♦公差〃不等于零，

/.+6?=0.

2

dS3=d(3q+3d)=|^>0.

故选C.

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题.

6.C

【解析】

由题建立关系求出公差，即可求解.

【详解】

设等差数列｛%｝的公差为d,

*.*<2|=1,=]6,

S4-4at+6d=4+6d=16,:.d=2,

“7=4+6d=13.

故选：C

7.B

【解析】

根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果.

【详解】

因为S“为等差数列｛4｝的前〃项和，公差d=l,S6-S2=10,

所以"+“s+q+4=(%+24+4+24)+%+%=2(%+4)+4=10,

解得的+4=3・

故选：B.

8.AC

【解析】

答案第3页，共14页

【分析】

根据数列的求和公式可得通项公式，可判断A8,根据求和公式和分类讨论即可求出含绝对

值的前”项和.

【详解】

2

4=£=33-1=32,an=Sn-Sn_l=33n-n-33(n-l)+(/?-1)-=34-2n(n>2),经验证对

于〃=1也成立，所以勺=34-2”，故A正确；

当〃<17时，«„>0,当〃=17时。“=0,当〃>17时，a„<0,所以%>0时，”的最大值

为16,故B错误；

因为当“<17时，>0,所以同+同+…+院|=&=33x16-162=272,故C正确；

a—a

同+同*1---=九+(i7i8--------%>)=2S|6—SX=2x272-(33x30-30~)=454,故D

错误，

故选：AC.

9.AB

【解析】

【分析】

根据等差数列求和公式的函数特征，设S“=A/+8〃(ABeR),由题中条件，求出A.B,

再利用基本不等式，即可求出结果.

【详解】

因为等差数列｛凡｝的前〃项和S.，所以可设S,=A*+即(4,8wR),

因为5“=二，

m/

1

SC〃=AAn~2+Bn-—〃An+B=一「

所以加,即一:,解得•mn,

S=Am+Bm=一Am+B=—8=0

mnn

222

g、i°A/\2nr+n+linnm+n,2mn..

所以S”+“=A(m+n)=------------=-------+2>----+2=4,

nmmnmn

当且仅当机=几时等号成立，

又初工〃，所以等号不能取得，

因此S,』>4.

答案第4页，共14页

故选：AB.

10.AD

【解析】

【分析】

由分组求和可判断A;由等比数列的定义可判断B；由等差数列的性质可判断C；由裂项相

消可判断D

【详解】

等差数列也｝的前”项和为S,,,若％=31,几=210,

..['为+7"=31

设4的公差为d，则有＜\'...,6

[Ro=1n0q+45d=210

解得4=3,d=4,故“〃=4九一1,

若“=（一1）""”=（一1）”（4〃一1）,

则｛2｝的前2020项京so=-3+7-11+15-…+8079=4x1010=4040,故A正确；

由%=4〃-1,得2%=28n-'，

令%=2.，贝IJ当"22时，7Y=^£H=28,

则数列｛23｝是公比为展的等比数列，故B错误；

由等差数列的性质可知几=3+%＞19=（%。+7、19=]网0,故c错误；

若“（4"1；4"+3）+击-焉），则色｝的前2020项和

G20=WIJ_I+1_TT+…+柿一菽J=两,故D正确，

故选：AD.

11.24

【解析】

【分析】

应用等差数列的性质计算即可.

【详解】

在等差数列｛an｝中，品＞=120,..%=10（〃；4。）=5（%+&）=120,

答案第5页，共14页

。3+%=24,

即答案为24.

【点睛】

本题考查等差数列性质的应用，属基础题.

12.180

【解析】

【详解】

设等差数列｛%｝的公差为d,因为仇=4+。,出，所以%产可，两式相减

b„+l-b„=a„+l+an+2-ai-an+l=2d,为常数，所以数列｛仇｝也为等差数列.因为｛叫为等

差数列，且$2=4,5,=16,所以4=4+%=52=4也=43+4=&一邑=12,所以等差数

列色｝的公差2d=与4=4,所以前〃项和公式为7>4〃+国二以x4=2/+2〃，所

22

以4=2x92+2x9=180,故答案为180.

13.n-2"-'

【解析】

【分析】

由题设可得墨=^+g，结合题设易知申是首项、公差均为g的等差数列，进而写出

。”的通项公式.

【详解】

由题设，•=符+:(〃*2),即符=；(在2),而首；，

•••｛・•｝是首项、公差均为!的等差数列，即*=；+；(〃-1)=/

/.4,=〃-2"T.

故答案为：〃.2"T

33

14.(1)4=2”-1；(2)--9n+n(/7+l)--,

88

【解析】

【分析】

答案第6页，共14页

q+2d=5

(1)设等差数列｛4｝首项为4,公差为“，由＜15x14,求得首项与公差，

I\C5a,+--------d=225

12

从而可得结果；(2)b„=y-+2n=32'-'+2n=^-9"+2n,利用分组求和法，结合等差数列

求和公式以及等比数列求和公式，从而可得结果.

【详解】

4+2d=5

(1)设等差数列｛为｝首项为q,公差为“，由题得15x14,

15氏+------a=225

2

解得匕=2〃-1；

\a=2

(2)b=3^'4-2n=32/,_,+2z?=--9rt+2H,

〃3

\Tn=4+4+.・・+2=；(9+92+93+・・.+9")+2(1+2+3+.・・+〃)

i9(1-9")37

31-9v78v78

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式以及等比数列的通项与求和公式，利用“分组

求和法”求数列前“项和，属于中档题.利用“分组求和法”求数列前〃项和常见类型有两

种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加

减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比

数列求和后再相加减.

15.(1)证明见解析(2)bn=2"-'(3)(9,6)

【解析】

(1)根据递推关系可得■产(%+1)2,从而得到数列｛%｝是等差数列;

(2)分别求出数列出,｝的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列｛〃,｝的通项公式;

(3)求出S“，T„,代入2S,“+*-36=7；中，则存在sjeM,使得2、=加+7,

2'=根一5,从而2'—2'=12,再证明5不成立，从而得到s=4,机=9,1=6.

【详解】

⑴由%2-l=a；+2a“,

答案第7页，共14页

即4、=*+2”,,+1=(%+1)二

因为数列｛%｝各项均为正数，所以。的=。“+1,即。=

故数列｛4｝是公差为1的等差数列.

(2)由(1)及4=1知.

2nl

由2%=log2b„+log2bn+l+1,得bnbn+i=2~.

所以黑瓦+2=22n+l,上面两式相除得筝=4,

所以数列｛"｝的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列.

2T(2t

由仇=1及b„bn+]=2'-'知a=2,所以k=1x4“=2-'»-',b2k=2x4*-'=2"T(kwN*),

所以〃=2"T.

综上，数列｛仇｝的通项公式为4=2"-'.

(3)由(1)和(2)知S"="电，7；=上2=2"—1.

21一2

()

由2S„,+a,,,-36=7；,f#2xW1^/W+/n-36=2i-l,即(〃I+7)("L5)=2’.

则必存在s/eN*,使得2'=m+7，21=m-5,从而仔-2'=12.

若s..5,则2,=2*-12..20,故J5.

又因为s>f,所以为一2'感加一2'=2'32.

这与2'_2'=12矛盾，所以s,,4.由于2'-2=12，则只能s=4,t=2

止匕时，〃=9,i=6.

满足题意数对为(9,6).

【点睛】

关键点点睛：通过递推关系的变形化简证明数列为等差等比数列，要注意变形的方向性，

*=4这种类型的递推关系，注意要分奇偶项分析，探索性问题要注意利用问题的特殊

化，特殊性，提供方向.

16.(1)an=2n-\,Sn=n-(2)见解析

【解析】

【详解】

答案第8页，共14页

试题分析：(1)设等差数列｛%｝的公差为d,由题意，化简得”=2勾，求得W=l,d=2,

即可得到数列的通项公式和前«项和；

(2)由(1)得2=/一G%，即可利用裂项求解数列的和，证明不等关系式.

试题解析：(1)设等差数列｛aj的公差为d,

则由S$=25可得a3=5,得2d=5……①

又S』成等比数列，且&=a「S2=2aI+d,S,=4a1+6d

所以（2a1+d『=4（4q+6J）,整理得2，d=d2,

因为dwO,所以d=2〃i...②

联立①②，解得q=l,"=2

2

所以a”=l+2（n-l）=2n-l,5/1，（匕—―=n

.2n+l11

⑵由⑴得”而可7一国

所以…+/••+%=『一卦+…+\一品,

<1

（〃+1）2

17.(1)4=2"-1(“eAT)；(2)5.

【解析】

(1)由邑=3邑，得到d=2q,进而求得4=2,即可求得数列｛4“｝的通项公式；

(2)由(1)和4“+。,川+。,,-2+《”+9=180,结合等差数列的前〃项和公式，列出关于m的

方程，即可求解.

【详解】

(1)设等差数列｛为｝的公差为"，

由$4=4$2,可得%+6d=8q+4d,整理得d=2q,

又因为4=1,所以d=2,

答案第9页，共14页

所以数列｛4｝的通项公式““=fl|+(«-!)</=2〃-l(〃eN*).

(2)由(1)知。“=2〃-1,

因为+”,"2+…+*9=180，

inxo

nJ彳导10a”,H---xd=20,"+80=180,

解得，*=5.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列前”项和公式的应用，其中解答中熟

记等差数列的通项公式和等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与

运算能力.

18.（1）a“=2"（"eN*）；（2）见解析

【解析】

【详解】

分析：（1）求出数列的首项和公比，即可求数列｛”“｝的通项公式；（2）①求出数列的前几

项，根据等差数列的性质建立方程即可求出L②讨论，"的取值，根据（,,=2%川的关系进

行求解即可.

2+|

详解：（1）当〃=］时，q=S］=2"'-2=4-2=2,a2=52=-S,=2-2-2=8-4=4,

a4

则公比4===彳=2,则4,=2-2"T=2"

q2

I54-3/

（2）①当”=1时，得々=6-1,〃=2时，得4=6-5］；〃=3时，得々=―-~~­,

则由4+4=2/，得f=4.

而当f=4时，由6〃2-。+3bn）n+2bn=0得a=2n.

由bn+l-b„=2,知此时数列｛%｝为等差数列.

②由题意知，q=4=2,C2=Q=2,c&=%=4,c$=Cs=c?=q=2，G=%=8,…

则当，"=1时，（=2片2。2=4,不合题意，舍去；

当，〃=2时，4=q+。2=4=2。3，所以m=2成立；

答案第10页，共14页

当根之3时，若或讨=2,则7；产2jr，不合题意，舍去；从而%M必是数列{〃〃}中的某一

项ak+l，

贝lj=q+24—+2+生+2+…+2+/+2d—+2+44+2HF2

冰嬴打个冰

=(2+2?+23+…+2*)+2伍+4+4+..•+4)

m+，

=2(2"-1)+2x(2+j)"=2+2&2+2R-2又2c=2az=2x2*,所以

2k+,+2k2+2k-2=2x2*"，

即2"—公一%+i=o,所以2*+l=F+Z=k(Z+l)

因为2*+l(keN")为奇数，而公+%=&住+1)为偶数，所以上式无解.

即当机23时，Tm^2cm+i

综上所述，满足题意的正整数仅有〃?=2.

点睛：本题主要考查等比数列和等差数列的综合应用，考查学生的运算和推理能力，综合

性较强，有一定的难度.

19.⑴『

(2)证明见解析；

fai，n=l

⑶",=<、产2"一

[a2,n>\

【解析】

【分析】

(1)由%="+2022可得{4}为递增数列，max{4，%,…,为}=%,

而忒知外,…,。"}：",从而易得〃,；

(2)令〃=1,即可得4=0.利用max{al,a2,---,a„}^max{a1,a2,---,a„+l)(/j=l,2,3,---),

min{a1,a2,•••,a,a2,2,3,­­•)>可证以；

(3)首先，由已知，当〃=1时，4=《；当”=2时，，b2=a2-at,a2>a}-当〃=3时，

=2(%-4)+(4-4)(*),这里分析出与4，々的大小关系，%<4，均出

答案第II页，共14页

现矛盾，a.>a2,结合(*)式可得%=生，因此猜想(2之4)，用反证法证

[a2,n>2

[a.,n=l

明此结论成立，证明时假设4是首次不符合4=’,,生2%的项，贝IJ

[a2,n>\

4V%=%=…=w%,这样题设条件变为'"；一之a2+ak="(7)%+"；」优

(*),仿照讨论出的情况讨论《，可证明.

(1)

由4=〃+2022可得{%}为递增数列，

所以a=max{q,%,…,-min{6,

=〃+2022-2023=〃-1,

故{优}的前n项和为(°+丁晨〃=若”.

(2)

〃=1时，bt=at-at=0,

因为max{q,%,…,a“}WmaxM，%…,。“+|}("=1,2,3」一)，

min(ap4f2,---,a/1}>min{a,,a2,---,a„+1)(n=l,2,3,---),

所以max{4+i}-min{q,4,…,a“+|}

>max{a1,a2,...,an}-min{a1,a2,...,an}

所以心22(〃=123,.J

(3)

由Si+S2+…+S〃=12<+2"〃5=1，2,3,3)可得

当〃=1时，4=6；

当〃=2时，24+4=34+8,

即4=々-4，所以4之4；

当〃=3时，3q+2%+/=6q+34,

答案第12页，共14页

即34=2（%-4）+（4-4）（*）,

若则仇=%一%，

所以由（*）可得%=%，与。3＜。2矛盾;

若由＜%4a2，则仇=%一%，

所以由（*）可得％-电=3（4-4）,

所以