2025版高考数学一轮总复习第2章函数第9节函数与方程学案含解析

函数与方程[考试要求]结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，推断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)函数零点的定义．对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．提示：函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．2．函数的零点存在性定理假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连绵不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．提示：函数的零点存在性定理只能推断函数在某个区间上的变号零点，而不能推断函数的不变号零点．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系分类Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2104．二分法的定义对于在区间[a，b]上连绵不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．eq\a\vs4\al([常用结论])有关函数零点的三个结论(1)若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连绵不断，且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)肯定有零点．(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．(3)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连绵不断，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连绵不断)，则f(a)·f(b)＜0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac(5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)×二、教材习题衍生1．(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连绵不断的一条曲线，则下列说法中不正确的是()A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0ABD[对函数f(x)＝x2，f(－1)f(1)＞0，但f(0)＝0，故A错；对于函数f(x)＝x3－x，f(－2)f(2)＜0，但f(0)＝f(－1)＝f(1)＝0，故B错；函数f(x)＝x2满意C，故C正确；由零点存在性定理知D错．]2．函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)C[由题意得f(1)＝ln1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3＞0，f(4)＝ln4＋8－6＝ln4＋2＞0，∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．]3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．1[∵函数f(x)＝ex＋3x在R上是增函数，且f(－1)＝eq\f(1,e)－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(－1)·f(0)＜0，因此函数f(x)有唯一零点．]4．若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．(－∞，4)[由题意知Δ＝16－4a＞0，解得a考点一判定函数零点所在区间推断函数零点所在区间的方法1．(多选)已知函数f(x)＝x－logeq\s\do6(\f(1,2))x.若0＜a＜b＜c，则f(a)f(b)f(c)＜0，那么下列说法肯定正确的是()A．f(x)有且只有一个零点B．f(x)的零点在(0,1)上C．f(x)的零点在(a，b)上D．f(x)的零点在(c，＋∞)上AB[因为y＝x，y＝－logeq\s\do6(\f(1,2))x均为(0，＋∞)上的增函数，所以f(x)为(0，＋∞)上的增函数．因为f(1)＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，所以由零点存在性定理可知f(x)有且只有一个零点且零点在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内，故A、B正确．因为f(a)f(b)f(c)＜0，所以f(a)，f(b)，f(c)的符号为两正一负或全负，而0＜a＜b＜c，故f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＜0或f(a)＜0，f(b)＞0，f(c)＞0.若f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＜0，则零点在(c，＋∞)内；若f(a)＜0，f(b)＞0，f(c)＞0，则零点在(a，b)内．故C、D不肯定正确．]2．若x0是方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝x的解，则x0属于区间()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C[令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－x，则x0是函数f(x)的零点，函数f(x)在R上图象是连续的，且f(0)＝1＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，因此x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，故选C.]3．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)上 B．(－∞，a)和(a，b)上C．(b，c)和(c，＋∞)上 D．(－∞，a)和(c，＋∞)上A[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.]4．(2024·天津模拟)设函数f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝lnx－eq\f(1,x)，若f(x1)＝g(x2)＝0，则()A．0＜g(x1)＜f(x2) B．g(x1)＜0＜f(x2)C．f(x2)＜0＜g(x1) D．f(x2)＜g(x1)＜0B[函数f(x)是R上的增函数，g(x)是(0，＋∞)上的增函数，∵f(0)＝e－1－4＜0，f(1)＝5－4＝1＞0，又f(x1)＝0，∴0＜x1＜1，∵g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln2－eq\f(1,2)＞0，又g(x2)＝0，∴1＜x2＜2，∴f(x2)＞f(1)＞0，g(x1)＜g(1)＜0，∴g(x1)＜0＜f(x2)，故选B.]点评：由f(a)·f(b)＞0，并不能说明函数f(x)在区间(a，b)上没有零点，若f(x)在(a，b)上是单调函数，则f(x)在(a，b)上无零点．考点二确定函数零点的个数确定函数零点个数的方法[典例1](1)(2024·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为()A．2 B．3C．4 D．5(2)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x＞0，,2x＋1，x≤0))的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4(1)B(2)D(3)C[(1)由f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx·(1－cosx)＝0得sinx＝0或cosx＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.(2)依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝lnx与y＝x2－2x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个零点．故选D.(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)有1个零点．依据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.]点评：数形结合法确定函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要留意函数定义域的限制．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4B[令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发觉两个函数图象肯定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．故选B.]2．若定义在R上的偶函数f(x)满意f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数是()A．0 B．2C．4 D．6C[画出函数y＝f(x)和y＝log3|x|的部分图象如图所示．由图知，函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数为4.]考点三求与零点有关的参数问题已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围的方法依据函数零点的个数求参数的取值范围[典例2－1](多选)(2024·辽宁丹东月考改编)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x＜1，,4x－ax－2a，x≥1))恰有两个零点，则实数a的取值可能为()A．0 B．eq\f(1,2)C．2 D．3BCD[法一：当a＝0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＜1，,4x2，x≥1，))当a＝eq\f(1,2)时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)，x＜1，,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))x－1，x≥1，))当a＝2时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2，x＜1，,4x－2x－4，x≥1，))当a＝3时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3，x＜1，,4x－3x－6，x≥1，))通过作图很简洁推断B，C，D成立，A不成立，故选BCD.法二：设h(x)＝2x－a(x＜1)，g(x)＝4(x－a)(x－2a)(x≥1)，若h(x)的图象与x轴有一个交点，则a＞0，且2－a＞0，所以0＜a＜2.依据题意知，此时函数g(x)的图象与x轴只有一个交点，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥1，,a＜1，))得eq\f(1,2)≤a＜1.若函数h(x)的图象与x轴没有交点，则函数g(x)的图象与x轴有两个交点，当a≤0时，h(x)的图象与x轴无交点，g(x)的图象与x轴无交点，所以不满意题意．当2－a≤0，即a≥2时，h(x)的图象与x轴无交点，g(x)的图象与x轴有两个交点，满意题意．综上所述，a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪[2，＋∞)，故选BCD.]点评：已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形肯定要精确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．依据函数有零点求参数的取值范围[典例2－2](1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,x－1，x＞1，))则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，实数a的取值范围是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．[－1,2)C．[－1,0)∪(1,2] D．[0,1](1)D(2)A[(1)由题意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，设t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).(2)由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1.∵函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，∴a2－a－1＞－1，解得a＜0或a＞1.故选A.]点评：函数f(x)有零点⇔f(x)＝0有解，此时可分别参数，化为a＝g(x)的形式，则a的取值范围就是g(x)的值域．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,2x－1，x＞0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，1]C．[－1,0) D．(0,1]D[当x＞0时，由2x－1＝0得x＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(1,2)是函数f(x)的一个零点，故方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一个解．即a＝2x在(－∞，0]上有一个解，又当x∈(－∞，0]时0＜2x≤1，则0＜a≤1，故选D.]2．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))[∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．令y＝4x－2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4).∵x∈[－1,1]，∴2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).∴实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).]核心素养3用数学眼光视察世界——解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及推断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简洁的函数，借助函数的图象、性质求解.嵌套函数零点个数的推断eq\a\vs4\al([素养案例1])已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋2,2)，x≤1，,|log2x－1|，x＞1，))则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－eq\f(3,2)的零点个数是()A．4 B．5C．6 D．7A[令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－eq\f(3,2)，则函数F(x)的零点问题可转化为关于方程f(t)－2t－eq\f(3,2)＝0的根的问题．令y＝f(t)－2t－eq\f(3,2)＝0，则f(t)＝2t＋eq\f(3,2).分别作出y＝f(t)和y＝2t＋eq\f(3,2)的图象，如图①，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1＜t2)，则t1＝0,1＜t2＜2；由图②，结合图象，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2；当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解．所以y＝f[f(x)]－2f(x)－eq\f(3,2)共有4个零点．图①图②][评析]1.推断嵌套函数零点个数的主要步骤：(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或推断图象交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元．(2)充分利用函数的图象与性质．eq\a\vs4\al([素养培优])已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．5[由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象如图所示．由图象知y＝eq\f(1,2)与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2