上海市松江区2025届高三数学12月一模考试试题含解析

PAGE21-上海市松江区2025届高三数学12月一模考试试题（含解析）一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合，，则_____【答案】【解析】【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．【详解】由集合A得,所以故答案为【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题．2.若角的终边过点，则的值为_____________.【答案】【解析】【分析】由题意可得x＝4，y＝﹣3，r＝5，再由随意角的三角函数的定义可得，由诱导公式化简，代入即可求解．【详解】解：∵角α的终边过点P（4，﹣3），则x＝4，y＝﹣3，r＝5，，．【点睛】本题主要考查随意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3.设，则______.【答案】1.【解析】分析：首先求得复数z，然后求解其模即可.详解：由复数的运算法则有：，则：.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数模的计算等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.4.的绽开式中项的系数为_______．【答案】40【解析】【分析】依据二项定理绽开式，求得r的值，进而求得系数．【详解】依据二项定理绽开式的通项式得所以，解得所以系数【点睛】本题考查了二项式定理的简洁应用，属于基础题．5.已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满意，则________【答案】【解析】【分析】依据椭圆定义，得到，再由题中条件，即可得出结果.【详解】由题意，在椭圆中，，又，所以，因此.故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.6.若关于、的二元一次方程组无解，则实数________【答案】【解析】【分析】依据方程组无解，得到直线与直线平行，依据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解】因为关于、的二元一次方程组无解，所以直线与直线平行，所以，解得：.故答案为：【点睛】本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，敏捷运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.7.已知向量，，若向量∥，则实数________【答案】【解析】【分析】先由题意，得到，依据向量共线的坐标表示，得到，求解，即可得出结果.【详解】因为向量，，所以，又∥，所以，即，解得：.故答案为：【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线坐标表示即可，属于常考题型.8.已知函数存在反函数，若函数的图像经过点，则函数的图像必经过点________【答案】【解析】【分析】先由题意，得到，推出函数的图像过点，其反函数过点，求出，得到，进而可求出结果.【详解】因为函数的图像经过点，所以，因此，即函数的图像过点又存在反函数，所以的图像过点，即，所以，即函数的图像必经过点.故答案为：【点睛】本题主要考查反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型.9.在无穷等比数列中，若，则的取值范围是________【答案】【解析】【分析】先设等比数列的公比为，依据题意，得到且，，分别探讨，和，即可得出结果.【详解】设等比数列公比为，则其前项和为：，若时，，若时，，因此且，，即，所以当时，；当时，.因此，的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查由等比数列的极限求参数的问题，熟记极限的运算法则，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.10.函数的大致图像如图，若函数图像经过和两点，且和是其两条渐近线，则________【答案】【解析】【分析】先由函数图像，得到函数关于对称，推出，化原函数为，再由函数图像所过定点，即可求出参数，得出结果.【详解】由图像可得：函数关于对称，所以有，即，因此，又函数图像经过和两点，所以，解得：，因此，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查由函数图像求参数，熟记函数的对称性，以及待定系数法求函数解析式即可，属于常考题型.11.若实数，满意，，则实数的最小值为________【答案】【解析】【分析】先由题意，依据基本不等式，得到，得出，再由，得到，依据得，令，依据题意得到，由函数单调性，得到的最值，进而可求出结果.【详解】因为，，所以，即，当且仅当时，取等号；因此，又，所以，即，由得，所以，令，因为，当且仅当时取等号.所以，又易知函数在上单调递增，因此，因此.即实数的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.12.记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，集合，在中任取两个元素、，则的概率为________【答案】【解析】【分析】先以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，得到各顶点坐标，列举出集合中全部元素，以及满意条件的组合，依据古典概型的概率计算公式，即可求出结果.【详解】以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为正六边形的边长为，所以易得：、、、、、，因此，，，，，，，，，，，，，，，，，；共个向量.因此中含有个不同的元素.又在中任取两个元素、，满意的有：与或；与或；与或；与或；与或；与或；与或；与或；与或；与或；与或；与或；共种选法，又由、的随意性，因此满意的状况共有：种；又在中任取两个元素、，共有种状况；因此，满意的概率为：.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知是平面的一条斜线，直线，则（）A.存在唯一的一条直线，使得 B.存在无限多条直线，使得C.存在唯一的一条直线，使得∥ D.存在无限多条直线，使得∥【答案】B【解析】【分析】依据题意，作出图形，结合直线与直线，直线与平面位置关系，即可得出结果.【详解】因为是平面的一条斜线，直线，画出图形如下：明显在平面内必存在直线与直线垂直，且平面内有多数条直线与直线平行，故存在无限多条直线，使得.故选：B【点睛】本题主要考查直线与直线位置关系的判定，熟记线面，线线位置关系即可，属于常考题型.14.设，则“”是“、中至少有一个数大于1”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】依据充分条件与必要条件的概念，干脆推断，即可得出结果.【详解】若，则、中至少有一个数大于1，即“”是“、中至少有一个数大于1”的充分条件，反之，若“、中至少有一个数大于1”，则不肯定大于，如：；因此，“”是“、中至少有一个数大于1”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.15.若存在，使对随意的恒成立，则（）A.的最小值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】B【解析】【分析】先令，由题意，得到，推出，三式相加得，依据肯定值不等式的性质定理，得到，再由题中存在，使结论成立，可得：只需，进而可得出结果.【详解】因为对随意的恒成立，令，则只需，即，所以，所以以上三式相加可得：，由肯定值不等式的性质定理可得：，因此只需即.故选：B【点睛】本题主要考查求最值的问题，熟记肯定值不等式的性质，以及不等式的性质即可，属于常考题型.16.已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的全部非空子集时，对应的的和记为，则（）A.45 B.1012 C.2036 D.9217【答案】C【解析】【分析】依据题意先确定可能取的值为，再得到对应的个数，依据错位相减法，即可求出结果.【详解】因为集合，集合，为中元素的最小值，当取遍的全部非空子集，由题意可得：可能取的值为，则共有个；个；个；个；……，个；因此，所以，两式作差得，所以.故选：C【点睛】本题主要考查含个元素的集合的子集的应用，以及数列的求和，熟记错位相减法求和，会求集合的子集个数即可，属于常考题型.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点.（1）求圆锥的侧面积和体积；（2）求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数表示）【答案】（1）侧面积，体积；（2）.【解析】【分析】（1）依据圆锥的侧面积公式，以及体积公式，结合题中数据，即可得出结果；（2）先由题意，得到，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，分别求出，，依据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）因为圆锥的底面半径，高，所以其母线长，因此圆锥的侧面积为；体积为：；（2）由题意，易得：，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，又点是母线的中点，所以，因此，，记异面直线与所成角的大小为，所以，因此，异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题主要考查求圆锥的侧面积与体积，以及异面直线所成的角，熟记圆锥的侧面积公式与体积公式，以及空间向量的方法求异面直线所成的角即可，属于常考题型.18.已知函数.（1）求的最大值；（2）在△中，内角、、所对的边分别为、、，若，、、成等差数列，且，求边的长.【答案】（1）最大值为1；（2）.【解析】【分析】（1）先将函数解析式化简整理，得到，依据正弦函数的性质，即可得出最大值；（2）先由题意得到，求出；由、、成等差数列，得:；由得，再由余弦定理，即可得出结果.【详解】（1），由可得，因此，所以；（2）由得，即，又，所以，因此，所以；由、、成等差数列，可得:；又，所以，即，由余弦定理可得：，解得：.【点睛】本题主要考查求正弦型函数的最大值，以及解三角形，熟记正弦函数的性质，以及余弦定理即可，属于常考题型.19.汽车智能协助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就起先报警提示，等于危急距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为打算时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、，当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑成都等路面状况而改变，）.阶段0、打算1、人的反应2、系统反应3、制动时间秒秒距离米米（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不实行任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；（2）若要求汽车不论在何种路面状况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？【答案】（1），最短时间秒（2）汽车的行驶速度应限制在米/秒，合72千米/小时【解析】【分析】（1）依据题意，得到，结合题中数据，即可得出函数关系式；再由，得到汽车撞上固定障碍物的最短时间，依据基本不等式，即可求出最值；（2）依据题意，得到当时，报警距离最大，推出，求解即可得出结果.【详解】（1）由题意：报警距离，当时，，则汽车撞上固定障碍物的最短时间为：秒；（2）由题意可得：，因为，所以当时，报警距离最大，因此，只需：，解得：，所以汽车的行驶速度应限制在米/秒，合72千米/小时.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，以及基本不等式的应用，熟记基本不等式，以及不等关系即可，属于常考题型.20.设抛物线的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和.（1）若，求点坐标；（2）若，求证：原点总在以线段为直径圆的内部；（3）若，且直线∥，与有且只有一个公共点，问：△的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，最小值2，.【解析】【分析】（1）由抛物线方程以及抛物线定义，依据求出横坐标，代入，即可得出点的坐标；（2）设，，设直线的方程是：，联立直线与抛物线方程，依据韦达定理，以及向量数量积运算，得到，推出恒为钝角，即可得结论成立；（3）设，则，由得，推出直线的斜率．设直线的方程为，代入抛物线方程，依据判别式等于零，得．设，则，，由三角形面积公式，以及基本不等式，即可求出结果.【详解】（1）由抛物线方程知，焦点是，准线方程为，设，由及抛物线定义知，，代入得，所以点的坐标或（2）设，，设直线的方程是：，联立，消去得：，由韦达定理得，所以，故恒为钝角，故原点总在以线段AB为直径的圆的内部．（3）设，则，因为，则，由得，故．故直线的斜率．因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得．设，则，，，当且仅当，即时等号成立，由得，解得或（舍），所以点的坐标为，.【点睛】本题主要考查求抛物线上的点，以及抛物线中三角形面积的最值问题，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的简洁性质即可，属于常考题型，但计算量较大.21.已知数列满意：①（）；②当（）时，；③当（）时，，记数列的前项和为.（1）求，，的值；（2）若，求的最小值；（3）求证：的充要条件是（）.【答案】（1），或1，或1；（2）115；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）先依据题中条件，求出，，，再结合题意，即可得出结果；（2）先由题意，得到，当时，，由于，所以或，分别