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文档简介
第八章平面解析几何8.2.1椭圆(题型战法)知识梳理一椭圆1.定义及标准方程定义:平面内与两定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点之间的距离叫做焦距。符号表示:()方程:(1)焦点在轴上:(2)焦点在轴上:2.简单几何性质项目焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点顶点轴长长轴长2a短轴长2b长轴长2a短轴长2b离心率关系通径题型战法题型战法一椭圆的定义及辨析典例1.已知点,,动点P满足,动点P的轨迹是(
)A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段变式1-1.已知,是两个定点,且(是正常数),动点满足,则动点的轨迹是(
)A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.直线变式1-2.椭圆上点到上焦点的距离为4,则点到下焦点的距离为(
)A.6 B.3 C.4 D.2变式1-3.点P为椭圆上一点,,为该椭圆的两个焦点,若,则(
)A.13 B.1 C.7 D.5变式1-4.已知,是椭圆的两个焦点,点M在椭圆C上,最大值为(
)A. B. C.2 D.4题型战法二椭圆中的焦点三角形典例2.已知椭圆C:的左右焦点分别为F1、F2,过左焦点F1,作直线交椭圆C于A、B两点,则三角形ABF2的周长为(
)A.10 B.15 C.20 D.25变式2-1.已知椭圆的两个焦点为,,过的直线交椭圆于,两点,若的周长为(
)A. B. C. D.变式2-2.已知分别为椭圆的左,右焦点,为上顶点,则的面积为(
)A. B. C. D.变式2-3.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点P在此椭圆上,,则的面积等于()A. B. C. D.变式2-4.已知椭圆左、右焦点分别为,点在椭圆上,若,则(
)A. B. C. D.题型战法三椭圆上的点到焦点与定点距离的和、差最值典例3.已知F是椭圆的左焦点,P为椭圆C上任意一点,点Q坐标为,则的最大值为(
)A.3 B.5 C. D.13变式3-1.已知是椭圆的左焦点,为椭圆上任意一点,点坐标为,则的最大值为(
)A. B.13 C.3 D.5变式3-2.已知椭圆的右焦点为,为椭圆上一动点,定点,则的最小值为(
)A.1 B.-1 C. D.变式3-3.已知F是椭圆=1的左焦点,P为椭圆上的动点,椭圆内部一点M的坐标是(3,4),则|PM|+|PF|的最大值是(
)A.10 B.11 C.13 D.21变式3-4.已知椭圆,,,点是椭圆上的一动点,则的最小值为(
)A. B. C. D.题型战法四根据方程表示椭圆求参数的范围典例4.若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为(
)A. B. C. D.变式4-1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是(
)A. B. C. D.变式4-2.如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是(
)A. B. C. D.变式4-3.若表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数m的取值范围是(
).A. B.C. D.变式4-4.若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为(
)A. B. C. D.或题型战法五椭圆的标准方程典例5.中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴和短轴之和为36,椭圆上的点到一个焦点的最短距离为1,则椭圆的标准方程为(
)A.或 B.或C.或 D.或变式5-1.若椭圆的中心在原点,对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程为(
)A. B.或C. D.变式5-2.已知椭圆的两个焦点为,,M是椭圆上一点,若,,则该椭圆的方程是(
)A. B. C. D.变式5-3.以双曲线的焦点为椭圆C的长轴顶点,且过点的椭圆C的方程为(
)A. B.C. D.变式5-4.设分别为椭圆左、右焦点,点在椭圆C上,且,则椭圆C的标准方程为(
)A. B.C. D.题型战法六椭圆的轨迹方程典例6.在平面直角坐标系中,已知定点、,直线与直线的斜率之积为,则动点P的轨迹方程为(
)A. B. C. D.变式6-1.P是椭P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则PM的中点的轨迹方程为()A. B. C. D.变式6-2.已知圆,从圆上任意一点向轴作垂线段,为垂足,则线段的中点的轨迹方程为(
)A. B. C. D.变式6-3.已知的周长是20,且顶点B的坐标为,C的坐标为,则顶点A的轨迹方程是(
)A. B.C. D.变式6-4.已知圆:,定点,是圆上的一动点,线段的垂直平分线交于点,则点的轨迹的方程是(
)A. B.C. D.题型战法七椭圆的离心率典例7.已知椭圆的左、右焦点分别为,,P为椭圆C上一点,若的周长为18,长半轴长为5,则椭圆C的离心率为(
).A. B. C. D.变式7-1.已知点A,B分别是椭圆的右、上顶点,过椭圆C上一点P向x轴作垂线,垂足恰好为左焦点,且,则椭圆C的离心率为(
)A. B. C. D.变式7-2.已知是椭圆E的两个焦点,P是E上的一点,若,且,则E的离心率为(
)A. B. C. D.变式7-3.已知是椭圆的两个焦点,为上一点,且,,则的离心率为(
)A. B. C. D.变式7-4.已知椭圆的左顶点为A,上顶点为B,直线与直线的交点为P,若的面积是面积的2倍(O为坐标原点),则该椭圆的离心率为(
)A. B. C. D.题型战法八椭圆的离心率的取值范围典例8.已知点A、B为椭圆的长轴顶点,P为椭圆上一点,若直线PA,PB的斜率之积的范围为,则椭圆的离心率的取值范围是(
)A.B.C. D.变式8-1.已知椭圆的右焦点为,上顶点为,直线上存在一点P满足,则椭圆的离心率取值范围为(
)A. B. C. D.变式8-2.已知圆:与圆:,若在椭圆上存在点P,使得过点P所作的圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率的取值范围是(
)A. B. C. D.变式8-3.已知,是椭圆的左、右焦点,若椭圆上存在一点使得,则椭圆的离心率的取值范围是(
)A. B. C. D.变式8-4.已知椭圆的左右焦点分别为,,若椭圆上存在点,使,则该椭圆离心率的取值范围为(
)A. B. C. D.第八章平面解析几何8.2.1椭圆(题型战法)知识梳理一椭圆1.定义及标准方程定义:平面内与两定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点之间的距离叫做焦距。符号表示:()方程:(1)焦点在轴上:(2)焦点在轴上:2.简单几何性质项目焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点顶点轴长长轴长2a短轴长2b长轴长2a短轴长2b离心率关系通径题型战法题型战法一椭圆的定义及辨析典例1.已知点,,动点P满足,动点P的轨迹是(
)A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段【答案】A【分析】根据椭圆的定义即可得出答案.【详解】解:因为,所以动点P的轨迹是以为焦点的椭圆.故选:A.变式1-1.已知,是两个定点,且(是正常数),动点满足,则动点的轨迹是(
)A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.直线【答案】C【分析】讨论与的大小关系,结合椭圆定义可知.【详解】解:因为(当且仅当时,等号成立,所以,当且时,,此时动点的轨迹是椭圆;当时,,此时动点的轨迹是线段.故选:C.变式1-2.椭圆上点到上焦点的距离为4,则点到下焦点的距离为(
)A.6 B.3 C.4 D.2【答案】A【分析】根据椭圆方程求出,再根据椭圆的定义计算可得;【详解】解:椭圆,所以,即,设上焦点为,下焦点为,则,因为,所以,即点到下焦点的距离为;故选:A变式1-3.点P为椭圆上一点,,为该椭圆的两个焦点,若,则(
)A.13 B.1 C.7 D.5【答案】D【分析】写出椭圆的标准方程,由椭圆的定义得到,从而求出答案.【详解】椭圆方程为:,由椭圆定义可知:,故故选:D变式1-4.已知,是椭圆的两个焦点,点M在椭圆C上,最大值为(
)A. B. C.2 D.4【答案】D【分析】根据椭圆的定义可得,结合基本不等式即可求得的最大值.【详解】∵在椭圆上∴∴根据基本不等式可得,即,当且仅当时取等号.故选:D.题型战法二椭圆中的焦点三角形典例2.已知椭圆C:的左右焦点分别为F1、F2,过左焦点F1,作直线交椭圆C于A、B两点,则三角形ABF2的周长为(
)A.10 B.15 C.20 D.25【答案】C【分析】根据椭圆的定义求解即可【详解】由题意椭圆的长轴为,由椭圆定义知∴故选:C变式2-1.已知椭圆的两个焦点为,,过的直线交椭圆于,两点,若的周长为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】运用椭圆的定义进行求解即可.【详解】由.因为,是椭圆的上的点,、是椭圆的焦点,所以,因此的周长为,故选:D变式2-2.已知分别为椭圆的左,右焦点,为上顶点,则的面积为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标,进而求出三角形的面积.【详解】由椭圆方程得..故选:D.变式2-3.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点P在此椭圆上,,则的面积等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】根据椭圆标准方程,可得,结合定义及余弦定理可求得值,由及三角形面积公式即可求解.【详解】椭圆则,所以,则由余弦定理可知代入化简可得,则,故选:B.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质的简单应用,正弦定理与余弦定理的简单应用,三角形面积公式的用法,属于基础题.变式2-4.已知椭圆左、右焦点分别为,点在椭圆上,若,则(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据椭圆方程求得,由椭圆的定义,得,求得,所以,在中,再由余弦定理列出方程,求得,即可求解.【详解】解:由题意,椭圆方程,可得,所以焦点,又由椭圆的定义,可得,因为,所以,在中,由余弦定理可得,所以,解得,又由,所以.故选:C.题型战法三椭圆上的点到焦点与定点距离的和、差最值典例3.已知F是椭圆的左焦点,P为椭圆C上任意一点,点Q坐标为,则的最大值为(
)A.3 B.5 C. D.13【答案】B【分析】由,结合图形即得.【详解】因为椭圆,所以,,则椭圆的右焦点为,由椭圆的定义得:,当点P在点处,取等号,所以的最大值为5,故选:B.变式3-1.已知是椭圆的左焦点,为椭圆上任意一点,点坐标为,则的最大值为(
)A. B.13 C.3 D.5【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示:,故选:B变式3-2.已知椭圆的右焦点为,为椭圆上一动点,定点,则的最小值为(
)A.1 B.-1 C. D.【答案】A【分析】设椭圆的左焦点为,得到,得出,结合图象,得到当且仅当,,三点共线时,取得最小值,即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为,则,可得,所以,如图所示,当且仅当,,三点共线(点在线段上)时,此时取得最小值,又由椭圆,可得且,所以,所以的最小值为1.故选:A.变式3-3.已知F是椭圆=1的左焦点,P为椭圆上的动点,椭圆内部一点M的坐标是(3,4),则|PM|+|PF|的最大值是(
)A.10 B.11 C.13 D.21【答案】D【分析】利用椭圆的定义转化为P到M和到另一焦点的距离的差的最大值来解决.【详解】解:如图,由椭圆=1,得得,则椭圆右焦点为,则.当与射线与椭圆的交点重合时取到等号,的最大值为21.故选:D.变式3-4.已知椭圆,,,点是椭圆上的一动点,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由题意知为椭圆的右焦点,设左焦点为,由椭圆的定义可得,然后结合图形可得答案.【详解】由题意知为椭圆的右焦点,设左焦点为,由椭圆的定义知,所以.又,如图,设直线交椭圆于,两点.当为点时,最小,最小值为.故选:B【点睛】本题考查的是椭圆的定义的应用,属于常考题型.题型战法四根据方程表示椭圆求参数的范围典例4.若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据题意可得,解之即可得解.【详解】解:因为方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆,所以,解得,所以实数的取值范围为.故选:C.变式4-1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】化简方程为椭圆的标准方程,列出不等式,即可求解.【详解】将方程化为,因为是焦点在y轴上的椭圆,可得,解得.故选:B.变式4-2.如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式,并解出不等式即可【详解】由题意可知:方程表示焦点在轴上的椭圆则有:解得:故选:A变式4-3.若表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数m的取值范围是(
).A. B.C. D.【答案】D【分析】以椭圆标准方程的性质去判断即可解决.【详解】由题只需,解得,故选:D变式4-4.若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为(
)A. B. C. D.或【答案】B【分析】根据题意,由求解.【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆,则,解得:,故选:B.题型战法五椭圆的标准方程典例5.中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴和短轴之和为36,椭圆上的点到一个焦点的最短距离为1,则椭圆的标准方程为(
)A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【分析】根据题意,列关于的方程组求解,然后写出焦点分别在轴上的标准方程.【详解】设椭圆的长轴长,短轴长,焦距分别为,由题意,,得,椭圆焦点在轴或轴上,椭圆的标准方程为或.故选:C变式5-1.若椭圆的中心在原点,对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程为(
)A. B.或C. D.【答案】B【分析】首先根据已知条件得到,,即可得到,,,再分类讨论即可得到答案.【详解】因为短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,所以,设,,,,因为焦点到椭圆上点的最短距离为,所以,即.,,.当焦点在轴时,椭圆的方程为,当焦点在轴时,椭圆的方程为.故选:B变式5-2.已知椭圆的两个焦点为,,M是椭圆上一点,若,,则该椭圆的方程是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】首先设,,再利用焦点三角形是直角三角形,列式求,即可求得的值.【详解】设,,因为,,,所以,,所以,所以,所以.因为,所以.所以椭圆的方程是.故选:C变式5-3.以双曲线的焦点为椭圆C的长轴顶点,且过点的椭圆C的方程为(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】求出双曲线的焦点坐标,得出椭圆的半长轴长,设椭圆标准方程为,代入已知点,求解即可得到椭圆的标准方程.【详解】解:双曲线的焦点为,设椭圆标准方程为,则,又椭圆过点,所以,解得,所以椭圆的标准方程为.故选:B.变式5-4.设分别为椭圆左、右焦点,点在椭圆C上,且,则椭圆C的标准方程为(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】把点坐标代入四个选项,可排除三个错误选项,第四个选项可检验满足题中其他条件.【详解】把代入各选项中方程,,,,ABC均排除,,D满足,此时,,,满足此条件.故选:D.题型战法六椭圆的轨迹方程典例6.在平面直角坐标系中,已知定点、,直线与直线的斜率之积为,则动点P的轨迹方程为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】设动点P的坐标为,依题意得到方程,整理即得轨迹方程;【详解】解:设动点P的坐标为,则由条件得.即.所以动点P的轨迹C的方程为.故选:B.变式6-1.P是椭P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则PM的中点的轨迹方程为()A. B. C. D.【答案】B【详解】分析:设中点坐标为,则,因在椭圆上,故而可求的关系式即中点的方程.详解:中点坐标为,则,因在椭圆上,故,故选B.点睛:求动点的轨迹方程,一般有如下几种方法:几何法:看动点是否满足一些几何性质,如圆锥曲线的定义等;动点转移:设出动点的坐标,其余的点可以前者来表示,代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程;参数法:动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示,消去该参数即可动点的轨迹方程.变式6-2.已知圆,从圆上任意一点向轴作垂线段,为垂足,则线段的中点的轨迹方程为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】利用相关点法即可求解.【详解】设线段的中点,,所以,解得,又点在圆上,则,即.故选:A变式6-3.已知的周长是20,且顶点B的坐标为,C的坐标为,则顶点A的轨迹方程是(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】根据椭圆的定义确定点的轨迹是椭圆,确定得出方程.【详解】由题意可知,则点的轨迹是焦点在轴且中心为原点的椭圆,且点不在轴上,即故选:C变式6-4.已知圆:,定点,是圆上的一动点,线段的垂直平分线交于点,则点的轨迹的方程是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆,即可求出轨迹方程.【详解】由题可得圆心,半径为6,是垂直平分线上的点,,,点的轨迹是以为焦点的椭圆,且,,,故点的轨迹方程为.故选:B.题型战法七椭圆的离心率典例7.已知椭圆的左、右焦点分别为,,P为椭圆C上一点,若的周长为18,长半轴长为5,则椭圆C的离心率为(
).A. B. C. D.【答案】B【分析】因为的周长为18,所以,结合题意可得,代入离心率公式运算求解.【详解】设焦距为.因为的周长为18,所以,所以.因为长半轴长为5,即所以椭圆C的离心率为故选:B.变式7-1.已知点A,B分别是椭圆的右、上顶点,过椭圆C上一点P向x轴作垂线,垂足恰好为左焦点,且,则椭圆C的离心率为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据题意可得,,,再根据列式求解即可【详解】由已知得:,,所以,由得:所以所以由得:所以
故选:C变式7-2.已知是椭圆E的两个焦点,P是E上的一点,若,且,则E的离心率为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据椭圆定义得到,由得到,由勾股定理得到,两式结合求出,结合得到,求出离心率.【详解】由题意得:,则,由椭圆定义可知:,所以,即,所以,又,所以,即故E的离心率为.故选:C.变式7-3.已知是椭圆的两个焦点,为上一点,且,,则的离心率为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解.【详解】在椭圆中,由椭圆的定义可得,因为,所以,在中,,由余弦定理得,即所以所以的离心率.故选:C变式7-4.已知椭圆的左顶点为A,上顶点为
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