高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)6.4.2数列与不等式(针对练习)(原卷版+解析)

第六章数列6.4.2数列与不等式（针对练习）针对练习针对练习一直接求和证明不等式1．已知数列的前n项和为，，，其中.(1)记，求证：是等比数列；(2)设，数列的前n项和为，求证：.2．已知数列的前n项和为，，，.(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)记，数列的前n项和为，证明：.3．已知数列中，，，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明.4．设数列的前项和为，且，，．(1)求数列的通项公式；(2)记，设数列的前项和为，求证：．5．已知数列是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，求证：．针对练习二先放缩再求和证明不等式6．已知数列满足，且,是的前项和.(1)求；(2)若为数列的前项和，求证：.7．已知数列的前n项和为，，，且．(1)求；(2)求证：．8．已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式和前项和；(2)证明不等式32−9．已知数列（）是公比为的等比数列，其中，.（1）证明数列是等差数列；（2）求数列的前项和；（3）记数列，（），证明：.10．已知数列{}满足a₁=1，(n≥2，n∈)（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）证明：.针对练习三数列的恒成立问题11．已知数列中，，.(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.12．已知数列​，前​项和为​，满足​.(1)求数列​的通项公式;(2)若​，求数列​的前​项和​;(3)对任意​，使得​恒成立，求实数​的最小值.13．已知数列的前n项和为，且.(1)证明数列是常数列，并求的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若对任意恒成立，求实数t的取值范围.14．已知正项数列的前n项和为，且和满足：.(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和；(3)在（2）的条件下，对任意，都成立，求整数m的最大值.15．已知数列的前n项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围．针对练习四数列的能成立问题16．已知数列中，，前n项和为（1）求数列的通项公式；（2）设数列1an的前n项和为，求满足不等式的n值．17．已知数列的前项和为，；等差数列中，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值，若不存在，说明理由.18．在数列中，（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）若存在成立，求实数的最大值．19．已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，其中，求；（3）若存在，使得成立，求出实数的取值范围20．已知数列前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．针对练习五数学归纳法21．已知数列满足.(1)写出，并推测的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．22．设正项数列满足，且______．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，并求解下列问题：（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．23．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．（1）求，，的值，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．24．在数列中，已知，.（1）计算，，；（2）根据计算结果猜想出的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.25．用数学归纳法证明：．第六章数列6.4.2数列与不等式（针对练习）针对练习针对练习一直接求和证明不等式1．已知数列的前n项和为，，，其中.(1)记，求证：是等比数列；(2)设，数列的前n项和为，求证：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）应用的关系，结合构造法可得，根据已知条件及等比数列的定义即可证结论.（2）由（1）得，再应用错位相减法求，即可证结论.(1)证明：对任意的，，，时，，解得，时，因为，，两式相减可得：，即有，∴，又，则，因为，，所以，对任意的，，所以，因此，是首项和公比均为3的等比数列(2)由（1）得：，则，，，两式相减得：，化简可得：，又，∴.2．已知数列的前n项和为，，，.(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)记，数列的前n项和为，证明：.【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析【分析】根据题意变形为，得到，进而根据等比数列的定义，证得数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，求得数列的通项；（2）由，得到，结合裂项法求得，结合函数的单调性，即可求解.(1)解：当时，由可变形为，即，即，所以，又因为，，可得，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，所以数列的通项公式为.(2)解：由，可得，所以，因为，所以，即，又因为，单调递增，所以，所以.3．已知数列中，，，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）当时计算，当时，结合已知条件可得，由等差数列的定义可得是公差为的等差数列，由等差数列的通项公式可得的通项公式；（2）求出的通项公式，由裂项求和可得，再由不等式放缩即可求证.(1)当时，，当时，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以数列通项公式为.(2)因为，所以，因为，所以.4．设数列的前项和为，且，，．(1)求数列的通项公式；(2)记，设数列的前项和为，求证：．【答案】(1)(2)证明过程见解析【分析】（1）对变形得到，故可以得到是公比为2，首项为4的等比数列，进而利用累加法求出，进而得到数列的通项公式；（2）在第一问的基础上，得到，利用错位相减法求和，再利用，证明，从而得到证明.(1)当时，，即，且，所以当时，是公比为2，首项为4的等比数列，故，所以当时，所以当时，，又因为，所以.(2)，所以①；②；①－②得：，所以，显然，又，所以，综上：.5．已知数列是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）设数列的公差为，利用等比中项性质和等差数列通项公式，即可得答案；（2）由（1）得，再利用错位相减求和得到，利用数列的单调性，即可得答案；【详解】解：设数列的公差为，由已知得，∴．（2）证明：因为，所以，；两式相减得，∴，因为，所以，，所以，又，，因为，故最小，综上所述．针对练习二先放缩再求和证明不等式6．已知数列满足，且,是的前项和.(1)求；(2)若为数列的前项和，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)先用累加法求通项公式，再由裂项相消法可得；(2)由(1)可得的通项公式为，放缩得，再由裂项相消法可证.(1)∵，∴，，…由上述个等式相加得∴，∴，.(2)令，∴，又因为，且∴，综上，，得证.7．已知数列的前n项和为，，，且．(1)求；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）分析可知数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列，求出、的表达式，即可得出数列的通项公式；（2）利用放缩法可得出，结合等比数列的求和公式可证得原不等式成立.(1)解：由得．

所以，当时，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，

故，即．

当时，则，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，．所以．(2)证明：由（1）知，

所以.故原不等式成立.8．已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式和前项和；(2)证明不等式32−【答案】(1)（）(2)证明见解析【分析】（1）根据，，成等比数列，可得到，从而可求出等差数列的公差，进而求得通项公式和前项和；（2）由（1）写出的表达式，可利用放缩法得到，进而利用裂项求和的方法证明结论.(1)解：设数列公差为，

因为，，成等比数列.所以，即,得,又，所以.故（）,(2)证明：由（1）得

，因为当时，.，即.，所以,即.9．已知数列（）是公比为的等比数列，其中，.（1）证明数列是等差数列；（2）求数列的前项和；（3）记数列，（），证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）利用等差数列的定义结合递推公式即可证出结论；（2）错位相减法求数列的前项和；（3）利用放缩法结合等比数列的前项和公式即可证出结论.【详解】（1）由已知得，两端同除得：，所以数列是以首项为，公差为的等差数列，（2）由（1）知，所以，，则，相减得：，所以，即.（3），（）又，（），当时，所以原不等式得证.10．已知数列{}满足a₁=1，(n≥2，n∈)（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）证明：.【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【分析】（1）利用和与项的关系，作差消和得到项的递推关系，进而根据等比数列的定义证明，并求得通项公式；（2）利用放缩法转化成等比数列求和问题，进而证明.【详解】（1）由题意得，，两式相减得，化简得，，，，∴，故是等比数列，公比为3，，；（2）由（1）知，，，当时，恒成立，∴恒成立，.针对练习三数列的恒成立问题11．已知数列中，，.(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由条件可得出从而可证，从而可得出的通项公式.(2)将（1）中的代入即得对于恒成立，设，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案.(1)由，可得，即所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以(2)不等式对于恒成立即对于恒成立即对于恒成立设，由当时，，即即当时，，即即所以最大，所以，故的最小值为12．已知数列​，前​项和为​，满足​.(1)求数列​的通项公式;(2)若​，求数列​的前​项和​;(3)对任意​，使得​恒成立，求实数​的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)利用前n项和法求通项(要注意讨论)(2)利用错位相减法求数列前n项和(3)恒成立问题利用分离参数法进行处理.(1)​，​时有​，​时有​，​​，​又​，也符合上式，故数列​是首项为1，公比为2的等比数列，​(2)由（1）知​，​，①​，②由①-②有：​​​​(3)​​而当​时，​有最大值​，故​的最小值是​.13．已知数列的前n项和为，且.(1)证明数列是常数列，并求的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若对任意恒成立，求实数t的取值范围.【答案】(1)证明见解析，；(2)或．【分析】（1）利用得出递推关系，变形后可证明数列是常数列，由此可求得；（2）由错位相减法求得，得出的范围后解相应不等式可得的范围．(1)，则，两式相减得，，即，所以是常数列．，，，所以，；(2)，，易知是递增数列，且，若对任意恒成立，则，解得或．14．已知正项数列的前n项和为，且和满足：.(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和；(3)在（2）的条件下，对任意，都成立，求整数m的最大值.【答案】(1)(2)(3)7【分析】（1）依题意可得，根据，作差整理得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，从而求出的通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得；（3）利用作差法说明的单调性，即可求出，从而求出参数的取值范围，即可得解；(1)解：∵，∴，①∴，②①－②得.∴，化简.∵，∴.∴是以1为首项，2为公差的等差数列.∴.(2)解：由（1）可得.∴.(3)解：由（2）知，所以.∴数列是递增数列，则，∴，解得，∴整数的最大值是7.15．已知数列的前n项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即得；（2）利用错位相减法求出，然后分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.(1)当时，，解得，当时，由有，两式相减可得，即是以为首项，以为公比的等比数列，所以．(2)由得，所以，，两式相减得，所以．由，得，即恒成立．当时，，所以；当时，不等式恒成立；当时，，所以；综上，．针对练习四数列的能成立问题16．已知数列中，，前n项和为（1）求数列的通项公式；（2）设数列1an的前n项和为，求满足不等式的n值．【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根据题意，时得到，结合等比数列定义写出通项公式；（2）由（1）可得，结合题设有，即可得解.【详解】（1）由得：当时，所以，即，故，又，则，可得，则，综上，数列是首项为1，公比为的等比数列，故；（2）由（1）知：数列1an是首项为1，公比为所以，又，所以不等式，即，则或.17．已知数列的前项和为，；等差数列中，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值，若不存在，说明理由.【答案】（1），；（2）存在，最小值为.【分析】（1）利用与的递推关系得，由题设易知，即是首项为1公比为3的等比数列，写出通项公式，再求等差数列的基本量，写出通项即可.（2）由（1）得，应用错位相减法求得，结合不等关系求n的范围，即可判断是否存在正整数n并写出其最小值.【详解】（1）由题设，，得，又，即，∴对都成立，则，∴，又且为等差数列，∴若公差为，则，得，即，∴.（2）由（1）知：，∴，则，∴，即，若时，有，∴且，故存在，的最小值为4.【点睛】关键点点睛：（1）利用与求通项时，注意验证是否满足所得关系，进而写出通项公式.（2）利用错位相减法求前n项和，再由不等式成立求n的范围，进而判断存在性.18．在数列中，（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）若存在成立，求实数的最大值．【答案】(Ⅰ)an＝1,【详解】试题分析：(Ⅰ)由可得，两式相减整理得到，故数列为等比数列，求得通项后再验证是否满足即可得到所求．(Ⅱ)由条件可得存在成立，设，则．然后根据的单调性求出最值即可．试题解析：（Ⅰ）∵，①∴，②①-②，得，即∴．∴数列是以为首项，3为公比的等比数列．．，又不满足上式．．（Ⅱ）∵存在成立，∴存在成立．令，则．由（Ⅰ）可知当，当，则，所以当时，数列是递减数列，∴当时，．∴当时，．∴．故所求实数的最大值为．点睛：数列中的恒成立或能成立的问题是函数问题在数列中的具体体现，解决此类问题时仍要转化为最值问题处理．解题中通过分离参数在不等式的一端得到关于正整数n的函数，然后通过判断函数的单调性得到函数的最值，从而可求得参数的值或其范围．19．已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，其中，求；（3）若存在，使得成立，求出实数的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据与之间关系，由题中条件，即可求出结果；（2）根据题意，得到，再由（1）的结果，根据裂项求和的方法，即可求出结果；（3）先由题意，得到存在，使得成立，求出的最小值，即可得出结果.【详解】（1）因为数列的前n项和为，当时，，当时，也符合上式，；（2），.（3）存在，使得成立，存在，使得成立，即有解，，而，当或时取等号，的取值范围为.【点睛】本题主要考查由前项和求通项公式，数列的求和问题，以及数列不等式能成立的问题，熟记与之间关系，以及裂项求和的方法求数列的和即可，属于常考题型.20．已知数列前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）已知已知求，通常用求通项.（2）用裂项相消法求数列的前项和，列出不等式，参变分离得，因为存在，由基本不等式求的最大值即可.【详解】解：(1)时，,时，，时，也适合上式，所以数列的通项公式.(2)因为，所以因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使成立又，，（当且仅当时取等号），所以.即实数的取值范围是.【点睛】本题考查已知求、裂项相消法求数列的和、基本不等式、数列与不等式相关知识，属中档题.针对练习五数学归纳法21．已知数列满足.(1)写出，并推测的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】（1）分别将、2、3代入递推式中求，进而总结归纳出的表达式；（2）应用数学归纳法，首先判断时是否成立，再假设时成立，最后结合已知条件推导出时成立即可.(1)时，，则，时，，则，时，，则，猜想.(2)由（1）得：时，成立．假设时，成立，那么当时，，而，所以，即，故时，也成立．综上，对一切n∈N*，都成立，得证．22．设正项数列满足，且______．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，并求解下列问题：（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．【答案】答案不唯一，具体见解析【分析】若选①，（1）由已知条件可得，，，可得，（2）用数学归纳法证明，当时，利用可求出即可，若选②，（1）由已知条件求出，从而可猜想得，（2）利用数学归纳法证明时，当时，利用求出即可，【详解】若选①，（1）由，，可得，，，猜想．（2）下面用数学归纳法证明．当时，，猜想成立；假设当时，猜想成立，即；则当时，，即当时，猜想也成立，所以数列的通项公式为．若选②，（1）由，可得，因为是正项数列，所以，由，解得，由，解得，猜想．（2）下面用数学归纳法证明．当时，，猜想成立；假设当时猜想成立，即；则当