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文档简介
第六章数列6.4.2数列与不等式(针对练习)针对练习针对练习一直接求和证明不等式1.已知数列的前n项和为,,,其中.(1)记,求证:是等比数列;(2)设,数列的前n项和为,求证:.2.已知数列的前n项和为,,,.(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)记,数列的前n项和为,证明:.3.已知数列中,,,数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明.4.设数列的前项和为,且,,.(1)求数列的通项公式;(2)记,设数列的前项和为,求证:.5.已知数列是公差不为0的等差数列,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和,求证:.针对练习二先放缩再求和证明不等式6.已知数列满足,且,是的前项和.(1)求;(2)若为数列的前项和,求证:.7.已知数列的前n项和为,,,且.(1)求;(2)求证:.8.已知公差不为0的等差数列满足:且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式和前项和;(2)证明不等式32−9.已知数列()是公比为的等比数列,其中,.(1)证明数列是等差数列;(2)求数列的前项和;(3)记数列,(),证明:.10.已知数列{}满足a₁=1,(n≥2,n∈)(1)证明是等比数列,并求的通项公式;(2)证明:.针对练习三数列的恒成立问题11.已知数列中,,.(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;(2)若不等式对于恒成立,求实数的最小值.12.已知数列,前项和为,满足.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和;(3)对任意,使得恒成立,求实数的最小值.13.已知数列的前n项和为,且.(1)证明数列是常数列,并求的通项公式;(2)设数列的前n项和为,若对任意恒成立,求实数t的取值范围.14.已知正项数列的前n项和为,且和满足:.(1)求的通项公式;(2)设,求的前n项和;(3)在(2)的条件下,对任意,都成立,求整数m的最大值.15.已知数列的前n项和为,,且.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足,记数列的前n项和为,若,对任意恒成立,求实数t的取值范围.针对练习四数列的能成立问题16.已知数列中,,前n项和为(1)求数列的通项公式;(2)设数列1an的前n项和为,求满足不等式的n值.17.已知数列的前项和为,;等差数列中,,.(1)求数列,的通项公式;(2)设数列前项和为,是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值,若不存在,说明理由.18.在数列中,(Ⅰ)求数列的通项;(Ⅱ)若存在成立,求实数的最大值.19.已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列的前项和,其中,求;(3)若存在,使得成立,求出实数的取值范围20.已知数列前项和为,且(1)求数列的通项公式;(2)若为数列的前项和,且存在,使得成立,求实数的取值范围.针对练习五数学归纳法21.已知数列满足.(1)写出,并推测的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论.22.设正项数列满足,且______.在①,②这两个条件中任选一个,补充在上面横线处,并求解下列问题:(1)求,,的值,并猜想数列的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.23.设数列的前项和为,且对任意的正整数都满足.(1)求,,的值,猜想的表达式;(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的的表达式的正确性.24.在数列中,已知,.(1)计算,,;(2)根据计算结果猜想出的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.25.用数学归纳法证明:.第六章数列6.4.2数列与不等式(针对练习)针对练习针对练习一直接求和证明不等式1.已知数列的前n项和为,,,其中.(1)记,求证:是等比数列;(2)设,数列的前n项和为,求证:.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)应用的关系,结合构造法可得,根据已知条件及等比数列的定义即可证结论.(2)由(1)得,再应用错位相减法求,即可证结论.(1)证明:对任意的,,,时,,解得,时,因为,,两式相减可得:,即有,∴,又,则,因为,,所以,对任意的,,所以,因此,是首项和公比均为3的等比数列(2)由(1)得:,则,,,两式相减得:,化简可得:,又,∴.2.已知数列的前n项和为,,,.(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)记,数列的前n项和为,证明:.【答案】(1)证明见解析,(2)证明见解析【分析】根据题意变形为,得到,进而根据等比数列的定义,证得数列为等比数列,结合等比数列的通项公式,求得数列的通项;(2)由,得到,结合裂项法求得,结合函数的单调性,即可求解.(1)解:当时,由可变形为,即,即,所以,又因为,,可得,所以,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列,所以,所以数列的通项公式为.(2)解:由,可得,所以,因为,所以,即,又因为,单调递增,所以,所以.3.已知数列中,,,数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)当时计算,当时,结合已知条件可得,由等差数列的定义可得是公差为的等差数列,由等差数列的通项公式可得的通项公式;(2)求出的通项公式,由裂项求和可得,再由不等式放缩即可求证.(1)当时,,当时,,所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以数列通项公式为.(2)因为,所以,因为,所以.4.设数列的前项和为,且,,.(1)求数列的通项公式;(2)记,设数列的前项和为,求证:.【答案】(1)(2)证明过程见解析【分析】(1)对变形得到,故可以得到是公比为2,首项为4的等比数列,进而利用累加法求出,进而得到数列的通项公式;(2)在第一问的基础上,得到,利用错位相减法求和,再利用,证明,从而得到证明.(1)当时,,即,且,所以当时,是公比为2,首项为4的等比数列,故,所以当时,所以当时,,又因为,所以.(2),所以①;②;①-②得:,所以,显然,又,所以,综上:.5.已知数列是公差不为0的等差数列,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)设数列的公差为,利用等比中项性质和等差数列通项公式,即可得答案;(2)由(1)得,再利用错位相减求和得到,利用数列的单调性,即可得答案;【详解】解:设数列的公差为,由已知得,∴.(2)证明:因为,所以,;两式相减得,∴,因为,所以,,所以,又,,因为,故最小,综上所述.针对练习二先放缩再求和证明不等式6.已知数列满足,且,是的前项和.(1)求;(2)若为数列的前项和,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)先用累加法求通项公式,再由裂项相消法可得;(2)由(1)可得的通项公式为,放缩得,再由裂项相消法可证.(1)∵,∴,,…由上述个等式相加得∴,∴,.(2)令,∴,又因为,且∴,综上,,得证.7.已知数列的前n项和为,,,且.(1)求;(2)求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)分析可知数列是首项为,公比为的等比数列,数列是首项为,公比为的等比数列,求出、的表达式,即可得出数列的通项公式;(2)利用放缩法可得出,结合等比数列的求和公式可证得原不等式成立.(1)解:由得.
所以,当时,,所以数列是首项为,公比为的等比数列,
故,即.
当时,则,所以,数列是首项为,公比为的等比数列,所以,.所以.(2)证明:由(1)知,
所以.故原不等式成立.8.已知公差不为0的等差数列满足:且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式和前项和;(2)证明不等式32−【答案】(1)()(2)证明见解析【分析】(1)根据,,成等比数列,可得到,从而可求出等差数列的公差,进而求得通项公式和前项和;(2)由(1)写出的表达式,可利用放缩法得到,进而利用裂项求和的方法证明结论.(1)解:设数列公差为,
因为,,成等比数列.所以,即,得,又,所以.故(),(2)证明:由(1)得
,因为当时,.,即.,所以,即.9.已知数列()是公比为的等比数列,其中,.(1)证明数列是等差数列;(2)求数列的前项和;(3)记数列,(),证明:.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.【分析】(1)利用等差数列的定义结合递推公式即可证出结论;(2)错位相减法求数列的前项和;(3)利用放缩法结合等比数列的前项和公式即可证出结论.【详解】(1)由已知得,两端同除得:,所以数列是以首项为,公差为的等差数列,(2)由(1)知,所以,,则,相减得:,所以,即.(3),()又,(),当时,所以原不等式得证.10.已知数列{}满足a₁=1,(n≥2,n∈)(1)证明是等比数列,并求的通项公式;(2)证明:.【答案】(1)证明见解析,;(2)证明见解析.【分析】(1)利用和与项的关系,作差消和得到项的递推关系,进而根据等比数列的定义证明,并求得通项公式;(2)利用放缩法转化成等比数列求和问题,进而证明.【详解】(1)由题意得,,两式相减得,化简得,,,,∴,故是等比数列,公比为3,,;(2)由(1)知,,,当时,恒成立,∴恒成立,.针对练习三数列的恒成立问题11.已知数列中,,.(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;(2)若不等式对于恒成立,求实数的最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)【分析】(1)由条件可得出从而可证,从而可得出的通项公式.(2)将(1)中的代入即得对于恒成立,设,分析出其单调性,得出其最大项,即可得出答案.(1)由,可得,即所以是以为首项,为公比的等比数列,所以,所以(2)不等式对于恒成立即对于恒成立即对于恒成立设,由当时,,即即当时,,即即所以最大,所以,故的最小值为12.已知数列,前项和为,满足.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和;(3)对任意,使得恒成立,求实数的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)利用前n项和法求通项(要注意讨论)(2)利用错位相减法求数列前n项和(3)恒成立问题利用分离参数法进行处理.(1),时有,时有,,又,也符合上式,故数列是首项为1,公比为2的等比数列,(2)由(1)知,,①,②由①-②有:(3)而当时,有最大值,故的最小值是.13.已知数列的前n项和为,且.(1)证明数列是常数列,并求的通项公式;(2)设数列的前n项和为,若对任意恒成立,求实数t的取值范围.【答案】(1)证明见解析,;(2)或.【分析】(1)利用得出递推关系,变形后可证明数列是常数列,由此可求得;(2)由错位相减法求得,得出的范围后解相应不等式可得的范围.(1),则,两式相减得,,即,所以是常数列.,,,所以,;(2),,易知是递增数列,且,若对任意恒成立,则,解得或.14.已知正项数列的前n项和为,且和满足:.(1)求的通项公式;(2)设,求的前n项和;(3)在(2)的条件下,对任意,都成立,求整数m的最大值.【答案】(1)(2)(3)7【分析】(1)依题意可得,根据,作差整理得,即可得到是以1为首项,2为公差的等差数列,从而求出的通项公式;(2)由(1)可得,利用裂项相消法计算可得;(3)利用作差法说明的单调性,即可求出,从而求出参数的取值范围,即可得解;(1)解:∵,∴,①∴,②①-②得.∴,化简.∵,∴.∴是以1为首项,2为公差的等差数列.∴.(2)解:由(1)可得.∴.(3)解:由(2)知,所以.∴数列是递增数列,则,∴,解得,∴整数的最大值是7.15.已知数列的前n项和为,,且.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足,记数列的前n项和为,若,对任意恒成立,求实数t的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用与的关系,分讨论,得到数列为等比数列,即得;(2)利用错位相减法求出,然后分类讨论分离参数,转化为与关于的函数的范围关系,即可求解.(1)当时,,解得,当时,由有,两式相减可得,即是以为首项,以为公比的等比数列,所以.(2)由得,所以,,两式相减得,所以.由,得,即恒成立.当时,,所以;当时,不等式恒成立;当时,,所以;综上,.针对练习四数列的能成立问题16.已知数列中,,前n项和为(1)求数列的通项公式;(2)设数列1an的前n项和为,求满足不等式的n值.【答案】(1);(2)或.【分析】(1)根据题意,时得到,结合等比数列定义写出通项公式;(2)由(1)可得,结合题设有,即可得解.【详解】(1)由得:当时,所以,即,故,又,则,可得,则,综上,数列是首项为1,公比为的等比数列,故;(2)由(1)知:数列1an是首项为1,公比为所以,又,所以不等式,即,则或.17.已知数列的前项和为,;等差数列中,,.(1)求数列,的通项公式;(2)设数列前项和为,是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值,若不存在,说明理由.【答案】(1),;(2)存在,最小值为.【分析】(1)利用与的递推关系得,由题设易知,即是首项为1公比为3的等比数列,写出通项公式,再求等差数列的基本量,写出通项即可.(2)由(1)得,应用错位相减法求得,结合不等关系求n的范围,即可判断是否存在正整数n并写出其最小值.【详解】(1)由题设,,得,又,即,∴对都成立,则,∴,又且为等差数列,∴若公差为,则,得,即,∴.(2)由(1)知:,∴,则,∴,即,若时,有,∴且,故存在,的最小值为4.【点睛】关键点点睛:(1)利用与求通项时,注意验证是否满足所得关系,进而写出通项公式.(2)利用错位相减法求前n项和,再由不等式成立求n的范围,进而判断存在性.18.在数列中,(Ⅰ)求数列的通项;(Ⅱ)若存在成立,求实数的最大值.【答案】(Ⅰ)an=1,【详解】试题分析:(Ⅰ)由可得,两式相减整理得到,故数列为等比数列,求得通项后再验证是否满足即可得到所求.(Ⅱ)由条件可得存在成立,设,则.然后根据的单调性求出最值即可.试题解析:(Ⅰ)∵,①∴,②①-②,得,即∴.∴数列是以为首项,3为公比的等比数列..,又不满足上式..(Ⅱ)∵存在成立,∴存在成立.令,则.由(Ⅰ)可知当,当,则,所以当时,数列是递减数列,∴当时,.∴当时,.∴.故所求实数的最大值为.点睛:数列中的恒成立或能成立的问题是函数问题在数列中的具体体现,解决此类问题时仍要转化为最值问题处理.解题中通过分离参数在不等式的一端得到关于正整数n的函数,然后通过判断函数的单调性得到函数的最值,从而可求得参数的值或其范围.19.已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列的前项和,其中,求;(3)若存在,使得成立,求出实数的取值范围【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)根据与之间关系,由题中条件,即可求出结果;(2)根据题意,得到,再由(1)的结果,根据裂项求和的方法,即可求出结果;(3)先由题意,得到存在,使得成立,求出的最小值,即可得出结果.【详解】(1)因为数列的前n项和为,当时,,当时,也符合上式,;(2),.(3)存在,使得成立,存在,使得成立,即有解,,而,当或时取等号,的取值范围为.【点睛】本题主要考查由前项和求通项公式,数列的求和问题,以及数列不等式能成立的问题,熟记与之间关系,以及裂项求和的方法求数列的和即可,属于常考题型.20.已知数列前项和为,且(1)求数列的通项公式;(2)若为数列的前项和,且存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)已知已知求,通常用求通项.(2)用裂项相消法求数列的前项和,列出不等式,参变分离得,因为存在,由基本不等式求的最大值即可.【详解】解:(1)时,,时,,时,也适合上式,所以数列的通项公式.(2)因为,所以因为存在,使得成立,所以存在,使得成立,即存在,使成立又,,(当且仅当时取等号),所以.即实数的取值范围是.【点睛】本题考查已知求、裂项相消法求数列的和、基本不等式、数列与不等式相关知识,属中档题.针对练习五数学归纳法21.已知数列满足.(1)写出,并推测的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)分别将、2、3代入递推式中求,进而总结归纳出的表达式;(2)应用数学归纳法,首先判断时是否成立,再假设时成立,最后结合已知条件推导出时成立即可.(1)时,,则,时,,则,时,,则,猜想.(2)由(1)得:时,成立.假设时,成立,那么当时,,而,所以,即,故时,也成立.综上,对一切n∈N*,都成立,得证.22.设正项数列满足,且______.在①,②这两个条件中任选一个,补充在上面横线处,并求解下列问题:(1)求,,的值,并猜想数列的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.【答案】答案不唯一,具体见解析【分析】若选①,(1)由已知条件可得,,,可得,(2)用数学归纳法证明,当时,利用可求出即可,若选②,(1)由已知条件求出,从而可猜想得,(2)利用数学归纳法证明时,当时,利用求出即可,【详解】若选①,(1)由,,可得,,,猜想.(2)下面用数学归纳法证明.当时,,猜想成立;假设当时,猜想成立,即;则当时,,即当时,猜想也成立,所以数列的通项公式为.若选②,(1)由,可得,因为是正项数列,所以,由,解得,由,解得,猜想.(2)下面用数学归纳法证明.当时,,猜想成立;假设当时猜想成立,即;则当
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