高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.7空间几何体中求夹角(精练)(原卷版+解析)

7.7空间几何体中求夹角【题型解读】【题型一异面直线所成的角】1.(2023·陕西安康·高三期末）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．2.(2023·江苏南通市高三模拟）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3.(2023·陕西高三模拟）已知圆锥的顶点为，高和底面的半径之比为，设是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且，则异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．4.(2023·海原县高三模拟）四棱锥P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.【题型二直线与平面所成的角】1.(2023·全国高三模拟）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，且.(1)求证：平面平面；(2)若，，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.2.(2023·河北衡水中学高三模拟）如图，在三棱锥中，，点O､M分别是､的中点，底面.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小.3.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，为线段PD的中点．（1）求证：（2）求直线PB与平面CFB所成角的正弦值．4.(2023·全国高三模拟）在长方体中，已知，为的中点.（1）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由；（2）设，，点在上且满足，求与平面所成角的余弦值.5.(2023·浙江湖州·模拟预测）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，是斜边为的等腰直角三角形．(1)若时，求证：平面平面；(2)若时，求直线与平面所成的角的正弦值．【题型三平面与平面的夹角】1.(2023·江西高三模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，，，M是棱上一点，且.(1)求证：平面MBD；(2)求二面角M－BD－C的余弦值.2.(2023·重庆八中高三阶段练习）如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面平面，M是AB的中点．(1)证明：平面BEF；(2)若，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．3．(2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?4.(2023·全国·高三专题练习）在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，．（1）若为的中点，求证：平面；（2）若为棱上异于的点，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【题型四空间角的综合运用】1.(2023·山东·模拟预测）在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（

）①四面体外接球的表面积为②点与点之间的距离为③四面体的体积为④异面直线与所成的角为A． B． C． D．2.(2023·福建·三明一中模拟预测）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．3.(2023·广东佛山市高三模拟）（多选）在四边形中(如图1)，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，E，F，G分别为的中点，连接为平面内一点，则（

）A．三棱锥的体积为B．直线与所成的角的余弦值为C．四面体的外接球的表面积为D．若，则Q点的轨迹长度为4.(2023·云南昆明市高三模拟）（多选）已知正方体的棱长为，则下列命题正确的是（

）A．点到平面的距离为B．直线与平面所成角的余弦值为C．若、分别是、的中点，直线平面，则D．为侧面内的动点，且，则三棱锥的体积为定值7.7空间几何体中求夹角【题型解读】【题型一异面直线所成的角】1.(2023·陕西安康·高三期末）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，∵E是BC的中点，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为，解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，易知，，，所以，，则，∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为.故选：D2.(2023·江苏南通市高三模拟）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，所以，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有，，根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，故选：B3.(2023·陕西高三模拟）已知圆锥的顶点为，高和底面的半径之比为，设是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且，则异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．答案：A【解析】设圆锥底面圆的圆心为，设圆锥的底面圆的半径为，以圆锥底面圆的圆心为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则、、、，，，所以，，，所以，，因此，异面直线与所成的角为.故选：A.4.(2023·海原县高三模拟）四棱锥P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为（）A． B． C． D．答案：D【解析】以为轴建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，，为中点，则，，设，，，，因为平面，即与共面，所以存在实数，使得，所以，解得，，，又，．所以CQ与PA所成角的余弦值为．故选：D．5.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.答案：【解析】设A在面内的投影为E，故E为三角形BCD的中心，设正四面体的棱长为，球的半径为.则，，依题可得，球心在上，，代入数据可得，则，，又，，故的轨迹为平面BCD内以E为圆心，为半径的圆，，三点共线时，且P在BE之间时，的最小值是.以E为圆心，BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，，，，，设，，故，，设直线与直线所成角为，∵，∴，又，故，故答案为：，.【题型二直线与平面所成的角】1.(2023·全国高三模拟）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，且.(1)求证：平面平面；(2)若，，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.答案：(1)证明见解析(2)【解析】(1)因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，又因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.得证.(2)如图，以为坐标原点，分别以、、所在的直线为坐标轴正方向建立空间直角坐标系，则点，，，，则，，，设平面的法向量为，则，即，令可得平面的法向量为，设直线PB与平面ADP所成角为，则.直线PB与平面ADP所成角的正弦值为.2.(2023·河北衡水中学高三模拟）如图，在三棱锥中，，点O､M分别是､的中点，底面.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小.答案：(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：连接OB,由,O为AC的中点，得，又底面，故,∵点M为的中点，∴,又∵，∴,，故平面.(2)解法一：由（1）知平面,且,又，面,平面，∴面，则点A到面的距离就是点B到面的距离.设直线与平面所成角为，，∴与面所成的角的正弦值为，故与面所成的角的大小为.解法二：设点A到面的高为h，而,由得，则，设直线与平面所成角为，，∴与面所成的角的正弦值为，即所成的角的大小为.解法三：如图，以O为坐标原点，以OB,OC,OS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,则,由（1）可知为平面SOM的一个法向量，设直线与平面所成角为，，则,故，即直线与平面所成角为.3.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，为线段PD的中点．（1）求证：（2）求直线PB与平面CFB所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）在中，因为，所以，所以，因为，所以平面，因为平面PAD，所以．（2）由（1）知，以所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：在中，因为，所以，所以；因为平面，平面，所以.因为，所以平面可得因为，所以，所以，，.设平面的一个法向量为，则，所以，令，则4，所以设直线与平面所成的角为，则4.(2023·全国高三模拟）在长方体中，已知，为的中点.（1）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由；（2）设，，点在上且满足，求与平面所成角的余弦值.答案：（1）存在，证明见解析；（2）.【解析】（1）存在，当点为线段的中点时，平面平面.证明：在长方体中，，.又因为平面，平面，所以平面.又为的中点，为的中点，所以，且.故四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.又因为，平面，平面，所以平面平面.（2）在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为，，所以，，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，即.令，则，，所以，因为，设，则，所以，则.设与平面所成角为，则，即.故与平面所成角的余弦值为.5.(2023·浙江湖州·模拟预测）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，是斜边为的等腰直角三角形．(1)若时，求证：平面平面；(2)若时，求直线与平面所成的角的正弦值．答案：(1)证明见解析；(2).【解析】(1)因，，，则有，即有，又，且，平面，于是得平面，而平面，所以平面平面.(2)在平面内，过B作直线垂直于，交直线于E，有，，如图，则为二面角的平面角，平面，，于是得，中，，则，在中，，，，由余弦定理得，则有，显然平面平面，在平面内过B作，则平面，以B为原点，分别以射线为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量，则，令，得而，设与平面所成的角为，所以与平面所成的角的正弦值为.【题型三平面与平面的夹角】1.(2023·江西高三模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，，，M是棱上一点，且.(1)求证：平面MBD；(2)求二面角M－BD－C的余弦值.答案：(1)证明见解析(2)【解析】(1)连接AC，记AC与BD的交点为H，连接MH.由，得，，又，则，∴，又平面MBD，平面MBD，∴平面MBD.(2)记O为CD的中点，连接PO，BO.∵为等边三角形，∴，∵平面平面ABCD，平面平面ABCD＝CD，∴平面ABCD.以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为x轴，建立空间直角坐标系，如下图，则，，，，，，.设平面BDM的法向量，则，取x＝1得，平面BCD的一个法向量.设二面角M－BD－C的平面角为θ，则.∴二面角M－BD－C的余弦值为.2.(2023·重庆八中高三阶段练习）如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面平面，M是AB的中点．(1)证明：平面BEF；(2)若，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．答案：(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：在等边中，为的中点，所以，在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面，过在平面内作，垂足为，平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，平面．(2)解：由题设平面，平面平面，，四边形是平行四边形，又且，所以，延长，，相交于点，连接，则、分别为、的中点，则平面与平面所成的角就是二面角，可知，，所以平面，是二面角的平面角，又，，所以，即平面与平面所成的角为；3．(2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?答案：（1）见解析；（2）【解析】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因为，，所以，又，所以平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．所以，．由题设（）．（1）因为，所以，所以．（2）设平面的法向量为，因为，所以，即．令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则．当时，取最小值为，此时取最大值为．所以，此时4.(2023·全国·高三专题练习）在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，．（1）若为的中点，求证：平面；（2）若为棱上异于的点，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．答案：（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：∵在梯形中，，，为的中点，所以且，∴四边形为平行四边形，所以，∵平面，平面，所以平面．（2）解：以为原点，，所在的直线为，轴，建立如图所示空间直角坐标系．因为，，，所以，，，，，则，，，．设，，则，．因为，所以，即，化简得，解得（舍）或．所以，，即．设为平面的一个法向量，则，所以，解得令，得；设为平面的一个法向量，则，所以解得令，得．设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【题型四空间角的综合运用】1.(2023·山东·模拟预测）在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（

）①四面体外接球的表面积为②点与点之间的距离为③四面体的体积为④异面直线与所成的角为A． B． C． D．答案：B【解析】对于①，取的中点，连接、，则，因为，所以，，所以，为四面体的外接球球心，球的表面积为，①对；对于②③④，过点在平面内作，垂足为点，过点作交于点，则二面角的平面角为，在中，，，，则，，，则，，，，，，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的垂线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为，则、、、，，②错，，，③对，，，，故异面直线与所成角为，④错.故选：B.2.(2023·福建·三明一中模拟预测）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．答案：【解析】如图所示，连接交平面于，连接，由题意可知平面，所以是与平面所成的角，所以＝.由可得，即.在四面体中，,

,所以四面体为正三棱锥，为的重心，如图所示：所以解得，,又因为，所以，即在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，所以.故答案为:3.(2023