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文档简介
7.7空间几何体中求夹角【题型解读】【题型一异面直线所成的角】1.(2023·陕西安康·高三期末)如图,在三棱锥中,平面,是边长为的正三角形,,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是(
)A. B.C. D.2.(2023·江苏南通市高三模拟)已知正四面体ABCD,M为BC中点,N为AD中点,则直线BN与直线DM所成角的余弦值为(
)A. B. C. D.3.(2023·陕西高三模拟)已知圆锥的顶点为,高和底面的半径之比为,设是底面的一条直径,为底面圆周上一点,且,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.4.(2023·海原县高三模拟)四棱锥P﹣ABCD中,PD=DA=AB=CD,AB∥CD,∠ADC=90°,PD⊥平面ABCD,M为PC中点,平面ADM交PB于Q,则CQ与PA所成角的余弦值为()A. B. C. D.5.(2023·山西·太原五中高一阶段练习)已知正四面体内接于半径为的球中,在平面内有一动点,且满足,则的最小值是___________;直线与直线所成角的取值范围为___________.【题型二直线与平面所成的角】1.(2023·全国高三模拟)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,,且.(1)求证:平面平面;(2)若,,求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.2.(2023·河北衡水中学高三模拟)如图,在三棱锥中,,点O、M分别是、的中点,底面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的大小.3.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,,为线段PD的中点.(1)求证:(2)求直线PB与平面CFB所成角的正弦值.4.(2023·全国高三模拟)在长方体中,已知,为的中点.(1)在线段上是否存在点,使得平面平面?若存在,请加以证明,若不存在,请说明理由;(2)设,,点在上且满足,求与平面所成角的余弦值.5.(2023·浙江湖州·模拟预测)已知四棱锥中,底面为等腰梯形,,,,是斜边为的等腰直角三角形.(1)若时,求证:平面平面;(2)若时,求直线与平面所成的角的正弦值.【题型三平面与平面的夹角】1.(2023·江西高三模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面平面ABCD,为等边三角形,,,M是棱上一点,且.(1)求证:平面MBD;(2)求二面角M-BD-C的余弦值.2.(2023·重庆八中高三阶段练习)如图,正三棱柱中,E,F分别是棱,上的点,平面平面,M是AB的中点.(1)证明:平面BEF;(2)若,求平面BEF与平面ABC夹角的大小.3.(2023·全国·高三专题练习)已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,D为棱上的点.(1)证明:;(2)当为何值时,面与面所成的二面角的正弦值最小?4.(2023·全国·高三专题练习)在四棱锥中,平面,底面为梯形,,,,,.(1)若为的中点,求证:平面;(2)若为棱上异于的点,且,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【题型四空间角的综合运用】1.(2023·山东·模拟预测)在矩形中,,,沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角,若,则下列结论中正确结论的个数为(
)①四面体外接球的表面积为②点与点之间的距离为③四面体的体积为④异面直线与所成的角为A. B. C. D.2.(2023·福建·三明一中模拟预测)已知正方体中,,点E为平面内的动点,设直线与平面所成的角为,若,则点E的轨迹所围成的面积为___________.3.(2023·广东佛山市高三模拟)(多选)在四边形中(如图1),,将四边形沿对角线折成四面体(如图2所示),使得,E,F,G分别为的中点,连接为平面内一点,则(
)A.三棱锥的体积为B.直线与所成的角的余弦值为C.四面体的外接球的表面积为D.若,则Q点的轨迹长度为4.(2023·云南昆明市高三模拟)(多选)已知正方体的棱长为,则下列命题正确的是(
)A.点到平面的距离为B.直线与平面所成角的余弦值为C.若、分别是、的中点,直线平面,则D.为侧面内的动点,且,则三棱锥的体积为定值7.7空间几何体中求夹角【题型解读】【题型一异面直线所成的角】1.(2023·陕西安康·高三期末)如图,在三棱锥中,平面,是边长为的正三角形,,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是(
)A. B.C. D.答案:D【解析】解法一:设E为BC的中点,连接FE,如图,∵E是BC的中点,∴∥,,,;在中,由余弦定理可知∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为,解法二:以A为坐标原点,AC,AM所在直线分别为y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,易知,,,所以,,则,∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为.故选:D2.(2023·江苏南通市高三模拟)已知正四面体ABCD,M为BC中点,N为AD中点,则直线BN与直线DM所成角的余弦值为(
)A. B. C. D.答案:B【解析】设该正面体的棱长为,因为M为BC中点,N为AD中点,所以,因为M为BC中点,N为AD中点,所以有,,根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为,故选:B3.(2023·陕西高三模拟)已知圆锥的顶点为,高和底面的半径之比为,设是底面的一条直径,为底面圆周上一点,且,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.答案:A【解析】设圆锥底面圆的圆心为,设圆锥的底面圆的半径为,以圆锥底面圆的圆心为原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则、、、,,,所以,,,所以,,因此,异面直线与所成的角为.故选:A.4.(2023·海原县高三模拟)四棱锥P﹣ABCD中,PD=DA=AB=CD,AB∥CD,∠ADC=90°,PD⊥平面ABCD,M为PC中点,平面ADM交PB于Q,则CQ与PA所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案:D【解析】以为轴建立空间直角坐标系,如图,设,则,,,,为中点,则,,设,,,,因为平面,即与共面,所以存在实数,使得,所以,解得,,,又,.所以CQ与PA所成角的余弦值为.故选:D.5.(2023·山西·太原五中高一阶段练习)已知正四面体内接于半径为的球中,在平面内有一动点,且满足,则的最小值是___________;直线与直线所成角的取值范围为___________.答案:【解析】设A在面内的投影为E,故E为三角形BCD的中心,设正四面体的棱长为,球的半径为.则,,依题可得,球心在上,,代入数据可得,则,,又,,故的轨迹为平面BCD内以E为圆心,为半径的圆,,三点共线时,且P在BE之间时,的最小值是.以E为圆心,BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系,,,,,设,,故,,设直线与直线所成角为,∵,∴,又,故,故答案为:,.【题型二直线与平面所成的角】1.(2023·全国高三模拟)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,,且.(1)求证:平面平面;(2)若,,求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.答案:(1)证明见解析(2)【解析】(1)因为,所以,所以,又因为,所以,所以,所以,又因为平面,平面,所以,又因为,平面,所以平面,而平面,所以平面平面.得证.(2)如图,以为坐标原点,分别以、、所在的直线为坐标轴正方向建立空间直角坐标系,则点,,,,则,,,设平面的法向量为,则,即,令可得平面的法向量为,设直线PB与平面ADP所成角为,则.直线PB与平面ADP所成角的正弦值为.2.(2023·河北衡水中学高三模拟)如图,在三棱锥中,,点O、M分别是、的中点,底面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的大小.答案:(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明:连接OB,由,O为AC的中点,得,又底面,故,∵点M为的中点,∴,又∵,∴,,故平面.(2)解法一:由(1)知平面,且,又,面,平面,∴面,则点A到面的距离就是点B到面的距离.设直线与平面所成角为,,∴与面所成的角的正弦值为,故与面所成的角的大小为.解法二:设点A到面的高为h,而,由得,则,设直线与平面所成角为,,∴与面所成的角的正弦值为,即所成的角的大小为.解法三:如图,以O为坐标原点,以OB,OC,OS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,则,由(1)可知为平面SOM的一个法向量,设直线与平面所成角为,,则,故,即直线与平面所成角为.3.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,,为线段PD的中点.(1)求证:(2)求直线PB与平面CFB所成角的正弦值.答案:(1)证明见解析;(2).【解析】(1)在中,因为,所以,所以,因为,所以平面,因为平面PAD,所以.(2)由(1)知,以所在直线分别为轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示:在中,因为,所以,所以;因为平面,平面,所以.因为,所以平面可得因为,所以,所以,,.设平面的一个法向量为,则,所以,令,则4,所以设直线与平面所成的角为,则4.(2023·全国高三模拟)在长方体中,已知,为的中点.(1)在线段上是否存在点,使得平面平面?若存在,请加以证明,若不存在,请说明理由;(2)设,,点在上且满足,求与平面所成角的余弦值.答案:(1)存在,证明见解析;(2).【解析】(1)存在,当点为线段的中点时,平面平面.证明:在长方体中,,.又因为平面,平面,所以平面.又为的中点,为的中点,所以,且.故四边形为平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面.又因为,平面,平面,所以平面平面.(2)在长方体中,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.因为,,所以,,,,,所以,,.设平面的法向量为,则,即.令,则,,所以,因为,设,则,所以,则.设与平面所成角为,则,即.故与平面所成角的余弦值为.5.(2023·浙江湖州·模拟预测)已知四棱锥中,底面为等腰梯形,,,,是斜边为的等腰直角三角形.(1)若时,求证:平面平面;(2)若时,求直线与平面所成的角的正弦值.答案:(1)证明见解析;(2).【解析】(1)因,,,则有,即有,又,且,平面,于是得平面,而平面,所以平面平面.(2)在平面内,过B作直线垂直于,交直线于E,有,,如图,则为二面角的平面角,平面,,于是得,中,,则,在中,,,,由余弦定理得,则有,显然平面平面,在平面内过B作,则平面,以B为原点,分别以射线为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系,则,,,设平面的法向量,则,令,得而,设与平面所成的角为,所以与平面所成的角的正弦值为.【题型三平面与平面的夹角】1.(2023·江西高三模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面平面ABCD,为等边三角形,,,M是棱上一点,且.(1)求证:平面MBD;(2)求二面角M-BD-C的余弦值.答案:(1)证明见解析(2)【解析】(1)连接AC,记AC与BD的交点为H,连接MH.由,得,,又,则,∴,又平面MBD,平面MBD,∴平面MBD.(2)记O为CD的中点,连接PO,BO.∵为等边三角形,∴,∵平面平面ABCD,平面平面ABCD=CD,∴平面ABCD.以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OP为x轴,建立空间直角坐标系,如下图,则,,,,,,.设平面BDM的法向量,则,取x=1得,平面BCD的一个法向量.设二面角M-BD-C的平面角为θ,则.∴二面角M-BD-C的余弦值为.2.(2023·重庆八中高三阶段练习)如图,正三棱柱中,E,F分别是棱,上的点,平面平面,M是AB的中点.(1)证明:平面BEF;(2)若,求平面BEF与平面ABC夹角的大小.答案:(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明:在等边中,为的中点,所以,在正三棱柱中,平面平面,平面平面,平面,所以平面,过在平面内作,垂足为,平面平面,平面平面,平面,,平面,平面,平面.(2)解:由题设平面,平面平面,,四边形是平行四边形,又且,所以,延长,,相交于点,连接,则、分别为、的中点,则平面与平面所成的角就是二面角,可知,,所以平面,是二面角的平面角,又,,所以,即平面与平面所成的角为;3.(2023·全国·高三专题练习)已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,D为棱上的点.(1)证明:;(2)当为何值时,面与面所成的二面角的正弦值最小?答案:(1)见解析;(2)【解析】因为三棱柱是直三棱柱,所以底面,所以因为,,所以,又,所以平面.所以两两垂直.以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图.所以,.由题设().(1)因为,所以,所以.(2)设平面的法向量为,因为,所以,即.令,则因为平面的法向量为,设平面与平面的二面角的平面角为,则.当时,取最小值为,此时取最大值为.所以,此时4.(2023·全国·高三专题练习)在四棱锥中,平面,底面为梯形,,,,,.(1)若为的中点,求证:平面;(2)若为棱上异于的点,且,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.答案:(1)证明见解析;(2).【解析】(1)证明:∵在梯形中,,,为的中点,所以且,∴四边形为平行四边形,所以,∵平面,平面,所以平面.(2)解:以为原点,,所在的直线为,轴,建立如图所示空间直角坐标系.因为,,,所以,,,,,则,,,.设,,则,.因为,所以,即,化简得,解得(舍)或.所以,,即.设为平面的一个法向量,则,所以,解得令,得;设为平面的一个法向量,则,所以解得令,得.设平面与平面所成锐二面角为,则,所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【题型四空间角的综合运用】1.(2023·山东·模拟预测)在矩形中,,,沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角,若,则下列结论中正确结论的个数为(
)①四面体外接球的表面积为②点与点之间的距离为③四面体的体积为④异面直线与所成的角为A. B. C. D.答案:B【解析】对于①,取的中点,连接、,则,因为,所以,,所以,为四面体的外接球球心,球的表面积为,①对;对于②③④,过点在平面内作,垂足为点,过点作交于点,则二面角的平面角为,在中,,,,则,,,则,,,,,,平面,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴,平面内过点且垂直于的垂线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,因为,则、、、,,②错,,,③对,,,,故异面直线与所成角为,④错.故选:B.2.(2023·福建·三明一中模拟预测)已知正方体中,,点E为平面内的动点,设直线与平面所成的角为,若,则点E的轨迹所围成的面积为___________.答案:【解析】如图所示,连接交平面于,连接,由题意可知平面,所以是与平面所成的角,所以=.由可得,即.在四面体中,,
,所以四面体为正三棱锥,为的重心,如图所示:所以解得,,又因为,所以,即在平面内的轨迹是以O为圆心,半径为1的圆,所以.故答案为:3.(2023
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