高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01练基本立体图形(原卷版+解析)

第1练基本立体图形eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一．选择题1．下列结论中正确的是A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是正六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线2．下列说法错误的是A．球体是旋转体 B．圆柱的母线垂直于其底面 C．斜棱柱的侧面中没有矩形 D．用正棱锥截得的棱台叫做正棱台3．下列说法中正确的是A．棱柱的侧面可以是三角形 B．棱台的所有侧棱延长后交于一点 C．所有几何体的表面都能展开成平面图形 D．正棱锥的各条棱长都相等4．下列说法中正确的是A．圆锥的轴截面是等边三角形 B．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台 C．侧棱垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱是正棱柱 D．底面是正多边形的棱锥就是正棱锥．5．下列说法中正确的是A．斜棱柱的侧面中可能有矩形 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．棱台各侧棱的延长线不一定交于一点6．下列说法中，正确的个数为（Ⅰ）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；（Ⅱ）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；（Ⅲ）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；（Ⅳ）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．下列结论正确的是①正棱柱的侧面均为全等的矩形；②棱台侧棱所在的直线必交于一点；③矩形旋转一周一定形成一个圆柱；④用平面截圆锥，截面图形均为等腰三角形．A．①② B．①④ C．③④ D．①②③8．下列命题正确的是A．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱9．有以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；②棱台的两个底面一定是相似多边形；③连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线；④用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台．其中的正确命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．410．下列说法正确的是①棱柱的侧棱都相等；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得到旋转体是圆台；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④通过圆台侧面上一点有无数条母线．A．①② B．①③ C．②④ D．③④11．已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为A． B．9 C．3 D．12．已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为A． B． C． D．13．已知圆台形的木桶的上、下底面的半径分别为4和2，木桶的高为，则该木桶的侧面展开成的扇环所对的圆心角为A． B． C． D．14．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是A．1 B．2 C．3 D．415．用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．椭圆16．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式，一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为，若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为A．15 B． C． D．1217．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径与母线长的比为A． B． C． D．18．已知圆锥的高为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A． B． C． D．19．在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．四棱台20．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为A．2 B． C．4 D．21．现有两个所有棱长都是2的正四棱锥，让它们的底面完全重合，拼成一个新的多面体，则下列结论错误的是A．这个多面体有8个面和12条棱 B．这个多面体有6对棱互相平行 C．这个多面体有4对面互相垂直 D．这个多面体所有的顶点在一个半径为的球面上22．在三棱锥中，顶点到、和的距离都相等，则点是的A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心23．某圆锥的母线长为，底面半径长为，则该圆锥的高为A． B． C． D．24．已知圆锥的轴截面为正三角形，且侧面积是，则该圆锥的高为A． B． C． D．25．如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是A． B． C． D．26．《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点、以正八棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则这样的阳马的个数是A．48 B．32 C．24 D．827．下面四个几何体中，是棱台的是A． B． C． D．28．下列几何体中，面的个数最少的是A．四面体 B．四棱锥 C．四棱柱 D．四棱台29．下列说法中正确的是A．圆锥的轴截面一定是等边三角形 B．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台 C．三棱柱的侧面为三角形 D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形二．填空题30．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为．31．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为．32．已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥母线的长为．33．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为，母线与轴的夹角为，则这个圆台的轴截面的面积等于．34．面数最少的棱台为棱台；共有个面围成．35．如图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为，则它的侧棱长为．36．正三棱台的上、下底面边长及高分别为1，2，2，则它的斜高是．37．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，则圆锥的母线长为．38．下列说法正确的是（填序号）．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥；②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台；③三棱锥的任何一个面都可看作底面．39．若正三棱台的上、下底面的边长为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高是．40．已知圆锥的母线长为，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为，则此圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是．41．一个正方体内接于一个高为，底面半径为1的圆锥，则正方体的棱长为．42．已知一个棱长为的正方体塑料盒子（无上盖），上口放着一个半径为的钢球，则球心到盒底的距离为．第1练基本立体图形eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一．选择题1．下列结论中正确的是A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是正六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【解析】对于，正八面体的各个面都是三角形，但不是三棱锥，所以错误，对于，若以锐角三角形的一边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥形成的组合体，所以错误，对于，正六棱锥的底面六边形的外接圆半径与底面边长相等，而正棱锥的侧棱长大于底面多边形外接圆半径，所以正六棱锥的侧棱长大于底面边长，所以错误，对于，圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，所以正确，故选：．2．下列说法错误的是A．球体是旋转体 B．圆柱的母线垂直于其底面 C．斜棱柱的侧面中没有矩形 D．用正棱锥截得的棱台叫做正棱台【解析】对于，由旋转体的定义得球是半圆绕直径旋转而成的旋转体，故正确；对于，圆柱的母线平行于圆柱的轴，垂直于圆柱的底面，故正确；对于，斜棱柱的侧面中可能有矩形，故错误；对于，用正棱锥截得的棱台叫做正棱台，故正确．故选：．3．下列说法中正确的是A．棱柱的侧面可以是三角形 B．棱台的所有侧棱延长后交于一点 C．所有几何体的表面都能展开成平面图形 D．正棱锥的各条棱长都相等【解析】棱柱的侧面可以是四角形，所以不正确；棱台的所有侧棱延长后交于一点，满足棱台的定义，所以正确；所有几何体的表面都能展开成平面图形，球，不满足题意，所以不正确；正棱锥的各条侧棱长都相等，所以不正确．故选：．4．下列说法中正确的是A．圆锥的轴截面是等边三角形 B．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台 C．侧棱垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱是正棱柱 D．底面是正多边形的棱锥就是正棱锥．【解析】圆锥的轴截面一定是等腰三角形，但不一定是等边三角形，只有当母线与底面圆的直径相等时，才为等边三角形，即选项错误；只有用与棱锥底面平行的平面去截棱锥，才会得到一个棱锥和一个棱台，即选项错误；侧棱垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱是正棱柱，即选项正确；底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥，即选项错误．故选：．5．下列说法中正确的是A．斜棱柱的侧面中可能有矩形 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．棱台各侧棱的延长线不一定交于一点【解析】对于，斜棱柱的侧面中也可以有矩形，所以选项正确；对于，有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥，所以选项错误；对于，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，所以选项错误；对于，棱台是用平行于底面的平面截棱锥所得的几何体，它的侧棱延长后交于一点，所以选项错误．故选：．6．下列说法中，正确的个数为（Ⅰ）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；（Ⅱ）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；（Ⅲ）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；（Ⅳ）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解析】对于（Ⅰ），有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故（Ⅰ）错误；对于（Ⅱ），有两个平面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定为棱台，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点，故（Ⅱ）错误；对于（Ⅲ），底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，因为顶点在底面的投影不一定是底面的中心，故（Ⅲ）不正确；对于（Ⅳ），正六边形内心与各个顶点连线，构成6个等边三角形，所以正六棱锥棱长不可能与底边相等．故（Ⅳ）错误．故选：．7．下列结论正确的是①正棱柱的侧面均为全等的矩形；②棱台侧棱所在的直线必交于一点；③矩形旋转一周一定形成一个圆柱；④用平面截圆锥，截面图形均为等腰三角形．A．①② B．①④ C．③④ D．①②③【解析】对于①，正棱柱的底面是正多边形，且侧棱于底面垂直，所以侧面均为全等的矩形，即①正确；对于②，棱台的每条侧棱延长后，均相交于一点，即②正确；对于③，矩形绕边旋转一周形成圆柱，但若绕对角线旋转一周形成的不是圆柱，即③错误；对于④，用平行于底面的平面截圆锥，截面图形是圆，即④错误，所以正确的是①②．故选：．8．下列命题正确的是A．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱【解析】对于：棱台的上、下底面相似，但侧棱长不一定相等，故错误；对于：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥，也可能是组合体，与棱锥的定义相矛盾，故错误；对于：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥，故正确；对于：有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱，例如两个的斜棱柱扣到一起，也满足这种情况，但是不是棱柱，故错误．故选：．9．有以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；②棱台的两个底面一定是相似多边形；③连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线；④用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台．其中的正确命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【解析】对于①，以直角梯形的垂直于底的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台，故①错误；对于②，棱台的两个底面一定是相似多边形，故②正确；对于③，连接圆柱的上、下底面圆周上任意平行母线上的两点的线段是圆柱的母线，故③错误；对于④，用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，故④正确．故选：．10．下列说法正确的是①棱柱的侧棱都相等；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得到旋转体是圆台；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④通过圆台侧面上一点有无数条母线．A．①② B．①③ C．②④ D．③④【解析】由棱柱的定义可知，棱柱的侧面是平行四边形，所有侧棱都相等，故①正确；以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台，故②错误；用平行于底面的截面截圆锥，上部分为小圆锥，下部分为圆台，故③正确；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，故④错误．故选：．11．已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为A． B．9 C．3 D．【解析】设圆锥的母线长为，则，可得，设圆锥的底面半径为，则，得，圆锥的高为．故选：．12．已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为A． B． C． D．【解析】设圆锥半径为，母线为，则圆锥的侧面积为，由题意得，解得，圆锥底面圆的周长即为侧面展开图扇形的弧长为，该扇形的圆心角为．故选：．13．已知圆台形的木桶的上、下底面的半径分别为4和2，木桶的高为，则该木桶的侧面展开成的扇环所对的圆心角为A． B． C． D．【解析】圆台形的木桶的上、下底面的半径分别为4和2，木桶的高为，如图，将圆台补成圆锥，则，，，，由圆锥的结构特征可知，该木桶的侧面展开成的扇环的外圆的周长为，扇形所对外圆弧的长为，该木桶的侧面展开成的扇环所对的圆心角为．故选：．14．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是A．1 B．2 C．3 D．4【解析】设圆锥的半径为，母线长为，侧面展开图是一个半圆，则，即，又圆锥的表面积为，则，解得，．这个圆锥的底面直径是．故选：．15．用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．椭圆【解析】用一个平面去截一个圆台，截面平行于底面，截面为圆面，截面与底面不平行也不相交，得到椭圆，截面与圆台的轴平行时，可以得到梯形．图形不可能是矩形．故选：．16．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式，一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为，若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为A．15 B． C． D．12【解析】设一个圆锥的侧面展开图是半径为27，圆心角为的扇形，设该圆锥的底面半径为，，解得，该圆锥的高为，侧面展开图是半径为12，圆心角为的扇形的圆锥的高为，若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为．故选：．17．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径与母线长的比为A． B． C． D．【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，圆锥的侧面展开图为一个半圆，，解得．故选：．18．已知圆锥的高为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A． B． C． D．【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，圆锥的高为，其侧面展开图为一个半圆，，解得，，解得，．该圆锥的母线长为．故选：．19．在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．四棱台【解析】根据棱锥的结构特征可判断，余下部分是四棱锥，故选：．20．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为A．2 B． C．4 D．【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥的侧面展开图是一个半圆，圆锥的侧面展开扇形的弧长为：，圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，，，故选：．21．现有两个所有棱长都是2的正四棱锥，让它们的底面完全重合，拼成一个新的多面体，则下列结论错误的是A．这个多面体有8个面和12条棱 B．这个多面体有6对棱互相平行 C．这个多面体有4对面互相垂直 D．这个多面体所有的顶点在一个半径为的球面上【解析】如图所述，对于，该多面体是棱长为2的8面体，且有12条棱，选项正确；对于，连接、，则、交于点，则、互相平分，所以四边形是平行四边形，所以，同理，这个多面体有6对棱互相平行，选项正确；对于，这个多面体中相邻的两个平面不垂直，相对的两个平面也不垂直，所以没有所在的平面互相垂直，选项错误；对于，以为球心，各个顶点到球心的距离相等，都等于．所以选项正确．故选：．22．在三棱锥中，顶点到、和的距离都相等，则点是的A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【解析】在三棱锥中，由于点到，，的距离相等，如图所示：即：，由于平面，所以，利用勾股定理，，所以点为的内切圆圆心，即的内心；故选：．23．某圆锥的母线长为，底面半径长为，则该圆锥的高为A． B． C． D．【解析】因为圆锥的母线长为，底面半径长为，所以该圆锥的高为．故选：．24．已知圆锥的轴截面为正三角形，且侧面积是，则该圆锥的高为A． B． C． D．【解析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，因为圆锥的轴截面为正三角形，则，且，因为圆锥的侧面积是，则，解得，所以圆锥的高．故选：．25．如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是A． B． C． D．【解析】当竖直的平面不过圆柱的轴时，截面可能为选项．故选：．26．《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点、以正八棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则这样的阳马的个数是A．48 B．32 C．24 D．8【解析】如图，在正八边形中，矩形有，，，，，，共6个．所以以棱柱的下底面为底面的阳马有个，同理，以棱柱的上底面为底面的阳马有个，共有48个．故选：．27．下面四个几何体中，是棱台的是A． B． C． D．【解析】选项是圆台，选项中四条棱的延长线没有相交于一点，不是棱台，选项是棱锥．故选：．28．下列几何体中，面的个数最少的是A．四面体 B．四棱锥 C．四棱柱 D．四棱台【解析】四面体有4个面，四棱锥有5个面，四棱柱和四棱台有6个面．故选：．29．下列说法中正确的是A．圆锥的轴截面一定是等边三角形 B．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台 C．三棱柱的侧面为三角形 D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形【解析】圆锥的轴截面一定是等腰三角形，但不一定是等边三角形，只有当母线与底面圆的直径相等时，才为等边三角形，即选项错误；只有用与棱锥底面平行的平面去截棱锥，才会得到一个棱锥和一个棱台，即选项错误；三棱柱的侧面是平行四边形，即选项错误；三棱锥的侧面和底面都是三角形，即选项正确．故选：．二．填空题30．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为．【解析】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的母线长为，侧面展开图是一个半圆，所以，解得，所以底面圆的半径为．故答案为：．31．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为．【解析】圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，所以，解得，所以该圆锥的母线长为．故答案为：．32．已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥母线的长为．【解析】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，因为圆锥的侧面积为，所以，则①，又过轴的截面为正三角形，则②，由①②可得，，所以该圆锥母线的长为．故答案为：．33．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为，母线与轴的夹角为，则这个圆台的轴截面的面积等于．【解析】设圆台的下底面半径为，上底面半径为；由，得；由圆台的高为，母线与轴的夹角为，如图所示；则，即，解得，所以；所以圆台的轴截面的面积为．故答案为：．34．面数最少的棱台为棱台；共有个面围成．【解析】由棱台的定义得：面数最少的棱台为三棱台，共有5个面围成．故答案为：三，5．35．如图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为，则它的侧棱长为．【解析】连结，，过作，交于点，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为，，，它的侧棱长．故