福建省泉州市某中学2024届中考一模数学试题含解析

福建省泉州市实验中学2024年中考一模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.如图，A,B是半径为1的。O上两点，且OAJ_OB.点P从A出发，在。O上以每秒一个单位长度的速度匀速运

动，回到点A运动结束.设运动时间为x,弦BP的长度为y,那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是

A.①B.④C.②或④D.①或③

2.如图，AB〃CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F,AMJ_EF于点M,若NEAM=10。，那么NCFE等于()

A.80°B.85°C.100°D.170°

3.将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为()

A.y=(x+2)2-5B.y=(x+2)2+5C.y=(x-2)2-5D.y=(x-2)2+5

4.计算(-ab2)3的结果是()

A.-3ab2B.a3b6C.-a3bsD.-a3b6

5.已知二次函数y=ax1+bx+c(a#0)的图象如图所示，则下列结论：①abc<0；②2a+b=0;③ft2—4ac<0；④9a+3b+c

>0;⑤c+8aV0.正确的结论有().

6.如图，△ABC的内切圆。O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD=2,BC=5,则^ABC的周长为（

J

Ei

A.16B.14C.12D.10

7.如图钓鱼竿AC长6/小露在水面上的鱼线BC长3am，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15。

到的位置，此时露在水面上的鱼线长度是（）

C

/

aB

A.3mB.3GmC.2GtnD.

8.如图，AD为△ABC的中线，点E为AC边的中点,连接DE,则下列结论中不一定成立的是（）

A

BDC

A.DC=DEB.AB=2DEC.SCUE=-SABCD.DE/7AB

A4A

与X轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数y=k在第

9.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kix+2（ki#0）

X

二象限内的图象交于点C,连接OC,若SAOBC=LtanZBOC=",则k2的值是（）

3

2

10.下面调查方式中，合适的是（）

A.调查你所在班级同学的体重，采用抽样调查方式

B.调查乌金塘水库的水质情况，采用抽样调查的方式

C.调查《CBA联赛》栏目在我市的收视率，采用普查的方式

D.要了解全市初中学生的业余爱好，采用普查的方式

11.若代数式—有意义，则实数x的取值范围是（）

x—2

A.x=0B.x=2C.xgOD.x#2

12.有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.点A（1,2）,B（n,2）都在抛物线y=x2-4x+m上，则n=.

14.如图，正A,48c的边长为2,点力、脚半径为力的圆上，点（在圆内，将正』/反，绕点力逆时针针旋转，当点0第一次落

在圆上时，旋转角的正切值为

15.一个布袋中装有1个蓝色球和2个红色球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回摇匀，再随机摸

出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是.

16.在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，

2

它是白球的概率为则黄球的个数为.

17.数学的美无处不在.数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，

如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐.例如，三根弦长度之比是15：12：10,把它们绷得一样

紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so,研究15、12、10这三个数的倒数发现:

我们称15、12、10这三个数为一组调和数.现有一组调和数：x,5,3（x>5）,则x的值是

12151012

18.若正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

xx+y

19.（6分）解方程组：,J

--——=1

xx+y

20.（6分）九（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学生分别选一个活动项目），并根据调

查结果列出统计表，绘制成扇形统计图.

男、女生所选项目人数统计表学生所选项目人敷扇形统计图

项目男生人数女生人数

机器人79

3D打印m4

航模22

其他5

根据以上信息解决下列问题:加=,n=;扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数

为°;从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状图或列表）

求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.

21.（6分）在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8,现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,连接DF.

（1）说明ABEF是等腰三角形;

（2）求折痕EF的长.

22.（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2平移，使平移后的抛物线经过点A（-3,0）、B（1,0）.

⑴求平移后的抛物线的表达式.

⑵设平移后的抛物线交y轴于点C,在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P,当BP与CP之和最小时，P点坐标是

多少？

⑶若y=x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M,使得以M、

O、D为顶点的三角形ABOD相似？若存在，求点M坐标；若不存在，说明理由.

23.(8分)在RtAABC中，NC=90。，ZB=30°,AB=10,点D是射线CB上的一个动点，AADE是等边三角形,

点F是AB的中点，连接EF.

(1)如图，点D在线段CB上时，

①求证：△AEF^AADC；

②连接BE,设线段CD=x,BE=y,求y2-x2的值；

(2)当NDAB=15。时，求AADE的面积.

24.(10分)定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆.

如图所示，已知：是AABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，AD_LIC于点D.

(1)试探究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论.

DEmn

(2)设AB=AC=5,BC=6,如果△DIE和△AEF的面积之比等于m,一-=n,试作出分别以一，一为两根且二

EFnm

25.(10分)某化妆品店老板到厂家选购4、B两种品牌的化妆品，若购进4品牌的化妆品5套，8品牌的化妆品6

套，需要950元；若购进A品牌的化妆品3套，8品牌的化妆品2套，需要450元.

（1）求A、8两种品牌的化妆品每套进价分别为多少元？

（2）若销售1套A品牌的化妆品可获利30元，销售1套3品牌的化妆品可获利20元；根据市场需求，店老板决定

购进这两种品牌化妆品共50套，且进货价钱不超过4000元，应如何选择进货方案，才能使卖出全部化妆品后获得最

大利润，最大利润是多少？

26.（12分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度AB的长，他过4、B两点画两条相交于点O的射线，

在射线上取两点D、E,使—,若测得。£=37.2米，他能求出4B之间的距离吗？若能，

OBOA3

请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案.

27.（12分）小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报

社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元.

（1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；

（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1,D

【解题分析】

分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题.

【题目详解】

解：当点尸顺时针旋转时，图象是③，当点尸逆时针旋转时，图象是①.

故选D.

2、C

【解题分析】

根据题意，求出NAEM,再根据AB〃CD,得出NAEM与NCFE互补，求出NCFE.

【题目详解】

VAMXEF,ZEAM=10°

:.ZAEM=80°

又TAB〃CD

.•.ZAEM+ZCFE=180°

.,.ZCFE=100°.

故选C.

【题目点拨】

本题考查三角形内角和与两条直线平行内错角相等.

3、A

【解题分析】

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【题目详解】

抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0）,

先向左平移2个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（-2,-1）,

所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2-1.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键.

4、D

【解题分析】

根据积的乘方与幕的乘方计算可得.

【题目详解】

解：（-ab2）3=-a3b6,

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查新的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方与幕的乘方的运算

法则.

5、C

【解题分析】

由抛物线的开口方向判断a与。的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴

交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【题目详解】

.b

解：抛物线开口向下，得：a<0；抛物线的对称轴为x=-----=1,则b=-2a,2a+b=0,b=-2a,故b>0；抛物线交y轴

2a

于正半轴，得：c>0.

.,.abc<0,①正确；

2a+b=0,②正确；

由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则A=b2-4ac>0,故③错误；

由对称性可知，抛物线与x轴的正半轴的交点横坐标是x=3,所以当x=3时，y=9a+3b+c=0,故④错误；

观察图象得当x=-2时，y<0,

即4a-2b+c<0

Vb=-2a,

.".4a+4a+c<0

即8a+c<0,故⑤正确.

正确的结论有①②⑤，

故选:C

【题目点拨】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换,

根的判别式的熟练运用.

6,B

【解题分析】

根据切线长定理进行求解即可.

【题目详解】

,.•△ABC的内切圆。O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,

/.AF=AD=2,BD=BE,CE=CF,

VBE+CE=BC=5,

.•.BD+CF=BC=5,

/.△ABC的周长=2+2+5+5=14,

故选B.

【题目点拨】

本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.

7、B

【解题分析】

因为三角形ABC和三角形4万。均为直角三角形，且8C、夕。都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求

出NCA5,进而得出NCA夕的度数，然后可以求出鱼线aC长度.

【题目详解】

版.../「An—BC3\/2V2

解：.sinZCAB=---------------=-----

AC62

：.ZCAB=45°.

"：ZC'AC=15°,

：.ZC'AB'=M)°.

..皿B'C6

..sin60=------=,

62

解得：B'C'=3y/3.

故选：B.

【题目点拨】

此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题.

8、A

【解题分析】

根据三角形中位线定理判断即可.

【题目详解】

TAD为AABC的中线，点E为AC边的中点，

11

.*.DC=-BC,DE=-AB,

22

VBC不一定等于AB,

...DC不一定等于DE,A不一定成立；

.,.AB=2DE,B一定成立；

SACDE=_SAABC,C一定成立；

4

DE〃AB,D一定成立；

故选A.

【题目点拨】

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

9、C

【解题分析】

如图，作CH_Ly轴于H.通过解直角三角形求出点C坐标即可解决问题.

【题目详解】

解：如图，作CHJ_y轴于H.

2

.,.CH=1,

CH1

.tanZBOC=-----=一,

OH3

.,.0H=3,

AC(-1,3),

把点C(-1,3)代入y=乙，得到k2=-3,

x

故选C.

【题目点拨】

本题考查反比例函数于一次函数的交点问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三

角形解决问题，属于中考常考题型.

10、B

【解题分析】

由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似.

【题目详解】

A、调查你所在班级同学的体重，采用普查，故A不符合题意；

B、调查乌金塘水库的水质情况，无法普查，采用抽样调查的方式，故B符合题意；

C、调查《CBA联赛》栏目在我市的收视率，调查范围广适合抽样调查，故C不符合题意；

D、要了解全市初中学生的业余爱好，调查范围广适合抽样调查，故D不符合题意；

故选B.

【题目点拨】

本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，

对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关

重大的调查往往选用普查.

11、D

【解题分析】

根据分式的分母不等于0即可解题.

【题目详解】

V2

解：1•代数式，有意义，

x-2

.♦.X-2邦，即x^2,

故选D.

【题目点拨】

本题考查了分式有意义的条件，属于简单题，熟悉分式有意义的条件是解题关键.

12、C

【解题分析】

矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.

共3个既是轴对称图形又是中心对称图形.

故选C.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、1

【解题分析】

根据题意可以求得m的值和n的值，由A的坐标，可确定B的坐标，进而可以得到n的值.

【题目详解】

:,点A(1,2),B(n,2)都在抛物线y=x2-4x+m上，

|2=1-4+tn,

^2=n2-4n+m

解得［加=5或血=5,

%=3I”=/

...点B为（1,2）或（1,2）,

•.,点A（1,2）,

•••点B只能为（1,2）,

故n的值为1,

故答案为：1.

【题目点拨】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求解.

14、造

~3

【解题分析】

作辅助线，首先求出NDAC的大小，进而求出旋转的角度，即可得出答案.

【题目详解】

如图，分别连接OA、OB、OD；

VOA=OB=X5，AB=2,

•••△OAB是等腰直角三角形，

.,.ZOAB=45°；

同理可证：ZOAD=45°,

二ZDAB=90°；

VZCAB=60°,

:.ZDAC=90°-60o=30o,

.•.旋转角的正切值是必，

故答案为：立.

【题目点拨】

此题考查等边三角形的性质，旋转的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形，解题关键在于作辅助线.

4

15、-

9

【解题分析】

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况，再利用概率公式即

可求出答案.

【题目详解】

画树状图得：

第一次.fff

第二次,蓝红A红蓝A红红瞌A红红

•.•共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的由4种情况,

4

，两次摸出的球都是红球的概率是一，

9

4

故答案为

【题目点拨】

本题主要考查了求随机事件概率的方法，解本题的要点在于根据题意画出树状图，从而求出答案.

16>1

【解题分析】

首先设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程即可求得答案.

解：设黄球的个数为x个，

Q

根据题意得：『一=2/3解得：x=l.

二黄球的个数为1.

17、1.

【解题分析】

依据调和数的意义，有=：-解得x=L

5x35

18、延

3

【解题分析】

根据题意画出草图，可得OG=2,NQ48=60。，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.

【题目详解】

解：如图，连接。4、OB,作OG_LAB于G；

则OG=2,

V六边形ABCDEF正六边形,

二03是等边三角形，

AZOAB=60°,

0G

••?=；^_=近2_=4亍73，

T

...正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为生8.

3

故答案为生叵.

3

【题目点拨】

本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题

思路.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

x=l

、＜

19[y=-0.5

【解题分析】

11=3①

设一』，——=b,则原方程组化为'7_,求出方程组的解，再求出原方程组的解即可.

Xx+y[3a-b=l®

【题目详解】

设L二%1

------b

xx+y

a+b=3①

则原方程组化为:

=1②

①+②得：4〃=4,

解得：a=l,

把a=1代入①得：1+b=3,

解得：解2,

=2

x+y

X=1

解得：〈

y=-0.5.

x=l

经检验《是原方程组的解,

y=-0.5

x=1

所以原方程组的解是

5

【题目点拨】

此题考查利用换元法解方程组，注意要根据方程组的特点灵活选用合适的方法.解数学题时，把某个式子看成一个整

体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等

量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单

化，变得容易处理.

20、(1)8,3;(2)144;(3)

3

【解题分析】

试题分析：（1）利用航模小组先求出数据总数，再求出n.（2）小组所占圆心角=生瞿饕；（3）列表格求概

数据总数

试题解析：（1）

(2)144；

⑶将选航模项目的二名男生编上号码:「，将一名女生编上号码：1.用表格列出所有可能出现的结果:

个

第一、\1234

I(1.2)(1,3)(1»4)

2⑵I)(2,3)(2,4)

3(3,i)(3,2)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)

由表格可知，共有二种可能出现的结果，并且它们都是第可能的，其中“：名男生、•.名女生”有s种可能.尸（［名男

生、1名女生）=二=£.（如用树状图，酌情相应给分）

123

考点：统计与概率的综合运用.

21、（1）见解析；（2）—.

2

【解题分析】

(1)根据折叠得出NOEF=N5EF,根据矩形的性质得出AO〃8C,求出NZ)EF=N8尸E,求出NBEF=N8FE即可;

(2)过E作EMLBC于M,则四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=A3=6,AE=3M,根据折叠得出DE=BE,

根据勾股定理求出OE、在RtAEMf1中，由勾股定理求出即可.

【题目详解】

(1)1•现将纸片折叠，使点。与点B重合，折痕为E尸，.•.NOEF=NBE尸.

丫四边形A8CO是矩形，.,.AD//BC,:.NDEF=NBFE,:.NBEF=NBFE,：.BE=BF,即A3EF是等腰三角形；

(2)过E作EM_L8c于M,则四边形A3ME是矩形，所以EM=A8=6,AE=BM.

•.•现将纸片折叠，使点。与点B重合，折痕为£尸，.•.OE=5E,DO=BO,BDLEF.

••・四边形A5CZ)是矩形，BC=8,：.AD=BC=8,ZBAD=90°.

2525725

在RtAABE^,AE2+AB2=BE2,即(8-8E)2+62=BE2,解得：8E=—=DE=BF,AE=8-DE=8------=-=BM,：.FM=一

4444

7_9

-4-2,

Ia-15

在RtAEM尸中，由勾股定理得：EF=.62+(-)2=—.

V22

【题目点拨】

本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键.

22、(1)y=x2+2x-3；(2)点P坐标为(-1,-2)；(3)点M坐标为(-1,3)或(-1,2).

【解题分析】

(1)设平移后抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1).由题意可知平后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相

同，从而可求得a的值，于是可求得平移后抛物线的表达式；

(2)先根据平移后抛物线解析式求得其对称轴，从而得出点C关于对称轴的对称点C，坐标，连接BU,与对称轴交

点即为所求点P，再求得直线BU解析式，联立方程组求解可得；

(3)先求得点D的坐标，由点O、B、E、D的坐标可求得OB、OE、DE、BD的长，从而可得到△EDO为等腰三角

直角三角形，从而可得到NMDO=NBOD=135。，故此当也=变或也=空时，以M、O、D为顶点的三角形

DOOBDOOD

与△BOD相似.由比例式可求得MD的长，于是可求得点M的坐标.

【题目详解】

(1)设平移后抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1),

•.•由平移的性质可知原抛物线与平移后抛物线的开口大小与方向都相同,

，平移后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相同，

••・平移后抛物线的二次项系数为L即a=L

••・平移后抛物线的表达式为y=(x+3)(x-1),

整理得：y=x2+2x-3；

(2)Vy=x2+2x-3=(x+1)2-4,

二抛物线对称轴为直线x=-1,与y轴的交点C(0,-3),

则点C关于直线x=-1的对称点C，(-2,-3),

连接B,C,与直线x=-1的交点即为所求点P,

由B(1,0),C(-2,-3)可得直线BC解析式为y=x-1,

y=x-\

则J

%=-1

解得《

y=-2

所以点P坐标为(-1,-2)；

(3)如图2,

—2r

由｛'-X得'=1，即D(-1,1),

x=-i[y=i

贝！IDE=OD=1,

.,.△DOE为等腰直角三角形，

.,.ZDOE=ZODE=45°,ZBOD=135°,OD=0,

VBO=1,

***BD=，

VZBOD=135°,

.,•点M只能在点D上方，

VZBOD=ZODM=135°,

当也=竺或也="时，以M、O、D为顶点的三角形ABOD相似，

DOOBDOOD

…5DMODeDM>/2»

①若一—=，则一，h=——>解得DM=2,

DOOBV21

此时点M坐标为（-1,3）；

…DMOBDM1”

②若——»则nI一再=K，解得DM=L

DOODV2V2

此时点M坐标为（-1,2）；

综上，点M坐标为（-1,3）或（-1,2）.

【题目点拨】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了平移的性质、翻折的性质、二次函数的图象和性质、待

定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定，证得NODM=NBOD=135。是解题的关

键.

23、(1)①证明见解析；②25；(2)为生5或50百+1.

2

【解题分析】

(1)①在直角三角形ABC中，由30。所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再由F为AB中点，得至！JAC=AF=5,

确定出三角形ADE为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，再由AD=AE,利用SAS即可得证；②由全等三

角形对应角相等得到NAEF为直角，EF=CD=x,在三角形AEF中，利用勾股定理即可列出y关于x的函数解析式；

(2)分两种情况考虑：①当点在线段CB上时；②当点在线段CB的延长线上时，分别求出三角形ADE面积即可.

【题目详解】

(1)、①证明：在R3ABC中，

VZB=30°,AB=10,

.,.ZCAB=60°,AC=-AB=5,

,••点F是AB的中点，

.*.AF=-AB=5,

2

.♦.AC=AF,

•••△ADE是等边三角形，

.♦.AD=AE,ZEAD=60°,

VZCAB=ZEAD,

即NCAD+NDAB=NFAE+NDAB,

ZCAD=ZFAE,

/.△AEF^AADC(SAS)；

(2)VAAEF^AADC,

...ZAEF=ZC=90°,EF=CD=x,

又,•,点F是AB的中点，

AE=BE=y,

在R3AEF中，勾股定理可得：y2=25+x2,

y2-X2=25.

(2)①当点在线段CB上时，由NDAB=15。，可得NCAD=45。，△ADC是等腰直角三角形,

22

二AD=50,AADE的面积为SMD£=^AD-sin60°=年叵?

②当点在线段CB的延长线上时，由NDAB=15。，可得NADB=15。，BD=BA=10,

22

:.在RtAACD中，勾股定理可得AD=200+100百,S^DE=g-AD-sin60°=50垂＞+75

综上所述，△ADE的面积为竺叵或506+75.

2

【题目点拨】

此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

24、(1)D、E、F三点是同在一条直线上.(2)6x2-13x+6=l.

【解题分析】

(1)利用切线长定理及梅氏定理即可求证；

(2)利用相似和韦达定理即可求解.

解：(1)结论：。、E、产三点是同在一条直线上.

证明：分别延长A。、BC交于点K,

由旁切圆的定义及题中已知条件得：AD=DK,AC=CK,

再由切线长定理得：AC+CE=AF,BE=BF,

KDAFBE,

：.KE=AF..•XX=],

ADBFEK

由梅涅劳斯定理的逆定理可证，。、E、厂三点共线,

即O、E、尸三点共线.

(2)'：AB=AC=5,BC=6,

：.A.E、/三点共线，CE=BE=3,AE=4,

连接/尸，贝!]445£62\4//，AADl^^CEl,4、尸、/、。四点共圆.

34

设。/的半径为r,贝！j：-=—,r=6,

r8

A/=10,-^*=w，即A。=2石，[£)=4后，

IDo

・•,由△AE户s2\o£/得：

拽2匹=逑=些2后生=乌瓦上后

84AE82EF25

.rt-5

6

—m—j——n_—13

.Inm6

••)9

mn

-----=11

、nm

nm

因此，由韦达定理可知：分别以一、一为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程是6F-13x+6=L

mn

点睛：本是一道关于圆的综合题.正确分析图形并应用图形的性质是解题的关键.

25、(1)4、8两种品牌得化妆品每套进价分别为100元，75元；(2)4种