新高考数学二轮复习重难点02 一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】（举一反三）（原卷版）

重难点02一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1

一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 2【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 3【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 3【题型4一元二次不等式在实数集上有解问题】 4【题型5一元二次不等式在某区间上有解问题】 5【题型6一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】 6一元二次不等式是高考数学的重要内容.其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力都起到很好的作用.一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用.【知识点1一元二次不等式恒成立、能成立问题】1．一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立SKIPIF1<0a>f(x)max；若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解SKIPIF1<0a>f(x)min；若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解SKIPIF1<0a≤f(x)min.(2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立SKIPIF1<0a<f(x)min；若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解SKIPIF1<0a<f(x)max；若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解SKIPIF1<0a≥f(x)max.【题型1

\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在实数集上恒成立问题"一元二次不等式在实数集上恒成立问题】【例1】（2023·江西九江·校考模拟预测）无论x取何值时，不等式x2−2kx+4>0恒成立，则k的取值范围是（

）A．−∞,−2 B．−∞,−4【变式1-1】（2023·山东潍坊·统考一模）“b∈−2,2”是“∀x∈R，x2−bx+1≥0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2023上·福建三明·高一校联考期中）己知函数f(x)=−x(1)当a=5时，解不等式f(x)<0;(2)若不等式f(x)≤0的解集为R，求实数a的取值范围．【变式1-3】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数fx(1)若对∀x∈R，都有fx>−1成立，求实数(2)解关于x的不等式fx【题型2\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在某区间上的恒成立问题"一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】【例2】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知当x>0时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是（A．−8,8 B．−∞,8 C．−【变式2-1】（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知∀x∈1,2，∀y∈2,3，y2−xy−mxA．4,+∞ B．0,+∞ C．6,+【变式2-2】（2023上·福建莆田·高一校考期中）设函数fx=x(1)若t=1，且对任意的x∈a,a+2，都有fx≤5(2)若对任意的x1,x2∈【变式2-3】（2023上·江苏盐城·高一校联考期中）设函数f(x)=mx(1)若对于x∈[−1,1],f(x)<−m+5恒成立，求m的取值范围；(2)若对于m∈[−2,2],f(x)<−m+5恒成立，求x的取值范围．【题型3给定参数范围的\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在某区间上的恒成立问题"一元二次不等式恒成立问题】【例3】（2022下·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知当−1≤a≤1时，x2+a−4x+4−2a>0恒成立，则实数A．−∞,3C．−∞,1【变式3-1】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）若命题“∃−1≤a≤3，ax2−2a−1x+3−a<0A．x−1≤x≤4 B．C．x−1≤x≤0或【变式3-2】（2023上·浙江宁波·高一校考阶段练习）（1）解关于x不等式ax（2）若对于−2≤m≤2，不等式mx2−mx−1<−m+5【变式3-3】（2023上·山东潍坊·高一校考阶段练习）已知关于x的不等式2x−1>m(x(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于m∈−2,2恒成立，求实数x(3)若不等式对x∈[2,+∞)有解，求【题型4\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在某区间上的恒成立问题"一元二次不等式在实数集上有解问题】【例4】（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若命题“∃x∈R，x2−2mx+m+2<0”为真命题，则实数m的取值范围是（A．m<−1或m>2 B．m≤−1或m≥2C．−1≤m≤2 D．−1<m<2【变式4-1】（2023上·高一课时练习）若存在x∈R，使得4x+mx2A．mm≤0 B．C．mm≥−2 D．【变式4-2】（2022上·湖南·高一统考期末）设函数fx(1)若不等式fx<0的解集为1,2，求实数a，(2)若f−1=5，且存在x∈R，使fx【变式4-3】（2022上·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知fx=x(1)若fx<0的解集是x−3<x<6，求a(2)若不等式fx<0有解，且解区间的长度不超过5个单位长度，求实数【题型5\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在某区间上的恒成立问题"一元二次不等式在某区间上有解问题】【例5】（2023·河南·长葛市统考模拟预测）已知命题“∃x0∈−1,1，−xA．−∞,−2 B．−∞,4【变式5-1】（2023上·福建·高一校联考期中）若至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3−3x−a>x2+2xA．−374,3 B．−3,13【变式5-2】（2023上·重庆·高一校联考阶段练习）已知函数fx(1)解关于x的不等式fx(2)若不等式fx<0在x∈−2,0【变式5-3】（2023上·山东淄博·高一校考期中）设函数fx(1)若命题：∃x∈R,fx(2)若存在x∈−4,0,fx【题型6一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】【例6】（2023上·浙江台州·高一校联考期中）已知函数fx=2x2(1)当a=1时，解不等式fx(2)若任意x>0，都有fx>gx(3)若∀x1∈0,1，∃x【变式6-1】（2022上·重庆渝中·高一校考阶段练习）若命题p：存在1≤x≤2,x2−x+3−a<0，命题q：二次函数y=x2(1)若命题p,q中至少有一个真命题，求a的取值范围？(2)对任意的−1≤a≤1，存在0≤b≤2，使得不等式x2−2ax+a≥|b−1|+|b−2|成立，求【变式6-2】（2023下·浙江·高二统考学业考试）设二次函数f(x)=x(1)若c=b，且f(x)在[0,2]上的最大值为c+2，求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的实数b，都存在实数x0∈[1,2]，使得不等式|f(x【变式6-3】（2023上·天津北辰·高一校考阶段练习）已知函数y1=x+m和（1）若c=2−a，关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是x−1<x<3.求实数（2）若c=2−a，b=2，a≥0，解关于x的不等式ax（3）若a=1，b=−m，c=m22+2m−3，对∀x1∈x0≤x≤1，总∃x2∈x1≤x≤2，使得y11．（2005·辽宁·高考真题）定义在R上的运算：x∗y=x(1−y).若不等式(x−a)∗(x+a)<1对任意实数x都成立，则（

）A．−32<a<12 B．2．（2008·宁夏·高考真题）已知a1>a2>aA．0,1a1 B．0,23．（2014·江苏·高考真题）已知函数f(x