新高考数学二轮复习培优专题训练专题18 圆锥曲线的综合应用（解答题）（原卷版）

专题18圆锥曲线的综合应用（解答题）1、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率是SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点分别为SKIPIF1<0，证明：线段SKIPIF1<0的中点为定点．2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点P．证明:点SKIPIF1<0在定直线上.3、【2022年全国甲卷】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点Dp,0，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．4、【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,−2(1)求E的方程；(2)设过点P1,−2的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH5、【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求6、【2022年新高考2卷】已知双曲线C:x2a2−(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点Px1,y1,Qx2,y2在C上，且x1>①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.题型一圆锥曲线中的最值问题1-1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E：SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点SKIPIF1<0作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求SKIPIF1<0的最大值．1-2、（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别SKIPIF1<0、SKIPIF1<0焦距为2，且与双曲线SKIPIF1<0共顶点．P为椭圆C上一点，直线SKIPIF1<0交椭圆C于另一点Q．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为SKIPIF1<0，求过P、Q、SKIPIF1<0三点的圆的方程；(3)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．1-3、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且椭圆的长轴长为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0的取值范围．题型二圆锥曲线中的定点问题2-1、（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，过左焦点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点.当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为3.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)证明：以SKIPIF1<0为直径的圆经过定点.2-2、（2023·山西·统考一模）双曲线SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，证明直线SKIPIF1<0过定点.题型三圆锥曲线中的定值问题3-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三个点在椭圆SKIPIF1<0，椭圆外一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0为坐标原点）.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)证明：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0斜率之积为定值.3-2、（2022·山东青岛·高三期末）已知SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，原点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，证明：SKIPIF1<0的面积为定值.题型四圆锥曲线中的角度问题4-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，点SKIPIF1<0，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)设直线SKIPIF1<0与C的另一个交点分别为A，B，记直线SKIPIF1<0的倾斜角分别为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0取得最大值时，求直线AB的方程．4-2、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线SKIPIF1<0的实轴长为4，左､右顶点分别为SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的右支分别交于SKIPIF1<0两点，其中点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方.当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0(1)设直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.题型五圆锥曲线中的探索性问题5-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率是SKIPIF1<0，P为椭圆上的动点.当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0（1）求椭圆的方程：（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有SKIPIF1<0，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由5-2、（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的“姊妺”圆锥曲线，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的离心率，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左､右顶点.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)设过点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0交双曲线SKIPIF1<0右支于SKIPIF1<0两点，若直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0.（i）试探究SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的比值SKIPIF1<0是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求SKIPIF1<0的取值范围.1、（2023·安徽安庆·校考一模）已知椭圆SKIPIF1<0的焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0.（1）求椭圆的标准方程；（2）点SKIPIF1<0在椭圆上，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的大小.2、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知双曲线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的右顶点，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于不同于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若以SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，证明：存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值.3、(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B．F是椭圆的右焦点，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)＝3．(1)求椭圆C的方程；(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2．若k(k1＋k2)＝1，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．4、（2022·山东枣庄·高三期末）如图，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的左顶点，过原点且异于SKIPIF1<0轴的直线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的另一交点分别为SKIPIF1<0．5、（2023·山西晋中·统考三模）椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，过左焦点SKIPIF1<0的直线与椭圆交于SKIPIF1<0两点（其中SKIPIF1<0点位于x轴上方），当SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<