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文档简介
专题18圆锥曲线的综合应用(解答题)1、(2023年全国乙卷数学(文)(理))已知椭圆SKIPIF1<0的离心率是SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上.(1)求SKIPIF1<0的方程;(2)过点SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点分别为SKIPIF1<0,证明:线段SKIPIF1<0的中点为定点.2、(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为SKIPIF1<0,离心率为SKIPIF1<0.(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点P.证明:点SKIPIF1<0在定直线上.3、【2022年全国甲卷】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点Dp,0,过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于(1)求C的方程;(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α−β取得最大值时,求直线AB的方程.4、【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A0,−2(1)求E的方程;(2)设过点P1,−2的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足MT=TH5、【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=22,求6、【2022年新高考2卷】已知双曲线C:x2a2−(1)求C的方程;(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点Px1,y1,Qx2,y2在C上,且x1>①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.题型一圆锥曲线中的最值问题1-1、(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知椭圆E:SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0,且经过点SKIPIF1<0.(1)求椭圆E的标准方程:(2)过椭圆E的左焦点SKIPIF1<0作直线l与椭圆E相交于A,B两点(点A在x轴上方),过点A,B分别作椭圆的切线,两切线交于点M,求SKIPIF1<0的最大值.1-2、(2023·江苏南京·校考一模)在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别SKIPIF1<0、SKIPIF1<0焦距为2,且与双曲线SKIPIF1<0共顶点.P为椭圆C上一点,直线SKIPIF1<0交椭圆C于另一点Q.(1)求椭圆C的方程;(2)若点P的坐标为SKIPIF1<0,求过P、Q、SKIPIF1<0三点的圆的方程;(3)若SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值.1-3、(2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模)已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,且椭圆的长轴长为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程;(2)设经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0的取值范围.题型二圆锥曲线中的定点问题2-1、(2023·江苏南通·统考一模)已知双曲线SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0,过左焦点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点.当SKIPIF1<0轴时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积为3.(1)求SKIPIF1<0的方程;(2)证明:以SKIPIF1<0为直径的圆经过定点.2-2、(2023·山西·统考一模)双曲线SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0,且过点SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程;(2)若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,且SKIPIF1<0,证明直线SKIPIF1<0过定点.题型三圆锥曲线中的定值问题3-1、(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三个点在椭圆SKIPIF1<0,椭圆外一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,(SKIPIF1<0为坐标原点).(1)求SKIPIF1<0的值;(2)证明:直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0斜率之积为定值.3-2、(2022·山东青岛·高三期末)已知SKIPIF1<0为坐标原点,点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上,椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程;(2)若点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上,原点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心,证明:SKIPIF1<0的面积为定值.题型四圆锥曲线中的角度问题4-1、(2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测)设抛物线SKIPIF1<0的焦点为F,点SKIPIF1<0,过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,SKIPIF1<0.(1)求C的方程;(2)设直线SKIPIF1<0与C的另一个交点分别为A,B,记直线SKIPIF1<0的倾斜角分别为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0取得最大值时,求直线AB的方程.4-2、(2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模)已知双曲线SKIPIF1<0的实轴长为4,左、右顶点分别为SKIPIF1<0,经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的右支分别交于SKIPIF1<0两点,其中点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方.当SKIPIF1<0轴时,SKIPIF1<0(1)设直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值;(2)若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的面积.题型五圆锥曲线中的探索性问题5-1、(2023·江苏泰州·泰州中学校考一模)已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,离心率是SKIPIF1<0,P为椭圆上的动点.当SKIPIF1<0取最大值时,SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0(1)求椭圆的方程:(2)若动直线l与椭圆E交于A,B两点,且恒有SKIPIF1<0,是否存在一个以原点O为圆心的定圆C,使得动直线l始终与定圆C相切?若存在,求圆C的方程,若不存在,请说明理由5-2、(2023·安徽·统考一模)我们约定,如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴,则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆SKIPIF1<0,双曲线SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的“姊妺”圆锥曲线,SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的离心率,且SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程;(2)设过点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0交双曲线SKIPIF1<0右支于SKIPIF1<0两点,若直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0.(i)试探究SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的比值SKIPIF1<0是否为定值.若是定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由;(ii)求SKIPIF1<0的取值范围.1、(2023·安徽安庆·校考一模)已知椭圆SKIPIF1<0的焦点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,上顶点为SKIPIF1<0.(1)求椭圆的标准方程;(2)点SKIPIF1<0在椭圆上,若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的大小.2、(2023·黑龙江大庆·统考一模)已知双曲线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有相同的焦点,且焦点到渐近线的距离为2.(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程;(2)设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的右顶点,直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于不同于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,若以SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,证明:存在定点SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0为定值.3、(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:EQ\F(x\S(2),a\S(2))+\F(y\S(2),b\S(2))=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B.F是椭圆的右焦点,EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)=3EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB),EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)=3.(1)求椭圆C的方程;(2)不过点A的直线l交椭圆C于M,N两点,记直线l,AM,AN的斜率分别为k,k1,k2.若k(k1+k2)=1,证明直线l过定点,并求出定点的坐标.4、(2022·山东枣庄·高三期末)如图,SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的左顶点,过原点且异于SKIPIF1<0轴的直线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点,直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的另一交点分别为SKIPIF1<0.5、(2023·山西晋中·统考三模)椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0,过左焦点SKIPIF1<0的直线与椭圆交于SKIPIF1<0两点(其中SKIPIF1<0点位于x轴上方),当SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴时,SKIPIF1<
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