新高考数学二轮复习培优专题训练专题12 运用空间向量研究立体几何问题（1）（解析版）

专题12运用空间向量研究立体几何问题（1）1、（2023年全国甲卷数学（理））在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为1．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0距离为2，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）如图，

SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面ACC1A1，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为1，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，过B作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于D，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，由直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0距离为2，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距离也为1，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0.2、（2023年新课标全国Ⅰ卷）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，当二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析；(2)1【详解】（1）以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，如图，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0不在同一条直线上，SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<03、（2023年新课标全国Ⅱ卷）如图，三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为BC的中点．

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)点F满足SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0．【详解】（1）连接SKIPIF1<0，因为E为BC中点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为等边三角形，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0②，由①②，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．以点SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的一个法向量分别为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0平面角为SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．所以二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0．4、（2023年全国乙卷数学(理)（文））如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，SKIPIF1<0，点F在AC上，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)证明：平面SKIPIF1<0平面BEF；(3)求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)SKIPIF1<0.【详解】（1）连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，由SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

（2）由（1）可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（3）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又由（2）知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，因为SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，因此SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，即有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0.

5、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．【解析】(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因为CD//AB,AD=CD=CB=1,AB=2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE=BF=1故DE=32，所以AD所以AD⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD=D，所以BD⊥平面PAD，又因PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA；(2)解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD=3则A(1,0,0),B(0,3则AP=(−1,0,设平面PAB的法向量n=(x,y,z)则有{n→⋅则cos〈所以PD与平面PAB所成角的正弦值为55

6、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．【解析】(1)因为AD=CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因为AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB=CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；又因为DE,BE⊂平面BED，DE∩BE=E，所以AC⊥平面BED，因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.(2)连接EF，由（1）知，AC⊥平面BED，因为EF⊂平面BED，所以AC⊥EF，所以S△AFC当EF⊥BD时，EF最小，即△AFC的面积最小.因为△ABD≌△CBD，所以CB=AB=2，又因为∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形，因为E为AC的中点，所以AE=EC=1，BE=3因为AD⊥CD，所以DE=1在△DEB中，DE2+B以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz，则A1,0,0,B0,设平面ABD的一个法向量为n=则n⋅AD=−x+z=0n⋅又因为C−1,0,0,F0,所以cosn设CF与平面ABD所成的角的正弦值为θ0≤θ≤所以sinθ=所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为437、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A1B1C

(1)求A到平面A1BC(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A【解析】(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，设点则VA−解得ℎ=2所以点A到平面A1BC的距离为(2)取A1B的中点E,连接AE,如图，因为AA又平面A1BC⊥平面ABB1A且AE⊂平面ABB1A1，所以在直三棱柱ABC−A1B1C由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC可得AE⊥BC，又AE,BB1⊂平面ABB1所以BC,BA,BB1两两垂直，以由（1）得AE=2，所以AA1=AB=2，则A(0,2,0),A1(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以A则BD=(1,1,1)，BA设平面ABD的一个法向量m=(x,y,z)，则{可取m=(1,0,−1)设平面BDC的一个法向量n=(a,b,c)，则{可取n=(0,1,−1)则cos〈所以二面角A−BD−C的正弦值为1−(12)2=32.

8、【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，(1)证明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．【解析】(1)证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，因为PO是三棱锥P−ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO,BO⊂平面ABC，所以PO⊥AO、PO⊥BO，又PA=PB，所以△POA≅△POB，即OA=OB，所以∠OAB=∠OBA，又AB⊥AC，即∠BAC=90°，所以∠OAB+∠OAD=90°，∠OBA+∠ODA=90°，所以∠ODA=∠OAD所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以OE//又OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，所以OE//平面(2)解：过点A作Az//因为PO=3，AP=5，所以OA=A又∠OBA=∠OBC=30°，所以BD=2OA=8，则AD=4，AB=43所以AC=12，所以O23,2,0，B43,0,0，则AE=33,1,3设平面AEB的法向量为n=x,y,z，则n⋅AE=33x+y+32设平面AEC的法向量为m=a,b,c，则m⋅AE=33a+b+32所以cos设二面角C−AE−B为θ，由图可知二面角C−AE−B为钝二面角，所以cosθ=−4故二面角C−AE−B的正弦值为11题组一、线面角1-1、（2023·安徽宿州·统考一模）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0靠近点SKIPIF1<0的三等分点.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2)SKIPIF1<0【分析】(1)记SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0靠近点SKIPIF1<0的三等分点，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，根据线面平行判定定理证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)建立空间直角坐标系，求直线SKIPIF1<0的方向向量和平面SKIPIF1<0的法向量，根据向量夹角公式求两向量的夹角余弦，由此可得SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值.【详解】（1）记SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0靠近点SKIPIF1<0的三等分点，连接SKIPIF1<0又SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0靠近点SKIPIF1<0的三等分点.所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即四边形ADEF为平行四边形，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）在BC上取一点G，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知四边形AGCD为矩形，从而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0底面ABCD，所以AG，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面PBC的一个法向量，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值为SKIPIF1<0.1-2、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）如图，在正三棱柱SKIPIF1<0中，D为棱SKIPIF1<0上的点，E，F，G分别为AC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若直线FG与平面BCD所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求AD的长．【答案】(1)见解析；(2)SKIPIF1<0【分析】(1)由已知可得SKIPIF1<0，所以E、F、B、G四点共面，再证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0即可证明；(2)以SKIPIF1<0为原点，建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0,求出SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量，由向量的夹角公式建立方程即可求解.【详解】（1）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为E，F，G分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以E、F、B、G四点共面，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）以SKIPIF1<0为原点，建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故AD的长SKIPIF1<0.1-3、（2023·山西晋中·统考三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E是CD的中点，AE与BD交于点F，G是SKIPIF1<0的重心．(1)求证：SKIPIF1<0平面PCD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，求直线AG与平面PBD所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0．【详解】（1）证明：连接AG并延长交PD于H，∵G为SKIPIF1<0的重心，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面PCD，SKIPIF1<0平面PCD，∴SKIPIF1<0平面PCD．（2）连接PG并延长交AD于O，显然O为AD的中点，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．取BC中点M，以O为坐标原点，OA，OM，OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则PO=2，于是，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设平面PBD的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，不妨取z=1，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴AG与平面PBD所成角的正弦值为SKIPIF1<0题组二、面面角2-1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，在长方体SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为2的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.(1)证明：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由三角形中位线定理结合已知条件可得四边形SKIPIF1<0是平行四边形，则SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】（1）证明：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0.（2）解：以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.取平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，由图可知SKIPIF1<0为锐角，则SKIPIF1<0故平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0.2-2、（2023·山西临汾·统考一模）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）将SKIPIF1<0补全为矩形SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，建立空间直角坐标系，计算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的数量积，证明SKIPIF1<0；（2）求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的法向量，计算夹角余弦的绝对值，可得所求.【详解】（1）证明：过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，即SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以平行四边形SKIPIF1<0为矩形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系.则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0.2-3、（2023·云南红河·统考一模）如图，在多面体ABCDEF中，A，B，C，D四点共面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AF⊥平面ABCD，SKIPIF1<0．(1)求证：CD⊥平面ADF；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值．【答案】(1)见解析；(2)SKIPIF1<0【分析】(1)利用线面垂直的性质和勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直的判定即可证明；(2)建立空间直角坐标系，求出相应的坐标，分别求出平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）因为AF⊥平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以CD⊥AF，AD⊥AF．因为AF∥CE，所以CE⊥平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以CE⊥CD．所以在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，由勾股定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即CD⊥AD．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以CD⊥平面SKIPIF1<0．（2）由（1）得CD⊥AD，当SKIPIF1<0时，点D在线段AC的垂直平分线上，D到直线AC的距离为1，由SKIPIF1<0，AF⊥平面SKIPIF1<0，故以点A为坐标原点，建立如图所示空间直角标系．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0．所以平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0题组三、线面角与面面角的综合3-1、（2023·湖南邵阳·统考三模）如图所示，在直四棱柱ABCD-SKIPIF1<0中，底面ABCD为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为线段SKIPIF1<0上一点.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0与平面ABCD的夹角的余弦值为SKIPIF1<0，求直线BE与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图：SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0.3-2、（2023·湖南岳阳·统考三模）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，D为AC的中点，AB=BC=2，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且满足：三棱柱SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小为60°，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）在三棱柱SKIPIF1<0中，由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵AD=DC，∴SKIPIF1<0，同时在△ABC中，∵AB=BC，AD=DC，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（2）∵SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面ABC，∵SKIPIF1<0平面ABC，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取BC的中点O，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵三棱柱SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0如图所示，建立空间直角坐标系，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则b=0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<01、（2022·山东青岛·高三期末）如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，SKIPIF1<0底面ABCD，M为BC中点，且SKIPIF1<0.（1）求证：面SKIPIF1<0面PDB；（2）若两条异面直线AB与PC所成的角为45°，求面PAM与面PBC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【分析】(1)根据给定条件证明SKIPIF1<0，再结合线面垂直性质推理作答.(2)以SKIPIF1<0点为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.（1）矩形SKIPIF1<0中，M为BC中点，则SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角，即SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0点为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0的余弦值SKIPIF1<02、（2022·山东德州·高三期末）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点Q为BC的中点，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若直线AC与平面SKIPIF1<0所成角的大小为30°，求锐二面角SKIPIF1<0的大小.【答案】（1）证明见解析（2）60°【分析】（1）根据面面垂直性质可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，再根据线面垂直性质可得SKIPIF1<0，再结合直棱柱性质即可证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）先通过线面角证明SKIPIF1<0，再通过建立空间直角坐标系，将锐二面角SKIPIF1<0表示转化为求向量的夹角，即向量法求二面角.（1）证明：取SKIPIF1<0中点D，连结CD，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.（2）连结AD，由（1）知，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是直线AC与平面SKIPIF1<0所成角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.以A为原点，AB，AC，SKIPIF1<0所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0得法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为面SKIPIF1<0的一个法向量.设二面角SKIPIF1<0大小为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以锐二面角SKIPIF1<0的大小为60°.3、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，四边形ABCD是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是PB的中点．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面PBC；(2)若二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，求a的值；(3)在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【答案】(1)见解析；(2)4；(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由线线垂直证SKIPIF1<0平面PBC，再证平面SKIPIF1<0平面PBC；（2）以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，由向量法求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角余弦值，进而由二面角SKIPIF1<0的余弦值建立方程，解得a的值；（3）由向量法求得SKIPIF1<0，即可求得直线PA与平面EAC所成角的