高教社《工程数学》教案

见川交通职业技术学院

教案本

（2019—2020学年第2学期）

课程名称：工程数学

课程代码：010004007

授课学时：64

授课班级：道桥18—1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

地遂18-1,2,3铁道18-1,2

土检18-1,2,3,4

授课教师：王洋、钟韬、霍旻旻

教研室：数学教研室

2020年2月26日

课程学期课表

节次星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

第一

二节

上

午

第三

四节

第五

六节

下

午

第七

八节

晚

上

教学进程第2周一一第17周

检查记录

填写说明：课程学期课表只填该课程本期的授课班级、教学地点

教学设计

授课课题（学习情境/

二阶、三阶行列式

任务/项目/单元

授课时间第2周（1）课型理论课

教学

掌握用对角线法则计算二阶和三阶行列式

目标

教学重点二阶和三阶行列式的计算

教学难点二阶和三阶行列式的计算

教学准备（环境、资源、

多媒体

条件等）

导学过程设计

教学组

教师活动学生活动织与方时间

法

一.二阶与三阶行列式参与互动PPT展示

行列式的概念起源于解线性方程组,它是从二元与三元思考、联想40

戋性方程组的解的公式引出来的.因此我们首先讨论解方程做出选择讲授

且的问题.聆听、参考

殳有二元线性方程组别人意见

al}x]+62%=*

•

司加减消元法容易求出未知量xl,x2的值，当alla22-

112a21W0时，有

_"1〃22—%2b2

内一_

Q11〃22

*

_61打一瓦出1

X2-_

1。22—。12。21⑵

yX就是一般二元线性方程组的公式解.但这个公式很不好记

乙，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示（2）这

卜结果，这就是行列式的起源.我们称4个数组成的符号

“11〃12

二〃11〃22一〃12〃21

，21

为二阶行列式.它含有两行，两列.横的叫行，纵的叫列.行

列式中的数叫做行列式的元素.从上式知，二阶行列式是这

样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫

行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是

从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的

乘积，取负号.

根据定义，容易得知(2)中的两个分子可分别写成

aa

d\2\\优

b\a22-a12b2=,ab-ba=

ban2t2iab

22292l29

aa

6】\2b、\2

D=D=£>2=

xh

a2\a22%]2

如果记々22b2

则当DWO时，方程组(1)的解⑵可以表示成

仇因2a\\仄

b

b?CLQPa2\2

x,0...D,

X'-D-

a\\a\2XLD一a\\a\2

a2\a229a2\々22,(3)

象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆.

首先(3)中分母的行列式是从(1)式中的系数按其原有的

相对位置而排成的.分子中的行列式，xl的分子是把系数

行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则

是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的.

例1用二阶行列式解线性方程组

2x,+4X2=1

Xj+3X2=2

24

D==2x3-4xl=2wO

解：这时13

14|21

D,==1X3-4X2=-5D、==2x2-lxl=3练习

23|,129

因此，方程组的解是

D,-5D23

1D2,2D2,

对于三元一次线性方程组

al]xl+al2x2+。]3%3=b、

<a2ixi+a22x2+a23x3=h2

aXaX

31l+322+。33工3=4

(4)

作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念.我们称符号

al2al3

。21。22。23=a”422a33+°]2a23a313a21a32

a31a32a33~alia23a32一q2a21a33一％3〃22。31

(5)

为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和.这六项的聆听

和也可用对角线法则来记忆:从左上角到右下角三个元素的

乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号.

212

-431

例2235

-2x3x5+1x1x24-(-4)x3x2-2x3x2-lx(-4)x5-2x3x1=

=30+2—24—12+20—6=10

a\2ai3

D=〃21a22a23

令a3la32a33

仇ai2a\3a\\仇a\3

bb

2a22a23—a2\2

D[=D2。23

4

。32。33〃3I。33

即a\24

b

2=a2\a222

/

“31。32

当DW0时，(4)的解可简单地表示成

去芍吟，与吟(6)

它的结构与前面二元一次方程组的解类似.

例3解线性方程组

2X]—x2+x3=0

<3Xj+2X2—5X3=1

Xi+3X-2%3=4

2练习

2-110-11

—12-5=13

D=32-5=28Dt

43-2

解：13-2

2012-10

21=21

D2=31-5=47D、=3

14-2134

9

D,13247D.213

所以，।。28,2。28,3。284.

ab0

-ba0=0

例4已知1°1，问a,b应满足什么条件？（其中

a,b均为实数）.

ab0

-ba0=a2+b2

解：1°1,若要a2+b2=0,则a与b须同时等

于零.因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零.

为了得到更为一般的线性方程组的求解公式,我们需要引入80

A阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识.

二.排列

在〃阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介

绍排列的一些基本知识.

定义1由数码1,2,…，〃组成一个有序数组称为一个〃

级排列.

例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而聆听

52341是一个5级排列.由数码1,2,3组成的所有3级排

列为:123,132,213,231,312,3列共有3!=6个.

数字由小到大的〃级排列1234…〃称为自然序排列.

定义2在一个〃级排列，修中，如果有较大的数i,排

在较小的数九的前面30）,则称/，与，，构成一个逆序，

一个A级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作

N（"…力）.

例如，在4级排列3412中，31,32,41,42,各构成一

个逆序数，所以，排列3412的逆序数为M3412）=4.同样

可计算排列52341的逆序数为A1（52341）=7.

容易看出，自然序排列的逆序数为0.

定义3如果排列工之的逆序数AQ.怎…，）是奇数，则

称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列.

例如，排列3412是偶排列.排列52341是奇排列.自然排

列123…〃是偶排列.

定义4在一个〃级排列力。…，中，如果其中某两

个数工与工对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个

新的〃级排列工…。…。…，，这样的变换称为一个对换，

记作（九，L）.

如在排列3412中，将4与2对换，得到新的排列3214.并

且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇

排列3214.反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对

换后，变成了偶排列3412.

一般地，有以下定理：

定理1任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变.

证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：

ag?…ij6出…她C2…G,

将相邻两个数i与J作一次对换，则排列变为

a、az…aijib}b,-bmCxC2'-c„

显然对数a”初…a”bx,bz，…,A和eg…来说，并

不改变它们的逆序数.但当/</时，经过，与J的对换后，

排列的逆序数增加1个；当力J时，经过/与J的对换后，

排列的逆序数减少1个.所以对换相邻两数后，排列改变了

奇偶性

再讨论一般情况，设排列为

a©…a"bb…bJcQ…a

将/与J作一次对换，则排列变为

功色…aJbb…bjiCic2-'Cn

这就是对换不相邻的两个数的情况.但它可以看成是先将i

与仇对换，再与A对换，…，最后与4的对换，即，与它

后面的数作加次相邻两数的对换变成排列

a岛…aibb…b"Ja…

然后将数J与它前面的数/，"…,&作研1次相邻两数的

对换而成.而对换不相邻的数，与/（中间有加个数），相当

于作2研1次相邻两数的对换.由前面的证明知，排列的奇

偶性改变了2研1次，而2研1为奇数，因此，不相邻的两数

i,J经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同.

定理2在所有的〃级排列中（〃22）,奇排列与偶排列的个

〃！

数相等，各为彳个.

证明：设在〃!个〃级排列中，奇排列共有0个，偶排列共

有q个.对这2个奇排列施以同一个对换，如都对换（1,2）,

则由定理1知0个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共

只有q个，所以oWq；同理将全部的偶排列施以同一对换

（1,2）,则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有qWp,

所以q=口即奇排列与偶排列的个数相等.

n\

q=p=—

又由于〃级排列共有制个，所以q+0=加，2.

定理3任一n级排列，也…力都可通过一系列对换与n级

自然序排列12…〃互变，且所作对换的次数与这个〃级排列

有相同的奇偶性.

证明：对排列的级数用数学归纳法证之.

对于2级排列，结论显然成立.

假设对级排列，结论成立，现在证明对于〃级排列，

结论也成立.

若，=〃，则根据归纳假设力方…i…是〃-1级排列，可经过

一系列对换变成12…1）,于是这一系列对换就把7,7?-

，变成12…若廿n,则先施行，与〃的对换，使之变

成九",这就归结成上面的情形.相仿地,12-

〃也可经过一系列对换变成因此结论成立.

因为12…〃是偶排列，由定理1可知，当,也…力是奇（偶）

排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，

所施行对换的次数与排列/也…力具有相同的奇偶性.

思考题：

1.决定了、J的值，使

(1)1245/6力7为奇排列；

(2)3972/15为为偶排列.

2.排列〃(〃-1)(〃-2)…321经过多少次相邻两数对换变

成自然顺序排列？

ab

D=22=0

3.当a、8为何值时，行列式少b'.

课后作业课后习题

学生在本次教学、实

训中主要存在的问题

填写说明：导学过程设计可参考“课程导入、学习目标、课前测试、交互式学习、课后测

试、小结的六步教学法进行。

授课课题(学习情境/任务/项

n阶行列式、行列式的性质

目/单元

授课时间第2周(2)课型理论课

教学

掌握n阶行列式的定义及其行列式的性质

目标

教学重点行列式的计算

教学难点n阶行列式的定义

教学准备(环境、资源、条件

多媒体

等)

导学过程设计

教学组

教师活动学生活动织与方时间

法

n阶行列式：PPT展示

参与互动

一.导课10

思考、联想

本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手.引出〃阶行讲授

做出选择

列式的定义.

聆听、参考

已知二阶与三阶行列式分别为

别人意见

a

\\。12__

。21。22

a\\a\2。13

C-121^^>223।1a।a।a

。31。32。33—〃11〃23〃32-"12〃21a33-4|3〃22〃31

其中元素的第一个下标，表示这个元素位于第i行，称为

行标，第二个下标J表示此元素位于第j.列，称为列标.40

二.行列式的定义

我们可以从中发现以下规律：

(1)二阶行列式是2!项的代数和，三阶行列式是3!项的代

数和；

(2)二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自

不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的

乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；

(3)每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排

列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则

取负号.

作为二、三阶行列式的推广我们给出〃阶行列式的定义.

定义1由排成〃行〃列的4个元素即(了，户1,2,…，77)

组成的符号

a\\a\2…a\n

Cl2\a22…a2n

••••・•«••••«

册2…ann

称为〃阶行列式.它是〃!项的代数和，每一项是取自不同行

和不同列的〃个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元

素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则

取正号；为奇排列，则取负号.于是得

a\\a\2…a\n

“21”22…a2n

•«••••••••••

y....

%a,,2…(T)N"SF2/2上…%

(1)

X

其中浦2J”表示对所有的〃级排列工方•"求和.

(1)式称为n阶行列式按行标自然顺序排列的展开

式.(T严"2"%产2方…为“称为行列式的一般项.

当上2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中

用对角线法则定义的是一致的.当上1时，一阶行列为以』=

国1.如

a\\a\2。13ai4

。21。22。23。24

。31。32。33。34

当炉4时，4阶行列式如lfl42%3«44

表示4!=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素

的乘积恰为4!项.根据A阶行列式的定义，4阶行列式为

a।]a।^^13^^14

。21。22。23。24

4a"：=九

a41a42a43a44M…Zi

例如a拯3a3㈤2行标排列为1234,元素取自不同的行；列标排

列为4312,元素取自不同的列，因为/V(4312)=5,所以该项

取负号，即-a“a23a31al2是上述行列式中的一项.

为了熟悉〃阶行列式的定义，我们来看下面几个问题.

例1在5阶行列式中，如。23a35&1两这一项应取什么符号？

解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排

列为23514.

因M23514)=4,故这一项应取正号.

例2写出4阶行列式中，带负号且包含因子的项.

解：包含因子国同3项的一般形式为

(1)〃］陷23%/3a勺4

按定义，工可取2或4,工可取4或2,因此包含因子加法的

项只能是

23a32aM或a“a23a34aq2

但因M1324)=l为奇数

M1342)=2为偶数

所以此项只能是-a“a23a3祖”

例3计算行列式

ab00

cd00

Xyef

uvgh

解这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24

项.但只有以下四项

adeh,adfg,bceh,bcfg

不为零.与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234,1243,

2134和2243,而川(1234)=0,A'(1243)=l,M2134)=l和

”(2143)=2,所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项

应取负号，即

a。00

cd00

xyef

""g'=adeh-adfg-bceh+bcfg

例4计算上三角形行列式

a\\"12…

。=0«22a2„

oo

其中a”#0(7=1,2,…，ri).

解：由〃阶行列式的定义，应有加项，其一般项为

44%上…。矶

但由于〃中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零

的项即可.在。中，第〃行元素除4〃外，其余均为0.所以

工=〃；在第A-1行中，除a一1”|和a-13外,其余元素都是零，

因而，-只取〃-1、〃这两个可能，又由于为“、a“”位于同

一列，而工=〃.所以只有工T=A-L这样逐步往上推，不

难看出，在展开式中只有国岛2…a”"一项不等于零.而这项的

列标所组成的排列的逆序数是M12-v)=0故取正号.因此，

由行列式的定义有

a\\a\2…a\n

°a22'-,a2n

Dn=

••••••••••••

00…ci

•in~ao”4o22...a

即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积.

同理可求得下三角形行列式

an0…0

。21a>2,*'0

an2…二句]侬…为〃

特别地，对角形行列式

%0・・・0

0々22*•，0

a

00nn=aila22-

上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线

上元素的乘积.

例5计算行列式

00・•・0aln

o0-a2n_10

••••・♦••••«•

an]0…00

解这个行列式除了a能……为这一项外，其余项均为零，

现在来看这一项的符号，列标的〃级排列为〃(〃-1)…21,

n•(n-1)

(〃-1)…21)=U-1)+(/?-2)+-+2+1=2,所以

00・••0

00…0

n(n-l)

a2

n\°…°°=(-D%“出,1…％1

同理可计算出

fllla\2.................ain\01"°a\n

a2\a22…a2n-\0।।0…a2n-\a2n

……

a0

n\…0.......。|=4",,,.....a*ann=

(T)2…%i

由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同

的列的〃个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)

的元素全为0,则该行列式等于0.

在〃阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把〃个元

素的行标排成自然序排列，即'%2•"叽事实上，数的乘

法是满足交换律的，因而这〃个元素的次序是可以任意写的，

一般地，〃阶行列式的项可以写成

aaa

hhiij2""iJn(2)

其中IIJ；J2…工是两个〃阶排列,它的符号由下面的

定理来决定.

定理1A阶行列式的一般项可以写成

(_坟(宿…3叫伍7")&...

Iaai„J„(3)

其中714—2；,工工…工都是〃级排列.

证明：若根据〃阶行列式的定义来决定(2)的符号，就要把这

A个元素重新排一下，使得它们的行标成自然顺序，也就是排

成

牝。2权…(4)

于是它的符号是(-1严―

现在来证明(1)与(3)是一致的.我们知道从(2)变至U(4)可经

过一系列元素的对换来实现.每作一次对换，元素的行标与

列标所组成的排列力，…就同时作一次对换，也就

是…，)与N(j\%…心同时改变奇偶性，因而它的和

N(i3…4)工…工)

的奇偶性不改变.这就是说，对(2)作一次元素的对换不改变

(3)的值，因此在一系列对换之后有

(-1)2(不2・7n)+N(jj2…力)=(—])N(12・•1«)+N(j/h'••・“)=(―1)N(j|'。•Jn')

这就证明了(1)与⑶是一致的.

例如，a21a32囱同3是4阶行列式中一项，它和符号应为(~

1)~⑵也(-1)"'=-1.如按行标排成自然顺序，就是

由饱诲2a43,因而它的符号是(-1)M”23)=(-1)3=-1

同样，由数的乘法的交换律，我们也可以把行列式的一般项

4户2h…a*中元素的列标排成自然顺序123…〃，而此时相应

的行标的〃级排列为了也…“则行列式定义又可叙述为

a\\"12…4”

陶陶…a2，，=x(f,力42…%”

•«•«•«•••・•・

%%2%，，

行列式的性质：

一.导课

当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算〃阶行列式的值

是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复

杂的行列式转化为较简单的行列式（如上三角形行列式等）来

计算.50

将行列式〃的行列互换后得到的行列式称为行列式〃的转置

行列式，记作即若

%]42…a\naWa2\an\

a

D=2122…a2nD，=《2a22•一an2

an\%2…ann则4〃a2n….

反之，行列式〃也是行列式〃的转置行列式，即行列式〃与

行列式〃互为转置行列式.

二.行列式的性质

性质1行列式。与它的转置行列式〃的值相等.

证：行列式〃中的元素&,（工户1,2,…，〃）在〃中位于

第J行第/列上，也就是说它的行标是j,列标是了,因此,

将行列式〃按列自然序排列展开，得

T

ri-Xn（i\^（J1J2••,>«）n

JlJl'Jn

这正是行列式。按行自然序排列的展开式.所以少

这一性质表明，行列式中的行、列的地位是对称的，即对于

“行”成立的性质，对“列”也同样成立，反之亦然.

性质2交换行列式的两行（列），行列式变号.

证：设行列式

“11a\2…％”

ai\ai2%,。行）

D=・・.・.•......

as\as2asn（s行）

an\an2ann

将第/行与第5行（1W/VSW〃）互换后，得到行列式

,,

••4“（i行）

"ain（s行）

-a„n

显然，乘积—…囹…旬…册，，，在行列式〃和〃中，都是取

自不同行、不同列的〃个元素的乘积，根据§3定理1,对

于行列式仅这一项的符号由

…i…s…n)+N(h…力…js…j")

决定；而对行列式〃，这一项的符号由

…s…i…〃)+N(6…3…八…j”)

决定.而排列1…，…S…〃与排列1…S…，…刀的奇偶性相反,

所以

(—Y)NQ，5〃)+N(力…力•/…)(_])N(l・'s'#+N(Ji…j广-js…九)

即〃中的每一项都是〃中的对应项的相反数，所以y-〃.

例1计算行列式

429-30

63-571

E>=50000

80040

70350

解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得

63-571

429-30

D=(-l)270350

80040

50()00

将第一、五列互换，得

13-576

029-34

D=(-1)300357=-1-2-3-4-5=-5!=-120

00048

00005

推论若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值

等于零.

证：将行列式〃中对应元素相同的两行互换，结果仍是〃，

但由性质2有

D=-D,所以氏0.

性质3行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列

式符号的外面.即

«11«12,,•a\na\\«12,••a\n

ka

ka*kan.•,i„=kai\ai\,­•ain

an\am,­■a,u,anlan2,-a„n

证：由行列式的定义有

左端/TLF

k»-l严…&

=jlj?…jn

=右端.

此性质也可表述为：用数4乘行列式的某一行（列）的所有元

素，等于用数4乘此行列式.

推论：如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行

列式的值等于零.

证：由性质3和性质2的推论即可得到.

性质4如果行列式的某一行（列）的各元素都是两个数的

和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即

aa

知卬2…知a}2…a]n\\n

・=CC

々・1+C“bi2+c/2.•bin+c/>fEl坛…瓦〃+i\i2

…。nn%]a〃2…a“nan\an2

Z（-i产必乜…（然+,）••a%

证：左端…

Z（_i严必…%…,

hh''Jn

aHa\2…a\na\\a\1…a\n

g加瓦十Ci\Ci2.一Cin

="m・••annan\an2…ann

=右端.

性质5把行列式的某一行（列）的所有元素乘以数A加到另

一行（列）的相应元素上，行列式的值不变.即

a1132,,ai„

行有水力口一*

D=••到第・5行，・

a51as2…见"

an\an2ann

a

c\2…ahi

aa

i\i2…ain

k%kaa

+G他2+42•••in+sn

an2…ann

证：住【性质4

a

\\。12即《2…

ai\ail%"ai2

ka

kcij、ka「inas2

a“242…a“”

右端=+=k-0

a\\a\2**,

ai\ai2***ain

%as2-,as„

a”2a

+nn=左端

作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子.

例2计算行列式

3111

1311

D=

1131

1113

解：这个行列式的特点是各行4个数的和都是6,我们把第

2、3、4各列同时加到第1歹I」，把公因子提出，然后把第

1行X(-D加到第2、3、4行上就成为三角形行列式.具

体计算如下：

611111111111

631113110200

D==6=6=6x23=48

613111310020

611311130002

例3计算行列式

0-1-12

1-102

D=

-12-10

2110

解：

0-1-12fj-102xlx(-2)1-102

1-102J-1-12

0-1-12xlx3

D--12-10---12-10J

01-12J

211021104-----1031-4

1-1021-102

0-1-120-1-12

=­=-lx(-l)x(-2)x(-2)=4

00-2400-24

00-22000-2

labc+d

1bca+d

D==0

1cda+b

例4试证明：Idab+c

证：把2、3列同时加到第4列上去，则得

laba+b+c+d1ab1

1bca+b+c+d1bc1

D==(〃+/?+c+d)=0

1cd4+0+C+。1cd1

Idaa+b+c+d1da1

xa2•••4

a

xa2・•,„

D=axa2x•••册

%aa・■■X

例5计算加1阶行列式23

解：将〃的第2列、第3列、…、第列全加到第1列上,

n

然后从第1列提取公因子日得J

1a1a2•••an

1x•••a„

O=Cv+Z%)1a2x•••an

i=[••••••••••••«••

1a2a3・•・x

X(_0)」i

X5)------1

100•••0

1x-a}0…0

(x+Z%)1a2~a\工一出0

i=\

1a2-a{a3-a2--x-an

〃

(%+2卬)(彳一4)(％-。2＞《一。”)

二i-\

例6解方程

111•••11

11-x1•­•11

112-x•••11

=0

111(n-2)-x1

111•••1(n-l)-jc

解法一：

111­••11x(-l)

11-x1•••11

112-x…11

111(〃-2)—x1

111•••1(n-1)-;r

11111

00—x000

001-x…00

=(-x)(l-x)---[(n-3)-x][(n-2)7]

000•••(n-3)-x0

000­••0(H-2)-X

所以方程的解为*=0,也=1，…，"-2=〃-3,xn-{=n-2.

解法二：根据性质2的推论，若行列式有两行的元素相同，

行列式等于零.而所给行列式的第1行的元素全是1,第2

行，第3行，…第〃行的元素只有对角线上的元素不是1,

其余均为1.因此令对角线上的某个元素为1,则行列式必

等于零.于是得到

1-A=1

2-x=l

(n-2)-x=\

(z?-1)-A=1

有一成立时原行列式的值为零.所以方程的解为不=0,如

=1,…，x„-2=n-3,x-i=z?-2.

例7计算〃阶行列式

xa2a3・・•an

a1％a3…an

D=qa2x・••anxw《(i=1,2,…〃)

a{a2a3・・•x

解：将第1行乘以(-1)分别加到第2、3、…、〃行上得

xa2a3•••明

ax-xx-a20…0

D=ax-x0x-ci30

ax-x00…x-a„

从第一列提出x-a”从第二提出x-a2，…，从第〃列提出x

便得到

Xa2a3%

x-a]x-a2x-a3x-ax

-110­••0

D-(x-tZj)(x-)•••(x-a)

n-101•••0

-100­••1

-^=1+—

由x-qx-4并把第2、第3、…、第〃列都加于第1

歹U，有

1+f^i____________—...

占x-6x-ax-a

23x-an

0100

D=(x-a)(x-a)---(x-a)0]…

]2nQ0

0001

=(xa})(x生)…(尢〃〃)(1+£')

例8试证明奇数阶反对称行列式

°ai2…a\n

D=122"=0

-a\n-a2n0

aa

°~n~\n

aa

DT=\20•"~2n

••••••••••

证：〃的转置行列式为a'"%1•-°

从2/中每一行提出一个公因子(-1),于是有

°a]2…a]n

T—a,-,0,,,

Dr=(-1)"122"=(_])，，£)

«••«••••••••

~a'n一%”0,但由性质1知道

U二D

：.仄(-1)7?

又由〃为奇数，所以有分-D,

即2氏0,因此次0.

思考题：

1.证明下列各题：

1aa31aa2

1h/=(〃+Z?+c)lbh2

1cc31cc2

2.计算下列〃阶行列式：

—4q000

0-a2a2•••00

•・••«•・••••••«•«••

000--a„

111•••11

课后作业课后习题

学生在本次教学、实训中

主要存在的问题

授课课题（学习情境/任务/项

行列式的计算、克拉默法则

目/单元

授课时间第3周（1）课型理论课

教学掌握行列式的性质及按行（列）展开计算简单的〃阶行列式

目标熟练应用克拉默法则

教学重点代数余子式的定义和性质

教学难点行列式的性质及按行（列）展开计算简单的〃阶行列式

教学准备（环境、资源、条件

多媒体

等）

导学过程设计

教学组

教师活动学生活动织与方时间

法

一.导课参与互动PPT

本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式思考、联想展示

的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法一一降阶做出选择

法.为此，先介绍代数余子式的概念.聆听、参考讲授30

二.行列式按一行（列）展开公式别人意见

定义在〃阶行列式中，划去元素所在的第/行和第J列后，

余下的元素按原来的位置构成一个n-1阶行列式，称为元素

a门的余子式，记作元素a〃的余子式前面添上符号（-

1）'"称为元素即的代数余子式,记作即4尸为1严即

例如：在四阶行列式

a\\a\2。13。14

〃21422〃23〃24a\\%2"14

L）=

。32。33。34“31。32。34

"41"42