2024-2025学年江苏省泰州市泰州栋梁学校高三第五次调研考试数学试题含解析

2024-2025学年江苏省泰州市泰州栋梁学校高三第五次调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则2．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在的展开式中，含的项的系数是（）A．74 B．121 C． D．4．若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.A．432 B．576 C．696 D．9606．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种7．已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的()A．9 B．31 C．15 D．639．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（）A．400米 B．480米C．520米 D．600米10．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（）A． B． C． D．12．已知复数满足，则=（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△ABC面积的最大值为_______．14．一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数，若把当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为，则_________．15．已知是等比数列，且，，则__________，的最大值为__________．16．在中，角，，的对边分别为，，.若；且，则周长的范围为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且．（1）求角A的值；（2）若，设角，周长为y，求的最大值．18．（12分）设函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数有两个极值点，求证：.19．（12分）设函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）如果对所有的≥0，都有≤，求的最小值；（Ⅲ）已知数列中，，且，若数列的前n项和为，求证：.20．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角中，E是边PD上一点，且.（1）求证：平面ACE；（2）当PA的长为何值时，AC与平面PCD所成的角为？21．（12分）已知函数，，.函数的导函数在上存在零点.求实数的取值范围；若存在实数，当时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值；若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值.22．（10分）百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.（其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数，表示被清华、北大等名校录取的学生人数）年份（届）2014201520162017201841495557638296108106123（1）通过画散点图发现与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（保留两位有效数字）（2）若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考人名校的人数；（3）若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.参考公式：，参考数据：，，，

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.【详解】解：选项A中直线，还可能相交或异面，选项B中，还可能异面，选项C，由条件可得或．故选：D.本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.2．A【解析】

作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断．【详解】作出函数的图象如图，由图可知，，函数有2个零点，即有两个不同的根，也就是与在上有2个交点，则的最小值为；设过原点的直线与的切点为，斜率为，则切线方程为，把代入，可得，即，∴切线斜率为，∴k的取值范围是，∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件，故选A．本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．3．D【解析】

根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，，故选：D本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，4．B【解析】

化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标．【详解】是纯虚数，则，，，对应点为，在第二象限．故选：B．本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．5．B【解析】

先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻.【详解】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有种不同排列方式，甲、丁排在一起共有种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为种.故选：B.本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.6．C【解析】

根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，即可求解.【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.故选：C.本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．B【解析】

分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限.【详解】因为时，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8．B【解析】

根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.【详解】执行程序框；；；；；，满足，退出循环，因此输出，故选:B.本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.9．B【解析】

根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.【详解】设第一展望台到塔底的高度为米，塔的实际高度为米，几何关系如下图所示：由题意可得，解得；且满足，故解得塔高米，即塔高约为480米.故选：B本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.10．C【解析】

根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】点不在直线、上，若直线、互相平行，则过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，即必要性成立，若过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，则直线、互相平行成立，反证法证明如下：若直线、互相不平行，则，异面或相交，则过点只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件，故选：．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．11．D【解析】

集合．为自然数集，由此能求出结果．【详解】解：集合．为自然数集，在A中，，正确；在B中，，正确；在C中，，正确；在D中，不是的子集，故D错误．故选：D．本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．B【解析】

利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【详解】由，得，所以，.故选：B.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

先根据点共线得到，从而得到O的轨迹为阿氏圆，结合三角形和三角形的面积关系可求.【详解】设B，O，E共线，则，解得，从而O为CD中点，故.在△BOD中，BD＝2，，易知O的轨迹为阿氏圆，其半径，故．故答案为：.本题主要考查三角形的面积问题，把所求面积进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14．1【解析】

根据均值的定义计算．【详解】由题意，∴．故答案为：1．本题考查均值的概念，属于基础题．15．5【解析】，即的最大值为16．【解析】

先求角，再用余弦定理找到边的关系，再用基本不等式求的范围即可.【详解】解：所以三角形周长故答案为：考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）．【解析】

（1）利用正弦定理，结合题中条件，可以得到，之后应用余弦定理即可求得；（2）利用正弦定理求得，求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可.【详解】（1）由已知可得，结合正弦定理可得，∴，又，∴．（2）由，及正弦定理得，∴，，故，即，由，得，∴当，即时，．该题主要考查的是有关解三角形的问题，解题的关键是掌握正余弦定理，属于简单题目.18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）求导得到，讨论，，三种情况得到单调区间.（Ⅱ）设，要证，即证，，设，根据函数单调性得到证明.【详解】（Ⅰ），令，，（1）当，即时，，，在上单调递增；（2）当，即时，设的两根为（），，①若，，时，，所以在和上单调递增，时，，所以在上单调递减，②若，，时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）不妨设，要证，即证，即证，由（Ⅰ）可知，，，可得，，所以有，令，，所以在单调递增，所以，因为，所以，所以.本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.19．（Ⅰ）函数在上单调递减，在单调递增；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．【解析】

（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣ax，先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最小值；（Ⅲ）先求出数列是以为首项，1为公差的等差数列，，，问题转化为证明：，通过换元法或数学归纳法进行证明即可．【详解】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），，当时，f′（x）＜2，当时，f′（x）＞2，所以函数f（x）在上单调递减，在单调递增．（Ⅱ）设，则，因为x≥2，故，（ⅰ）当a≥1时，1﹣a≤2，g′（x）≤2，所以g（x）在[2，+∞）单调递减，而g（2）＝2，所以对所有的x≥2，g（x）≤2，即f（x）≤ax；（ⅱ）当1＜a＜1时，2＜1﹣a＜1，若，则g′（x）＞2，g（x）单调递增，而g（2）＝2，所以当时，g（x）＞2，即f（x）＞ax；（ⅲ）当a≤1时，1﹣a≥1，g′（x）＞2，所以g（x）在[2，+∞）单调递增，而g（2）＝2，所以对所有的x＞2，g（x）＞2，即f（x）＞ax；综上，a的最小值为1．（Ⅲ）由（1﹣an+1）（1+an）＝1得，an﹣an+1＝an•an+1，由a1＝1得，an≠2，所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，，，⇔，由（Ⅱ）知a＝1时，，x＞2，即，x＞2．法一：令，得，即因为，所以，故．法二：⇔下面用数学归纳法证明．（1）当n＝1时，令x＝1代入，即得，不等式成立（1）假设n＝k（k∈N*，k≥1）时，不等式成立，即，则n＝k+1时，，令代入，得，即：，由（1）（1）可知不等式对任何n∈N*都成立．故．考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值；3、数列的通项公式；4、数列的前项和；5、不等式的证明．20．（1）证明见解析；（2）当时，AC与平面PCD所成的角为.【解析】

（1）连接交于，由相似三角形可得，结合得出，故而平面；（2）过作，可证平面，根据计算，得出的大小，再计算的长．【详解】（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，，，又平面ACE，平面ACE，平面ACE.（2），，平面PAD作，F为垂足，连接CF平面PAD，平面PAD.，有，，平面就是AC与平面PCD所成的角，，，，，，时，AC与平面PCD所成的角为.本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题．21．；4；12.【解析】

由题意可知，，求导函数，方程在区间上有实数解，求出实数的取值范围；由，则，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数的最大值；设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，切线方程为，