高考数学江苏专版三维二轮复习教学案：八 二项式定理与数学归纳法（理科）含答案

二项式定理与数学归纳法(理科)

江苏新高考

本部分内容在高考中基本年年都考，并以压轴题形式考查.，主要考查组合计数；考复

合函数求导和数学归纳法；考查计数原理为主，又涉及到数学归纳法；考查组合数及其性

质等基础知识，考查考生的运算求解能力和推理论证能力；考查概率分布与期望及组合数

的性质，既考查运算能力，又考查思维能力.

近年高考对组合数的性质要求较高，常与数列、函数、不等式、数学归纳法等知识交

汇考查.

第1课时X/计数原理与二项式定理(能力课)

［常考题型突破］

题型一

［例1］一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”.记集合

{1,2,3,…，3〃}的子集中所有“好集”的个数为/(〃).

(1)求人1)，八2)的值；

(2)求/(〃)的表达式.

［解］(1)①当"=1时，集合{1,2,3}中的一元好集有{3},共1个；二元好集有{1,2},共

1个；三元好集有{1,2,3},共1个，所以式1)=1+1+1=3.

②当”=2时，集合{1,2,3,4,5,6}中一元好集有{3},{6},共2个;

二元好集有{1,2},{1,5},{2,4},{3,6},{4,5},共5个；

三元好集有{1,2,3},{1,2,6},{1,3,5},{1,5,6},{4,2,3},{4,2,6},{4,3,5},{4,5,6},共8

个；

四元好集有{3,4,5,6},{2,3,4,6},{1,3,5,6},{1,2,3,6},{1,2,4,5},共5个；

五元好集有{1,2,4,5,6},{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集.

故{2)=l+(2+5)X2+8=23.

(2)首先考虑加+1)与加)的关系.

集合{1,2,3,…，3”,3"+1,3"+2,3"+3}在集合{1,2,3,,,,,3”}中加入3个元素3"+1,3”

+2,3鼠+3.故大〃+1)的组成有以下几部分：

①原来的大〃)个集合；

②含有元素3"+1的“好集”是｛1,2,3,…，3"｝中各元素之和被3除余2的集合，

含有元素是3"+2的''好集”是｛1,2,3,…，3"｝中各元素之和被3除余1的集合，

含有元素是3"+3的''好集”是｛1,2,3,…，3"｝中各元素之和被3除余0的集合.

合计是23"；

③含有元素是3〃+1与3〃+2的“好集”是｛1,2,3,…，3〃｝中各元素之和被3除余0

的集合，

含有元素是3〃+2与3〃+3的“好集”是｛1,2,3,…，3〃｝中各元素之和被3除余1的

集合，

含有元素是3"+1与3〃+3的“好集”是｛1,2,3,…，3"｝中各元素之和被3除余2的

集合.合计是23”；

④含有元素是3〃+1,3〃+2,3n+3的“好集”是｛1,2,3,…，3"｝中"好集”与它的并，

再加上｛3"+1,3"+2,3"+3｝.

所以｛〃+l)=4")+2X23"+L

两边同除以2.1,

付2〃+i2"一—~2"+i・

而）n

所以保=4"-1+4"-2+…+4+卷1+1舟+…134—-1+1一1点（心2）.

又警也符合上式,

所以/（〃）=卜2〃一1.

3

［方法归纳］

(1)深化对两个计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步”的意识，并在操作中确

保：①分类不重不漏；②分步要使各步具有连续性和独立性.解决计数应用题的基本思想是

，，化归，，，即由实际问题建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而解决实际问题.

(2)本题是有关数论问题，其难度较大，求解关键是得出式"+D与次冷的关系，求解中

用到归纳法和分类讨论思想.

［变式训练］

(•苏北三市三模)已知集合U=｛1,2,…，”｝("GN*,”22),对于集合U的两个非空子

集A,B,若AC3=。，则称(A,3)为集合。的一组“互斥子集”.记集合。的所有“互

斥子集”的组数为/(〃)(视(A,5)与(8,A)为同一组“互斥子集”).

(1)写出｛2),犬3),犬4)的值；

(2)求/(〃).

解：(162)=1,购=6,-4)=25.

(2)法一：设集合A中有上个元素，攵=1,2,3,n—1.

则与集合A互斥的非空子集有2n~k-l个.

1n-11n-ln-l

于是人")=5EC2(2LJ1)=5(Z④2")--Cl).

4=1"k=lk=l

n-ln

因为EC42"f=Zcj2n-A-Cg2n-C^2°=(2+l)n-2n-1=3"-2n-1,

k=lk=o

n-ln

za=zcm"一2,

k=\A=0

所以f(n)=1[(3n-2"-l)-(2n-2)]=：(3"—2n+1+1).

法二：任意一个元素只能在集合A,B,C=1u(AUB)之一中，

则这“个元素在集合A,3,C中，共有3"种，

其中A为空集的种数为2”,8为空集的种数为2”,

所以A,5均为非空子集的种数为3"-2X2"+L

又(A,B)与(£4)为同一组“互斥子集”，

所以八")=；(3"—2"+】+1).

二项式定理的应用

[例2](•苏北四市期末)已知等式(l+x)2"F=(l+x)Ll(l+x)".

⑴求(1+铲"-1的展开式中含xn的项的系数,并化简:C»-1C；：+CLiC；r1+-+C；J=lC»；

(2)证明：(C"+2(a)2+…+〃(C；)2="C%T.

[解](l)(l+x)2Li的展开式中含X"的项的系数为CL-1,

由(1+X)LI(1+X)”=(C!!T+GL1X+…+C鼠以"-1)・(*+(：聂+…+C；x"),

可知(l+x)"-i(l+x)”的展开式中含x"的项的系数为CLiC；：+C±TC『I+…+C；mC.

所以C«-iC2+©_代尸+…+CDQ=C%T.

(2)证明：当kGN*时，kC/=kX&-.m=/&m~寸="><〃l

k\(n—k)\(k—1)!(n—k)\(k—1)!(n—k1)A\

所以©)2+2©)2+...+〃©)2=分-c£)2]=t(«&&)=t(ncnc*)=w£(cric*)

k=lk=lk=lk=l

=n£(cnc^).

k=l

由⑴知CL1C；!+CL1C0+…+C；二1G=C%-1,即£(C由©)=C%-1,

k=l

所以(C2)2+2(&)2+“.+”(C；；)2="C%T.

［方法归纳］

二项式定理中的应用主要是构造一个生成相应二项式系数的函数，通过研究函数关系

证明恒等式、不等式和整除性问题.将二项式定理(a+6)"=C\o\al(0,〃)a"+C\o\al(i,〃)aL»+“・

+C\o\al(r,〃)a"F，+…+C\o\al(",”)〃中的a,b进行特殊化就会得到很多有用的有关组合数

的相关和的结果，这是研究有关组合数的和的问题的常用方法.还可以利用求函数值的思想

进行赋值求解.

［变式训练］

(•南京、盐城一模)设〃CN*,〃N3,AGN*.

⑴求值：①比

②兀2cs~n(n-1)Cr2-nCn(fc^2)；

(2)化简:12c什22©+32c计…+优+l)2C^+-+(n+l)2C2.

解：⑴①A&一“CQ

n!(n—1)!

=kX-----------------wX-----------------------

Kk\(n-k)\n(n-k)l

______n\_____________n\_______

(k—1)!(n—k)!(A：-1)!(n—k)!°，

②RC.-1)C£""CQ=『!(〃M­।)！一〃("-1)X(二(r)i—!2^(।屋！一

(n—1)!n!n!n!

-----------------------k-----------------------——

(k—1)!(n—k)!(k—1)!(n—k)!(A—2)!(n—k)!(左一1)!(n—k)!

n\_1二

(*-2)!(n-k)\\k-1k~l)=Q-

(2)法一：由(1)可知，当左22时，他+1)2&=(42+2左+1)&=产&+2左3+&=［"("

-l)Cn+nC^l］+2nCn+Cj=/J(/i-l)Cn+3nC^l+CL

22222

故12c2+2CJ+32戢+…+(A+1)CJ+•••+(〃+1)C2=(lCg+2CJ)+n(n-l)(C2-2+

CL2+…+C瞋3)+3〃(CLi+&-i+…+C仁1)+(CS+C2+…+C；)=(1+4")+"(〃一I)2""

+3n(2n-1-l)+(2"-1-M)=2,,-2(n2+5n+4).

法二：当"》3时，由二项式定理，有(1+*)"=1+(：袅+(：々2+3+&炉+~+。沅"，

两边同乘以巧得(l+x)"x=x+C±x2+c於3+…+c£H+i+…+C；x”+i,

两边对x求导，得(l+x)"+〃(l+x)"-ix=l+2Gx+3c注H-----1■(4+1)C标+•••+(”+

l)C；；xn,

两边再同乘以x,得(1+*)"*+“(1+*)"-叮2=*+2(3独2+3(：衽3+…+优+l)Cjxi+1+-

+(n+l)C；ixn+1,

两边再对x求导，得

n22l222

(l+xy+n(l+xy~'x+n(n-l)(l+x)~x+2n(l+xy~x=l+2Cllx+3Clx+-+(k

+l)2CjxM------F(n+l)2C^x,!.

令x=l,得2"+〃2"-1+〃(〃-1)2"-2+2"2"-1=1+22©+32c与+…+优+1)244-----F

("+1)2©,

22

即12c2+22a+32a+•••+(*+1)2©+•..+(“+1)2Cn=2"-(n+5n+4).

组合数的性质应用

［例3］(•苏北四市调研)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值

是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头几行如图所示.

(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3：4：5?若存在，

试求出是第几行；若不存在，请说明理由；

(2)已知〃，r为正整数，且"2r+3.求证：任何四个相邻的组合数C3C^1,C；+2,C；+3

不能构成等差数列.

［解］(1)杨辉三角形的第〃行由二项式系数CS,

«=0,1,2,…，n组成.

,回dk3

如果第"行中有铉=〃_兀+1=不

a«+i4

Cl^1~n-k~5,

那么3"—74=—3,4〃-94=5,

解得左=27,n=62.

即第62行有三个相邻的数CM,C筋，C超的比为3：4：5.

(2)证明:若有〃，r(〃2r+3),使得C；,,C^1,C^2,C大成等差数列，则2CTI=C；+

「「「

r+2f,rr+2=r+l_|I_Jnr+3f

_______2nl______________nl_____

^(r+1)!(n—r—1)!r!(n—r)!

_______nl_______________2〃!________

(r+2)!(n—r—2)!'(r+2)!(n—r—2)!

_________nl_______________nl________

(r+1)!(n—r—1)!(r+3)!(n-r-3)!

所以省2=112=

”(r+l)(n—r—1)(n—r—l)(n—r)(r+l)(r+2)9(r+2)(n—r—2)

________1________+1

(n—r—2)(n—r—1)(r+2)(r+3)

化简整理得，n2—(4r+5)n+4r(r+2)+2=0,

w2-(4r+9)n+4(r+l)(r+3)+2=0.

两式相减得，n=2r+3f

于是C-+3,C^h,C虫3,C5》3成等差数列.

而由二项式系数的性质可知C%+3=C5^3〈CB3=C5R3,这与等差数列的性质矛盾，

从而要证明的结论成立.

［方法归纳］

~⑴对于组合数问题，需要熟记并能灵活运用以下两个组合数公式：c£=c「*,&+1=

「左_|_「4一］

(2)对于二项式定理问题，需掌握赋值法和二项式系数的性质，并能将二项式系数与二

项展开式系数区别开来.

［变式训练］

设(1—幻”=〃0+。d+〃>2+…+斯了〃，neN*,〃22.

⑴若W=ll,求|。6|+|。7|+|。8|+|。9|+|。10|+|。11|的值;

k+1

(2)设bk=『/k+i(kGN,k^n~l)9%=灰+岳+岳+・・・+44根£N,m^n~l)9求

得的值.

解：(1)因为耿=(-1广&,

当n=ll时，底l+kzl+kfel+lad+laiol+lanl

=C$i+CL+C?i+C?i+Cl?+CH

=1(C?i+Cli+-+Ciy+CH)=2,0=1024.

(2)瓦="阪+i=(-l)*+2±|c与+i=(-l)AiC£,

n—Kn—K

当lWkWn—1时，

氏=(-

=(-l)/i(CS-i+CQl)

=(一1产田+(-1)计1*

it

=(-ircn-(-i)a_1.

当lWmW”—1时，S,„=-1+Z[(--(-l^Ci-i]=-1+1-(-l)mC^

k=l

所以|离T=i.

|Cn-11

［课时达标训练］

1.设集合A,B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是5的子集，且5也不

是A的子集.

(1)若河={a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(4,的的个数；

(2)若用={“1,a2,。3,…，a”},求所有不同的有序集合对(A,3)的个数.

解：(1)110.

(2)集合M有2"个子集，不同的有序集合对(A,3)有2"(2"-1)个.

当并设3中含有A：GN*)个元素，

则满足AUB的有序集合对(A,B)有£©(2«-1)

k=l

=t&-gc£=3"-2"个.

*=0k=O

同理，满足的有序集合对(A,B)有3"一2"个.

故满足条件的有序集合对(A,3)的个数为2"(2"—1)一2(3"—2")=4"+2"-2X3".

2.(•南京、盐城二模)现有网竽口("》2,〃GN*)个给定的不同的数随机排成一个下图

所示的三角形数阵：

*

**........第1行

***........第2彳丁

..................第3行

........................第〃行

**.................**

设版是第左行中的最大数，其中FN*.记跖＜跖＜…＜跖的概率为p”.

⑴求P2的值；

⑵证明：P">输而广

2Az22

解：⑴由题意知P2=^=§,即P2的值为

YI2

(2)证明：先排第〃行，则最大数在第〃行的概率为-，

十1)〃十］

-2-

去掉第n行已经排好的n个数，

则余下的D—"="("】D个数中最大数在第n-1行的概率为：—

//nyn-1)n

2

222________2^___________2〃

Pn=XXX==

故n+ln'"3(n+1)XMX-X3(n+1)!*

由于2"=(1+1)"=C!!+C,+C计…+C—O!+C,+&>a+C与=&+i,

2"a+2&+1

故(〃+l)!>(〃+l)!，FP">(〃+1)!.

3.记1,2,…，”满足下列性质T的排列“1,欧，…，斯的个数为八")(〃'2,"GN*).性

质T：排列ai,-,中有且只有一个。>的+1昨{1,2,…,n—1}).

⑴求用);

⑵求刎.

解：⑴当〃=3时，1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),

其中满足仅存在一个W{1,2,3},使得的>4+i的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),所

以用)=4.

(2)在1,2,…，”的所有排列(ai,ai,―,斯)中，

若1),从“一1个数1,2,3,…，”一1中选力一1个数按从小到大的顺序

排列为ai,g,…，a,-i,其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个

数为CP1.

若斯=〃，则满足题意的排列个数为八〃一1).

n-l

综上，f(n)=f(n-l)+XC^An-D+l^-l.

i=l

23(1—2"-3)

从而大〃一(〃-3)+43)=2〃一〃一1.

J./

4.(•江然高考)(1)求7a—4。的值；

(2)设m,〃eN*,n^m,求证：(m+l)C*+(»z+2>C图+I+(»Z+3)C*+2+…+"CJ7-1+

(〃+l)C，=(m+l)C痣.

解：(l)7a~4Cf=7X-4X=0.

J人/人J.Q人J人/人

(2)证明：当“=»z时，结论显然成立.

(笈+1).左I

当”＞加时，(k+l)Cr=；z,

m!•(«—/«)!

=_________-+1)!__________

('"1)(m+1)!,[(fc+l)—(»i+l)]!

=(zn+l)C陌,k=m+l,m+2,…,n.

又因为C昭+(2晒=(：应，

所以(«+l)C[=(/n+l)(C应一CH?),k=m+l,m+2,…，n.

因此，(%+1)C*+(m+2)«+i+(in+3)C需+2+-+(n+l)C^=(in+1)C需+[(/n+2)C；^+1

+(m+3)C料2+“•+(〃+1)C痴

=(%+DC灼+(%+1)[(C曙4-C曲)+(C炳一C疝)+…+-C俯)]

=W+1)C也

5.设即是满足下述条件的自然数的个数：各数位上的数字之和为”("GN*),且每个数

位上的数字只能是1或2.

(1)求ai,az,03,04的值；

(2)求证:--i("GN*)是5的倍数.

解：(1)当〃=1时，只有自然数1满足题设条件，所以“1=1;

当”=2时，有11,2两个自然数满足题设条件，所以勿=2;

当〃=3时，有111,21,12三个自然数满足题设条件，所以的=3;

当”=4时，有1111,112,121,211,22五个自然数满足题设条件，所以a4=5.

综上所述，“1=1,“2=2,的=3,“4=5.

(2)证明：设自然数X的各位数字之和为〃+2,由题设可知，X的首位为1或2两种情

形.

当X的首位为1时，则其余各位数字之和为“+1.

故首位为1,各位数字之和为n+2的自然数的个数为斯+i；

当X的首位为2时，则其余各位数字之和为n.

故首位为2,各位数字之和为n+2的自然数的个数为a„.

a„+2=a„+i+a„.

所以各位数字之和为n+2的自然数的个数为a„+1+an,即

下面用数学归纳法证明45,1是5的倍数.

则a5k+4=054+3+dSk+2

2a5k+2+a5R+1

=2(ask+1+ask)+«st+i

=3。5k+1+2aSR

=3(恁*+ask-i)~^2ask

=5as*+3asi-i.

由①②可知，aseSGN*)是5的倍数.

6.(•衢州期末)对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为

“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等

式.如：考察恒等式(1+X)2"=(1+X)"(1+X)"(“CN*),左边比"的系数为C%,而右边(l+x)"(l

+x)n=(a+Cix+-+C2xn)(Cg+Cix+-+C2xn),x"的系数为C»C；；+CC”+…+C；

C»=(a)2+(ci)2+(a)2+-+(cg)2,因此可得到组合恒等式C%=(C2)2+(G)2+(C"+…

+©)2.

⑴根据恒等式(l+xy"+"=(l+x)M(l+x)"(机，"GN*),两边必(其中JIGN,kWm,kW")

的系数相同，直接写出一个恒等式；

(2)利用算两次的思想方法或其他方法证明：

田

£C架=⑵，其中［勺］是指不超过货的最大

整数.

解：⑴CQ+”=C2Q+CJ„CL+•••+—

(2)证明：考察等式(2+支+!)十二，等式右边

\xfJCn

的常数项为：5C=c%,

JCn

因为(2+工+()"=SC；；-2"(++)’=SC；•

2叫枭”e)［

当且仅当r=2&时.工―(十)为常数，

等式左边的常数项为：毛C杂2"-2&c界，

所以守C*2,-2y^=c?"成立.

k-o

第2课时彳/数学归纳法(能力课)

［常考题型突破］

题型一,用数学归纳法证明等式

［例1］(•苏锡常镇一模)设⑹苗，"为正整数，数列｛斯｝的通项公式斯=sin争an"仇其

前n项和为Sn.

⑴求证：当〃为偶数时，〃〃=0;当〃为奇数时，斯=(-1)、tan"仇

(2)求证：对任何正整数“，S2„=lsin26>-[l+(-l)n+1tan2,,6>].

[证明](1)因为Q〃=siiTYtan"，.

2kjt

当FI为偶数时，设〃=2k,k£N*,a〃=a2A=sinftan2A，=sinA7rtan2A〃=0,斯=0.

当〃为奇数时，设〃=2左一1,A:GN*,即=〃2H=siii2),1711ali〃，=sin

w

当k=2m,机£N*时，an=aik-1=sin^2m7r—^J-tan0=sin|?・tan"，=—tan〃。,

,.n—1,「n—1

n2m1n

此时二~=2机一1,an=a2k-i=-tan0=(-l)tan0=(-l)-j-tan^.

n

当k=2m—l,mGN*时,an=aik-1=sin^2m;r-tan0=sin।|(-T).tan〃e=tan"。,

n—1_n—]

2m-2nn

此时^―=2m-2,a„=a2k-i=tan"，=(一l)-tan6>=(-1)—tan0.

n-1

综上，当"为偶数时，斯=0;当〃为奇数时，aa=(-l)F~tan"0.

(2)当n=l时，由(1)得，S2=«i+«2=tan0,

等式右边=k1120(1+tan20)=sin〃・cos/白^=tan0.

当〃=左+1时，由(1)得：

+12it2fc+1

S2(k+i)=S2k+a2k+i+a2k+2=S2k+a2k+i=^sin20-[l+(—l/tan0]+(―l)tan0=1

2ii

sin20-1+(-1)*+/an?峪+(-^tanM+16=]sin20-1+(一l)k+2-tan2k+20-—^^-+

si/nO=2sin2夕1+(-1户五心+2《一景+磊)=|sin2伊口+(-1产侬产

20].

n+12,,

综上所述，对任何正整数"，S2n=1sin26»-[l+(-l)tan6>].

[方法归纳]

(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，

等式两边各有多少项，以及初始值"0的值.

(2)由n=k到"=«+1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n=k时的式子，

即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.

[变式训练]

(•薪州期末)已知兄(x)=(-l)°C2，Mr)+(—l)iCVi(x)+”・+(—l)"C；/„(x)("eN*,x>0),

其中£(x)(iC{0,l,2,…，”})是关于x的函数.

(1)若f(X)=f(ieN),求尸2(1),歹2017⑵的值；

⑵若£3=含(iGN),求证：F3=(x+i)(/j..…(工+〃产CN)

解：⑴因为/■(x)=xi(iGN),所以F„(x)=(-1)℃^0+(-1)^^1+•••+(-l)nC2xn=(1

n217

-x),所以F2(l)=O,F2oi7(2)=(l-2)«=-l.

(2)证明：因为方(%)=喜住>0,iGN),

1n,

所以F„(x)=(-l)℃<^)(x)+(-l)C*(/i(x)+-+(-l)C；y；,(x)=z|(-l)Cj,^(〃GN*).

i=0'

W=1XY1

①当〃=1时，F"(x)=Z(-1)02=1—F7=F7，所以〃=1时结论成立.

.=cLXT。」Xi1Xi1

②假设"=A（«GN*）时结论成立,

k

即尸3=Z［（T）©由

i=0

__________k\_________

=(x+l)(x+2)......(x+*)>

k+irx-

则〃=左+1时，Fk+1(x)=S(-1)'©+1而

=1+红（7）©+南］+（—i产团小

=1+斗（_1），©+5）对+（-1产.的看

krr~|k+ir-

=z[(—»cm+z(—iyc「不T

1=0」」1=1」-

k+1

=F(x)~Z

k（T3我

i=l

[(-1)9布五|

=F)t(x)—E

i=0

kx+1r

="(%)—=[(-1),©后近

LO1--x+l

_x__________k\__________________k\____________x

x+l”"1)(x+l)(x+2).....(x+fc)(x+2)(x+3)***(x+l+A:)X+1

______(x+l+，)・k!-x・kl_____

(x+l)(x+2)…(x+k)(x+l+k)

=_________(4+1)!___________

(x+l)(x+2)(x+3)…(工+1+4)，

所以〃=4+1时，结论也成立.

综合①②可知，

F"⑴=(x+l)(x+2)…(*+〃)("GN*).

愿型二v用数学归纳法证明不等式

[例2](•南京模拟)已知数列｛斯｝满足%=3〃-2,函数----F；,g(“)=/(/)

ulU2Un

—f(n—l)9〃£N*.

(1)求证：g(2)>j;

(2)求证：当"23时，g(n)>2.

；

［证明］(1)由题意知，an=3n—29g(")=+'一+」-H--------

斯ttn+l斯+2斯2

当n=2时,g(2)=5+2+ET+"吉=哥曰故结论成立.

⑵用数学归纳法证明:

①当”=3时，8(3)=&+£+%+…+£=亍+而+记+而+逐+五+云=亍+

++击+H+信+»£>>:+©+白点)+(专+专+专)

13111

3-3

-优-

883

16+3216+

所以当〃=3时，结论成立.

②假设当〃=人他与3,A：£N*)时，结论成立，

即g(*)>|,

则当n=k+l时，g(k+1)=g(k)+^+^+•••+---_；>[+1+1+…+

像+21像+22”(4+1)2像3像+21像2+2

12AH~11

Q(R+1)2ak33(左+1)2—23k—2

1(24+1)(34—2)—[3/+—2]

=3+[3/+1)2—2](31—2)

13k2—7k~3

=3+[3(*+1)2-2](3Jt-2)J

由心3可知，3*2-7*-3>0,即g(A+l)*.

所以当〃=4+1时，结论也成立.

综合①②可得，当心3时，g(w)>1.

［方法归纳］

(1)当遇到与正整数”有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数

学归纳法.

(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由〃=M«eN*)成立，推证"=1+1时也成立，证

明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.

［变式训练］

设实数a\,〃2,…，斯满足〃1+。2+…+斯=0,且21H--------且〃22),

令瓦=*>/£N*).求证：|历+岳H------F瓦|<；一总〃£N*).

证明：(1)当〃=2时，“1=一。2,

所以同+0|=2|%0,即|的|号

所以|岳+岳|="1+•=野得=之一装3，

即当n=2时，结论成立.

(2)假设当％=k(A£N*且左22)时，结论成立，

即当〃1+°2+―+掠=0,且|。1|+|。2|+~+欣忘1时，有I历+岳H------1■勿区］一

则当n=k+l时，由。1+。2+…+。4+四+1=0,

且khl+|a21H--------

可得2底+i|=|〃i+a2H-----\-ak\+\ak+11|«iI+1«214---------H像

所以底+il号

又〃1+。2-|-------|-像_1+34+像+1)=0,且----H像-1|+|纵+像+l|W|ai|+|a2|+…

+底+i|Wl,

由假设可得岳+岳+…+加一1+妃泮1WV，

所以步1+岳+…+瓦+/+1|

=,+岳+…+瓦一1+詈+署I

=|'+岳+…+J+3)+(黑一明I

22(*+1),

即当n=k+l时，结论成立.

综合(1)(2)可知，结论成立.

题型三

[例3](•苏锡常镇二模)已知f,(x)=C2x"—G(x-1)"+…+(-1)的仅*一4)"+…+(一

l)nC；：(x-ra)n,其中xGR,“GN*,左GN,kWn.

(1)试求力(x),力(x),力(x)的值；

(2)试猜测加x)关于n的表达式，并证明你的结论.

[解](iyi(x)=C?x—cl(x—1)=X—x+l=l;

/2(X)=C§X2-C1(X-1)2+C1(X-2)2=X2-2(X2-2X+1)+(X2-4X+4)=2;

^(x)=Cyx3-a(x-l)3+Ci(x-2)3-C^(x-3)3=x3-3(x-l)3+3(x-2)3-(x-3)3=6.

⑵猜测：f„(x)=nl.

.n!___________n\_______(〃-1)!_____

而kCn=k'k\(n-k)\=(A：-l)!(n-Jt)!，nC'」=n'(★一1)!(“一与！=

______n\_______

(左一1)!(〃—4)！，

所以kC£=〃cQ.

用数学归纳法证明结论成立.

①当〃=1时，/i(x)=l,所以结论成立.

②假设当〃=左时，结论成立，即人(x)=C2必一a(x-l)&+・・・+(-l)Hl(x-k)A=k!.

则当n=k+l时，勿+1日)=&+1f+1—&+1(*—1)计】+・“+(—1)*+(仁1(工一女一1)时|

=a+ix*+1-cki(x-lAx-1)+-4-(-l)fcCki(x-fc)A(x-*)+(-l)t+1CSl(x-A：-l)k

+i

itt

=x[CLix-Cki(x-l/+-+(-l)M+i(x-fc)]+[a+i(x-l)-2a+i(x-2/-+(-

1)户14&+1(*—《直+(—l)AiC仁1(工一《—1)户1

=x[Cixk-(Cl+Ci)(x-l)k+…+(-1AcHCf1)^-k)k]+(k+l)[(x-l/-CRx-

2产”+(一1户+ic£F(x一直打+(—1)时】C处](x-A-l产(x-A—l)

=x[(如一伙l1)J1-(-l)kCi(x-k)k]-x[C2(x-1)M1■(一1)尸1以-1(工一。6+

(JH-l)[(x-l)i-CKx-2)i-+(-l)i+,Cri(x-A)i]+x(-l)i+1CKx-fc-l)i-(jt+l)(-l)i+

»(x-fc-l)i=x[C?xi-C1(x-F(-lAc£(x-«)6-x[C2(x-lA++“+(-l)LiCQ(x

-A:)t+(-l)ftCKx-fc-l)i]+(A:+l)[C2(x-l)i-CKx-2)tH1~(一1)广1以-1(X一左户+(一

i/(x-A：-i/］.(*)

由归纳假设知(*)式等于-x-kl+(A+1>A!=(fc+l)!.

所以当n=k+l时，结论也成立.

综合①②，fn(x)=n\成立.

［方法归纳］

^利用数学归纳法可以探索与正整数〃有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归

纳一猜想一证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正

确性.

解''归纳一猜想一证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基

础.否则将会做大量无用功.

［变式训练］

(•盐城模拟)记八”)=(3〃+2)(©+Cg+C?H----FCQ(〃>2,«eN*).

(1)求人2),犬3),以4)的值;

(2)当“GN*时，试猜想所有/(")的最大公约数，并证明.

解：⑴因为加)=(3〃+2)(G+C3+C?+…+C分=(3"+2)C£+i,

所以｛2)=8,1A3)=44,A4)=140.

(2)证明：由⑴中结论可猜想所有/(〃)的最大公约数为4.

下面用数学归纳法证明所有的/>)都能被4整除即可.

①当〃=2时，｛2)=8能被4整除，结论成立；

②假设«GN*)时，结论成立，

即八依=(3«+2)&+1能被4整除，

则当n=k+l时，八#+1)=(34+5)C2+2

=(34+2)&+2+3C2+2

=(?k+2)(a+i+ci+i)+(*+2)a+i

=(3左+2)C2+i+(34+2)(3+i+(4+2)(3+i

=(3左+2)C2+i+4供+l)(3+i,

此式也能被4整除，即n=k+l时结论也成立.

综上所述，所有_/(〃)的最大公约数为4.

［课时达标训练］

_cx~\~d

1.(•南通三楼)已知函数6(工)=石不力"二0,bc-ad^o).设%(x)为Ei(x)的导数，”

6N*.

(1)求力(x),力(x)；

(2)猜想/,(X)的表达式，并证明你的结论.

』,(cx+rf\,be-ad

解：⑴力(©=,，(x)=(抽

.「bc-ad~\—2a(bc-ad)

启")=力(*)=[/司l=3+8)3・

..(—l)nl*anl*(bc—ad)'n!*

(2)猜想人(好=1~3+:了1，〃£N*・

证明：①当〃=1时，由⑴知结论成立，

②假设当〃=左优£N*且左21)时结论成立，

klk1

o即有,心)=('―l)*3a+*；(b产c—ad)*k!•

当〃=左+1时，

klklau

,r(―l)*a~(bc-ad)k!1

掴+@=族(幻=「3+产—\

k1kl

=(—1)~-a-{bc—ad)-k![(ax+Z>)<4+1)1，

(一1卢小(f)c-arf)M+l)!

二(ax+b)k+2.

所以当n=k+l时结论成立.

由①②得，对