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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.三棱锥中,侧棱底面,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.2.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统计得到折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析.①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间110,120内;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关;④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.其中正确的个数为()A.4 B.3 C.2 D.13.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“”表示一个阳爻,“”表示一个阴爻)若从八卦中任取两卦,这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为()A. B. C. D.4.tan570°=()A. B.- C. D.5.正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成角,则正三棱锥的外接球的体积为()A. B. C. D.6.已知双曲线的左、右焦点分别为,,P是双曲线E上的一点,且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M,且M为的中点,则双曲线E的渐近线方程为()A. B. C. D.7.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“—”表示一根阳线,“——”表示一根阴线).从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为()A. B. C. D.8.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是().A. B. C. D.9.已知函数,若,则下列不等关系正确的是()A. B.C. D.10.已知,,若,则实数的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或711.若向量,则()A.30 B.31 C.32 D.3312.如图,在中,点,分别为,的中点,若,,且满足,则等于()A.2 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表,甲被选中的概率为__________.14.已知函数,若方程的解为,(),则_______;_______.15.如图所示,直角坐标系中网格小正方形的边长为1,若向量、、满足,则实数的值为_______.16.曲线在点处的切线方程为__.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点,.(1)当时,求的面积;(2)设直线与椭圆的另一个交点为,当为中点时,求的值.18.(12分)已知数列,,数列满足,n.(1)若,,求数列的前2n项和;(2)若数列为等差数列,且对任意n,恒成立.①当数列为等差数列时,求证:数列,的公差相等;②数列能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列;若不能,请说明理由.19.(12分)已知函数u(x)=xlnx,v(x)x﹣1,m∈R.(1)令m=2,求函数h(x)的单调区间;(2)令f(x)=u(x)﹣v(x),若函数f(x)恰有两个极值点x1,x2,且满足1e(e为自然对数的底数)求x1•x2的最大值.20.(12分)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为,三人各射击一次,击中目标的次数记为.(1)求的分布列及数学期望;(2)在概率(=0,1,2,3)中,若的值最大,求实数的取值范围.21.(12分)已知函数,它的导函数为.(1)当时,求的零点;(2)当时,证明:.22.(10分)已知函数.(Ⅰ)当时,讨论函数的单调区间;(Ⅱ)若对任意的和恒成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】由题,侧棱底面,,,,则根据余弦定理可得,的外接圆圆心三棱锥的外接球的球心到面的距离则外接球的半径,则该三棱锥的外接球的表面积为点睛:本题考查的知识点是球内接多面体,熟练掌握球的半径公式是解答的关键.2.C【解析】
利用图形,判断折线图平均分以及线性相关性,成绩的比较,说明正误即可.【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,最高130分,平均成绩为低于130分,①错误;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[110,120]内,②正确;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关,③正确;④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步,故④不正确.故选:C.【点睛】本题考查折线图的应用,线性相关以及平均分的求解,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.3.C【解析】
分类讨论,仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦,从中取两卦;从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个,再取没有阳爻的坤卦,计算满足条件的种数,利用古典概型即得解.【详解】由图可知,仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦,从中取两卦满足条件,其种数是;仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦,没有阳爻的是坤卦,此时取两卦满足条件的种数是,于是所求的概率.故选:C【点睛】本题考查了古典概型的应用,考查了学生综合分析,分类讨论,数学运算的能力,属于基础题.4.A【解析】
直接利用诱导公式化简求解即可.【详解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故选:A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,主要考查诱导公式的应用,属于基础题.5.D【解析】
由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高,再利用勾股定理求得球半径后可得球体积.【详解】如图,正三棱锥中,是底面的中心,则是正棱锥的高,是侧棱与底面所成的角,即=60°,由底面边长为3得,∴.正三棱锥外接球球心必在上,设球半径为,则由得,解得,∴.故选:D.【点睛】本题考查球体积,考查正三棱锥与外接球的关系.掌握正棱锥性质是解题关键.6.C【解析】
由双曲线定义得,,OM是的中位线,可得,在中,利用余弦定理即可建立关系,从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意,点P一定在左支上.由及,得,,再结合M为的中点,得,又因为OM是的中位线,又,且,从而直线与双曲线的左支只有一个交点.在中.——①由,得.——②由①②,解得,即,则渐近线方程为.故选:C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程,涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识,是一道中档题.7.B【解析】
根据古典概型的概率求法,先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数,再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数,代入公式求解.【详解】从八卦中任取两卦基本事件的总数种,这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种,分别是(巽,坤),(兑,坤),(离,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.故选:B【点睛】本题主要考查古典概型的概率,还考查了运算求解的能力,属于基础题.8.B【解析】
求出在的解析式,作出函数图象,数形结合即可得到答案.【详解】当时,,,,又,所以至少小于7,此时,令,得,解得或,结合图象,故.故选:B.【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的范围,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.9.B【解析】
利用函数的单调性得到的大小关系,再利用不等式的性质,即可得答案.【详解】∵在R上单调递增,且,∴.∵的符号无法判断,故与,与的大小不确定,对A,当时,,故A错误;对C,当时,,故C错误;对D,当时,,故D错误;对B,对,则,故B正确.故选:B.【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,属于基础题.10.C【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算,化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算,代入化简可得.∴解得.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,属于基础题.11.C【解析】
先求出,再与相乘即可求出答案.【详解】因为,所以.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.12.D【解析】
选取为基底,其他向量都用基底表示后进行运算.【详解】由题意是的重心,,∴,,∴,故选:D.【点睛】本题考查向量的数量积,解题关键是选取两个不共线向量作为基底,其他向量都用基底表示参与运算,这样做目标明确,易于操作.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,根据公式即可求得概率.【详解】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,.故答案为:.【点睛】本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.14.【解析】
求出在上的对称轴,依据对称性可得的值;由可得,依据可求出的值.【详解】解:令,解得因为,所以关于对称.则.由,则由可知,,又因为,所以,则,即故答案为:;.【点睛】本题考查了三角函数的对称轴,考查了诱导公式,考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断的取值范围,导致求出.在求的对称轴时,常用整体代入法,即令进行求解.15.【解析】
根据图示分析出、、的坐标表示,然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值.【详解】由图可知:,所以,又因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算,难度较易.已知,若,则有.16.【解析】
对函数求导后,代入切点的横坐标得到切线斜率,然后根据直线方程的点斜式,即可写出切线方程.【详解】因为,所以,从而切线的斜率,所以切线方程为,即.故答案为:【点睛】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)或【解析】
(1)联立直线的方程和椭圆方程,求得交点的横坐标,由此求得三角形的面积.(2)法一:根据的坐标求得的坐标,将的坐标都代入椭圆方程,化简后求得的坐标,进而求得的值.法二:设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,化简后写出根与系数关系,结合求得点的坐标,进而求得的值.【详解】(1)设,,若,则直线的方程为,由,得,解得,,设直线与轴交于点,则且.(2)法一:设点因为,,所以又点,都在椭圆上,所以解得或所以或.法二:设显然直线有斜率,设直线的方程为由,得所以又解得或所以或所以或.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中三角形面积的求法,考查运算求解能力,属于中档题.18.(1)(2)①见解析②数列不能为等比数列,见解析【解析】
(1)根据数列通项公式的特点,奇数项为等差数列,偶数项为等比数列,选用分组求和的方法进行求解;(2)①设数列的公差为,数列的公差为,当n为奇数时,得出;当n为偶数时,得出,从而可证数列,的公差相等;②利用反证法,先假设可以为等比数列,结合题意得出矛盾,进而得出数列不能为等比数列.【详解】(1)因为,,所以,且,由题意可知,数列是以1为首项,2为公差的等差数列,数列是首项和公比均为4的等比数列,所以;(2)①证明:设数列的公差为,数列的公差为,当n为奇数时,,若,则当时,,即,与题意不符,所以,当n为偶数时,,,若,则当时,,即,与题意不符,所以,综上,,原命题得证;②假设可以为等比数列,设公比为q,因为,所以,所以,,因为当时,,所以当n为偶数,且时,,即当n为偶数,且时,不成立,与题意矛盾,所以数列不能为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的求和及数列的综合,数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法,数列综合题要回归基本量,充分挖掘题目已知信息,细思细算,本题综合性较强,难度较大,侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.19.(1)单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+∞)(2)【解析】
(1)化简函数h(x),求导,根据导数和函数的单调性的关系即可求出(2)函数f(x)恰有两个极值点x1,x2,则f′(x)=lnx﹣mx=0有两个正根,由此得到m(x2﹣x1)=lnx2﹣lnx1,m(x2+x1)=lnx2+lnx1,消参数m化简整理可得ln(x1x2)=ln•,设t,构造函数g(t)=()lnt,利用导数判断函数的单调性,求出函数的最大值即可求出x1•x2的最大值.【详解】(1)令m=2,函数h(x),∴h′(x),令h′(x)=0,解得x=e,∴当x∈(0,e)时,h′(x)>0,当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0,∴函数h(x)单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+∞)(2)f(x)=u(x)﹣v(x)=xlnxx+1,∴f′(x)=1+lnx﹣mx﹣1=lnx﹣mx,∵函数f(x)恰有两个极值点x1,x2,∴f′(x)=lnx﹣mx=0有两个不等正根,∴lnx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0,两式相减可得lnx2﹣lnx1=m(x2﹣x1),两式相加可得m(x2+x1)=lnx2+lnx1,∴∴ln(x1x2)=ln•,设t,∵1e,∴1<t≤e,设g(t)=()lnt,∴g′(t),令φ(t)=t2﹣1﹣2tlnt,∴φ′(t)=2t﹣2(1+lnt)=2(t﹣1﹣lnt),再令p(t)=t﹣1﹣lnt,∴p′(t)=10恒成立,∴p(t)在(1,e]单调递增,∴φ′(t)=p(t)>p(1)=1﹣1﹣ln1=0,∴φ(t)在(1,e]单调递增,∴g′(t)=φ(t)>φ(1)=1﹣1﹣2ln1=0,∴g(t)在(1,e]单调递增,∴g(t)max=g(e),∴ln(x1x2),∴x1x2故x1•x2的最大值为.【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值和最值,考查了函数与方程的思想,转化与化归思想,属于难题20.(1),ξ的分布列为ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
(2)【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中,3-ξ个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2;P(ξ=1)=·(1-a)2+a(1-a)=(1-a2);P(ξ=2)=·a(1-a)+a2=(2a-a2);P(ξ=3)=·a2=.所以ξ的分布列为ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
ξ的数学期望为E(ξ)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)
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