电动力学题库

1、半径为R的均匀磁化介质球,磁化强度为疯，则介质球的总磁矩为

3府

A.MB、3C、4成3D、0

答案:B

2、下列函数中能描述静电场电场强度的就是

C、6冷a+3/引D、阻（以为非零常

A2xex+3yey+xezR、8cos。

数）

答案：D

3、充满电容率为£的介质平行板电容器，当两极板上的电量g=0osm戏（。很小），若电容器的电容

为C,两极板间距离为d,忽略边缘效应,两极板间的位移电流密度为：

却0。%）。.

cosCDtsin号sin戏D、g“cos成

A.dCB、dCC、

答案:A

4、下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度?式中的。为非零常数

A.（柱坐标）B、一徵外+口麻,C、axe^-ay&y口、々尸，

答案:A

5、变化磁场激发的感应电场就是

A、有旋场，电场线不闭与B、无旋场，电场线闭与C、有旋场，电场线闭与D、

无旋场，电场线不闭与

答案：C

6、在非稳恒电流的电流线的起点、终点处，电荷密度户满足

C、Q=oD、筌°

A、PB、

答案：D

7、处于静电平衡状态下的导体，关于表面电场说法正确的就是:

A、只有法向分量；B、只有切向分量；C、表面外无电场；D、既有法向分量，又有

切向分量

答案:A

8、介质中静电场满足的微分方程就是

N•E=—,VxE=—一一▽.京=£,vx/=。；

A^备公B、VD=^Vx£=0；c、%

V5=p,Vx£=

D、«

答案:B

9、对于铁磁质成立的关系就是

A、B=pHB月=〃o巨C、B=+M)D、B=+M)

答案:C

10、线性介质中，电场的能量密度可表示为

答案:B

11、已知介质中的极化强度声=/蜃，其中/为常数,介质外为真空，介质中的极化电荷体密度

%=—；与巨垂直的表面处的极化电荷面密度G分别等于

与。答案：0,A,-A

12、已知真空中的的电位移矢量力=(5xy久+z2e,)cos500t,空间的自由电荷体密度为——答案：

5ycos500Z

_dB_

13、变化磁场激发的感应电场的旋度等于。答案：一瓦’

14、介电常数为£的均匀介质球，极化强度巨/N为常数，则球内的极化电荷密度为一表面

极化电荷密度等于答案0,4cos6

P=K^r,电容率为£

15、一个半径为R的电介质球，极化强度为r，则介质中的自由电荷体密度

为，介质中的电场强度等于、

Kr

答案：2

p,=或"一外?e0r

22、有一内外半径为泳亦空心介质球，介质的电容率为%使介质内均匀带静止自蝇丽，求(1)空间额的蜥(2)极雌蛹和避面蛹分瓶

解：(1)由于电荷体系的电场具有球对称性，作半径为r的同心球面为高斯面,利用高斯定理

山ZXHs=\Pfdv

5V

DJEMTIZ2=Jp^dv=O,Dj=0,51I=0

当OVrV々时，v

鼻串加。=0畤川1

勺<r<4时，与-F~P*4---33「

2串初"2=巧耳神'I)

r>“时,

(2)介质内的极化电荷体密度

TTT->

Pp——▽p,而。=无―E)=(£一格)为

所以今=-(~铲用=-七普▽.孕；

32r

3sr

3T

由于y.；=3,C4=43y.：=o；wO

rj

所以P产-泞PLQ-予,

界面上的极化电荷面密度4=二宿-南

设介质为T',介质壳外的真空为“2"，则有自=0,叼

对r=勺的表面0k=一"夕1=0

对厂=々的表面口血=%PaIf=(2-0湿If(1-

24内外半径分别为三和r：的无穷长空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流

导体的磁导率为俘求魅感应强度和磁化电流。

TT

解：（1）由于磁场具有轴对称性,在半径为r的同轴圆环上,磁场2耳大小处处相等,方向沿环的切

线方向，并与电流方向服从右手螺旋关系,应用

山分出；=月田;

当r>弓时,有

2M=叫（蜡-4），&=㈠”）〃

考虑方向，矢量式为:宓二竺苧）,，；，其中；是有轴线志向场点

2rJ

并垂直轴线的矢量4=/属=

2r

当勺<r<4时，

->尸2_尸2T->->T4]r2一尸21TT

2nrH2=7rJf^-r^,H2=^^J/xr,B2=^H2=^-^T^Jfxr

当r〈G时,

2m出=0,京=0,身=0

⑵由磁化电流1与磁化强度k的关系[=vxi?

得jl=VxM=（^r-l）VxH+V（/zr-lXH

对稳恒电流，VxiU匕由于介质均匀，故V（4-1）=0。

于是，得

（1--）£

氏（4<「<弓）

在r=q的表面，利用磁化电流线密度N=[x（区-看1）,并规定导体为介质“2

导体外的真空为介质“1

从而峪=0,得到%i=«XM2|f=务*（4-1）H21

—>—>—>

(47%x(J/Xr)=0(r=q)

2勺

在r=勺表面%=型％If=-%x(%-1)为高

=一(4一1).；勺L,x(%X广)=一(△-1)*F己(广=勺)

2G网24

27.试由麦克斯韦方程组之一及电荷守恒导出疝=Q

->

解：对场方程Vx节亍+空，两边取散度

dt

—>

V0(VxH)=vtv+vd^

dt

—>

由于▽□(▽xib=0,所以把=0

dt

VO7+—(V[£)=0

再将电荷守恒定律疝=一半代入，得

Tot

嘴+豕VED)=0即VED=Q

29.求一个匀速运动(v«c)的电荷的电磁场。

解以电荷q为原点，选取运动方向；为z轴，如图1-29,由于电荷运动速度v«c,

图1-29

q产生的电场可用静电场表示。

E

《汝。炉

以轴为轴做一圆形环路，半径为，圆周上各点磁场相同。由麦克斯韦方程

^Hdl=\^dZ=—[bdZ

(1)

Lsa%s

而穿过圆面的!I的通量

fT-rraZ

\Dds=\"Ecos&ds=]0----------y—27irdr⑵

sso4阳*R

其中r为圆心到圆面上任意点的距离，R为由q到该点的距离，由于RJ^+r*于是

向二口上「当--三=）

!2J+R2，历”，(3)

玄

1dz

-----—+——(4)

+/dt（丁+/户

因畤『，代入⑷式，因

初2历7q二J(5)

将6）式代入（1）式中得，L上各点磁场为

2

TTcaav..aavavRsin&

H-2>ra=——----VrH=--------------r=-------

-47东3

2(z20+a20y4?r(z20+a2)02

写为矢量式，即五=懑,3=%五=维单

4激AJTPJ

由结果可以看出，匀速运动的电荷的电场E与3之间满足,B=lvx£.

C

41在图1.4中，有电容器，内半径为a,夕泮径为c,在ac间充满两层电介质，其分界面

为我为半径的球面，Ab之间介质1及b,次间介质2的电容率分别为

"&）=苔，鼻（玲=7/户

其中遂从球心算起的距离，试计算：

（1）电容器的电容；

（2）若电容器两端加以恒定电压U,求出电场的表达式，并计算束缚电荷分布密度。

解：Q）在介质中做一半径为r的同心球面，根据高斯定理

图1-41

山D.ds=Jpdv

—>

当avr<曲，有乌口6？=Q,D=-^—eEx=—=―

Am-£i4福a'

当b<r<^,D=,024/电容器两极之间的

2W4加TIW=4得以r

ttQ

电压为E3+|E?田广:"g一"+上/_)

U=J1\24阳/3c3/

电容器的电容为C=W4阳/

~c^

b—a+

女％3

⑵如果电容器两端加一恒定电压U,则由（1）中结果得电容

器极板带电量Q=CU=4宏呼

,c-b

b-a+—--

女3b3

；_UT盘_UT

广；―KF"?="―7T3;

~+而加"加如

束缚电荷的分布可由q,=-：KJ-J）及QJ-VtJ得到:

r=a的界面上：1=-1成=-（£1-£口即々=-Q

4阳，

r=b的界面上：%=-3血一3）=-（22-④玛LM与一@4L

(0-&Q_(0_QQ_Q『g_£_

]

4阳/4痛a%'4痛10

(22QQ

r=c的界面上：cr3=1^=(f2-S2=

在介质1中，束缚电荷体密度

一冠—唱U-

在介质2中，束缚电荷体密度

-70^-+-^-_0_

%=-演=-

魂4啊）C4〃rA?la2私2r5

42有一半径为b,电导率为b,电容率为斑大球内部有一半径为a的同心小球，两球

由同种物质组成，设在t=0时，小球上有电荷%,均匀分布于球面上，求

（1）t时刻小球面上的电量；

（2）在放电过程中的焦耳热损失。

解：设t时刻小球上的电量为Q,作一同心球面刚刚将小球包围住，利用电荷守恒定律

及高斯定理

好/=一祟，（1）

S

区雇=0,（2）

5

T

->TTT

又因为,Z）=eE,E=上代入（1）,（2）,得

b

学+级=0,解得。=八门

dtE

可见小球的电量是按指数规律衰减的，电导率。越大，£越小，

衰减得越快。

（2）根据能量守恒定律，放电过程中的焦耳热损失就等干放

电前后的电场能量之差，放电前

W1=ljmd,=工卜遥2QUr2赤+2j邮考

22ac2<A>

=3式悬）2口疗力+；卜卷）皿加亦

=4（1二）+/

8宏ab8痛S

放电后，小球上的电量。=0,电荷Q全部分布于大球表面，此时

电场能量为明=:［办由d,=岛（7%）2中不产小,=

22J2\04痛产g痛3

所以焦耳热损失为△取=跖-%=舆（1-3

8mab

43设有一半径为盘介质圆球，置于一均匀磁场3之中，且绕通过其球台的某一固定

轴，以角速度奉动，磁场方向平行于瓣蚌由，如图1Y3所示，试求其感应电荷的面密

图1-43

解：如图19作用于电荷q上的洛仑兹力为

TTTTTTTA

式中w为单位矢量，方向垂直于轴线.此力F相当于有一等效电场作用福上，等效

T

―八

电场为Eo=—=sin.

根据：=无区m=(£一/值得

p=（2-0）E=sin0rQ

利用边值关系o-f=-n-(p2-pj

介质球面上的束缚电荷面密度为

<j=附生=/?sin8=(£­s^BcDasm23

第二章静电场

vV=--

1、泊松方程£适用于

A、任何电场B、静电场；C、静电场而且介质分区均匀；D、高频电场

答案：C

2、下列标量函数中能描述无电荷区域静电势的就是

A.3X3+6/B、2X2+3/-5Z2&5x2+8/+z3口、7x2+3z2

答案：B

3、真空中有两个静止的点电荷肉与心，相距为a,它们之间的相互作用能就是

q曲

A.4叫UB、8”c、2加D、32府决

答案:A

4、线性介质中，电场的能量密度可表示为

11一一

-p（f）-DE

A、2；B、2；C、P0D、DE

答案:B

5、两个半径为舄，尺=4为带电量分别就是砧国2,且％=敢导体球相距为a（a〉＞M，鸟），将她

们接触后又放回原处,系统的相互作用能变为原来的

答案：A

6、电导率分别为5,5,电容率为6，0的均匀导电介质中有稳恒电流,则在两导电介质分界面上电

势的法向微商满足的关系就是

A.dndnB、.我

岫_岫1勉_1淞

C、巧前一石防D、5沏0dn

答案:C

7、电偶极子户在外电场片中的相互作用能量就是

A、尸.瓦B、"瓦C、一尸纥D、尸纥

上a、、

0=—+b,a,b

8、若一半径为R的导体球外电势为「为非零常数,球外为真空,则球面上的电荷密度

为.

例

答案：记

E史

。=一4rcos9-\——cos0

9、若一半径为兄的导体球外电势为尸，a为非零常数，球外为真空，则球

面上的电荷密度为.球外电场强度为、

答案：3qacos6产=-4[3州+（1-蠢即宠0]

2、均匀各向同通介质中静电势满足的微分方程就是；介质分界面上电势的边值关系就是

与；有导体时的边值关系就是与。

▽*=一£，。1=肉,£2等一马兽=-b,4=C,£1^=—b

答案：2dndn

n、设某一静电场的电势可以表示为狼=a/y一左，该电场的电场强度就是

答案：-20*-公每+场

12.真空中静场中的导体表面电荷密度。

dcp

答案：加

13.均匀介质内部的体极化电荷密度心总就是等于体自由电荷密度白的倍。

£o_

答案：-（「T）

J7=—f处.戊*）

14、电荷分布。激发的电场总能量而7」r的适用于情形、

答案:全空间充满均匀介质

15.无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于o

q京

答案：4年我

16、接地导体球外距球心a处有一点电荷q,导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等

于、

答案：4阳）a

17.无电荷分布的空间电势极值、（填写“有”或“无”）

答案:无

18.镜象法的理论依据就是,象电荷只能放在_____区域。

答案:唯一性定理，求解区以外空间

19.当电荷分布关于原点对称时,体系的电偶极矩等于。

答案:零

20、一个内外半径分别为艮、＜,SPANlang=EN-US〉R2的接地导体球壳,球壳内距球心a处有一个

点电荷，点电荷q受到导体球壳的静电力的大小等于。

及汹加

答案：4福（K：/a-a）

21.一个半径为R的电质介球,极化强度为P=户，电容率为£,

（1）计算束缚电荷的体密度与面密度；

（2）计算自由电荷体密度；

（3）计算球内与球外的电势；

（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。

解:⑴根据凸=一呵

广k

4=-7［察7）=-/

球面上的极化电荷面密度

4=一亚万2-瓦）|…=/P\r-a=

⑵在球内自由电荷密度巧与弓的关系为

PL.〜成2

得1一0/£（£一0），

（3）球内的总电荷为

由于介质上极化电荷的代数与为零,上式中后两项之与等于零。

A碓kR

Q=[Q*，=J：)・串

~匕0*

球外电势相当于将Q集中于球心时的电势

QekR

q\=-^=-------------

4%EJ）0（£一(r>R)

球内电势

例=L用田广+我|%史

①

根据,=无，下2=（£-无）瓦得

.=上="2

£一0（£一£（）＞②

将②代入①式,得

sk

的=

无（£一络）

k„RE、

-----(In—+—)

二2—E。r%

（4）求该带电介质球产生的静电场总能量：

由用/电々匕得：

2v

1f求Re.,

TWTZ=-\----Qn—nH）A渭Adr2

210—城胃,r?

=2Q+£）（―）3

22、真空中静电场的电势为0乂£。））（“为常数），求产生该电场的电荷分布

vV=-—

解：由静电势的方程翊，得

0(?r>0)

P=-^V2＜p=-£b^7=

1。"＜。），因此电荷只能分布在x=0面上，设电荷面密度为仃，根据边

值关系

b=9(2-£\)=一胡(等一组)1_o=2a

\dxdx)

28.在均匀外场中置入半径为凡的导体球,试用分离变量法求下列两种情况的电势:

(1)导体球上接有电池，使球与地保持电势差愈；

(2)导体球上带总电荷Q。

解：(1)选导体球球心为坐标原点,E。方向为极轴Z,建立球坐标系,并设

未放入导体前原点电势为的，球外电势为巴则。满足

vV=o(氏>4)①

阂②

的郎-E。Reos8③

由于电势。具有轴对称性,通解为

/=£(%*+备)々(cos?

R(T)

将④代入②、③式比较Px的系数，得

&=用,%=-*0,%=。伽=°,1)

b。=(①o—%)M=&琼，4-0(加。0,1)

cp=-EQRcos6+郎+（①厂?）4+零c°sd

所以RR（R〉Ro）

o的第一、二项就是均匀外电场的电势，第三项就是导体接上电源后使球均匀带电而产生的球

对称电势,最后一项就是导体球上的感应电荷在球外产生的点势。

(2)若使导体球带电荷Q,则球外电势满足

V『=0(&>4)

①

如史多二①。(待定常量)

②

/I£-9=好一E0Rcos@

山一格雾।f曲=」

同时满足要求④

由于前三个关系与①中相同，故

q）=-E忠eqs。+铢+

RR⑤

将⑤式代入④式中，得

「二3稣稣cos8+式①&sin9d9do=0

可=6）+7■邑二

4福一

解得

cp-—E°Rcos0+"+——--+cos3

于就是,得4阳）氏R⑥

31.空心导体球壳的内外半径为与与耳，球中心置一偶极子P,球壳上带电Q,求空间各点电势与

电荷分布。

解:选球心为原点，令万=召引，电势等于球心电偶极子的电势与球壳内外表面上电荷的电势,之

与，即壳内外电势

①

pR.

的二砺”

②

电势满足的方程边界条件为

▽%=-2“（x-x；）-g5（x-x；）］

%③

④

.屋有限

⑤

%|g9=0

⑥

6kbY=用（待定）

⑦

喻翳晨去=-。

由于电势具有轴对称性,并考虑5,6两式,所以设

或’=2%K>*（cos?（氏<舄）

b

Q=Z庐P<cos<跖

将上式代入①,②两式后再利用⑦式解心

%=^^at=~~Jr，％=°（/。°，1）

4福五；

%=用坳，瓦=丁，b*—0（«。0,1）

4阳

于就是,得

万曲pRCOS&/n门、

<

%=4痛加人6+用一心4福风Q舄）

4痛炉R4痛舄R

将仍代入⑧式可确定导体壳的电势

4痛为

最后得到

=1万笈_反女+。］

我一^^丁一彳+可，（R<R。

的=万器’出<4)

球壳内外表面的电荷面密度分别为

"察最=-哥。

T=F翳鼠=一会

球外电势仅就是球壳外表面上的电荷Q产生，这就是由于球心的电偶极子及内表面的5在壳

外产生的电场相互抵消,其实球外电场也可直接用高斯定理求得：

用此=

E2=或=jQ

4阳&14福&

34.半径为耳的导体球外充满均匀绝缘介质J导体球接地,离球心为a处(a>&)置一点电荷Q7，

试用分离变量法求空间各点电势,证明所得结果与镜像法结果相同。

解：(1)分离变量法:选球心为坐标原点,球心到°』的连线方向为z轴,设球外电势为?它满足

720=_°a(f)

同=°

伊「T9=0①

由于电势具有轴对称性,考虑③式,①式的解为

$=+交MKP*(C°S8)

4mM氏④

其中就是到场点P的距离，将④代入②式，得

r“°N⑤

(1+2XZ+Z2)-5=^z%(x)H<1-LAfan.

利用公式x，将74用A(cosd)展开，由于凡<a,故有

J

r…双鹏范荔T如⑶户

4S(T)/飒")

代入⑤式确定出系数

_eV+1

'_=一例z&*“

于就是,得

*=黑-褪号”“”。)⑥

⑵镜像法

在球内球心与的连线上放一像电荷代替球面上感应电荷在球外的电场，设距球心为B,则

的电势满足①〜③式，于就是

-L隹+T

4开5(rr，,

r=Ja2+氏2-2即cose

r=-Jb2+R2-2brcos&

利用边界条件②式可得

b=^-,Q,

a

QfQjR。，a

4开于4TFG'⑦

—=~JW----------------=万'Z万"(cos0),b<R.

式中'y/b2+R2-2brcos0代入⑦式结果与⑥式完全相同。

35.接地的空心导体球的内外半径为舄与耳，在球内离球心为a(a〈当)处置一点电荷Q。用镜像

法求电势。导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还就是外表面？

解:取球心为原点,原点与Q连线为z轴建立坐标系,并设球内电势为巴它满足

2

V<P=--6(x-aez)

无①

4有限②

九=。③

由于电势具有轴对称性,故在Z轴上z=b(b>R2)处放一像电荷Q,代替球面感应电荷在球壳内

的电势,则

^=—^―(-+—)

4阳rr④

式中r、r•分别就是Q、Q'到场点的距离

1

~Ja2+R2-2aRcos6

1

r'=---

J川+炉—2Mcos6

将④代入③,两边平方，比较系数,得

b=4@=$Q

于就是，球壳内电势

________Q_____________________a__________

双凡8)=42a.eos,值+.一2K(&.)cosd

4痛LYaa

此解显然满足②式。

设导体球壳表面感应电荷总量为q\由于导体内D=0,作一半径为r(Ri<r<%)的同心球面s、

gz)ds=/+0=O

根据高斯定理，，，所以1'=一。

37.在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部(如图2-37)半球的球心在导体平面上,点电荷Q

位于系统的对称轴上,并与平面相距为b(b>a),试用电象法求空间电势。

【q

T

第2-37题图

解:如图2、1,以球心为原点,对称轴为Z轴,设上半空间电势为巴它满

足

。；=-2。

为了使边界条件1,2满足，在导体界面下半部分空间Z轴放置三个像电荷：b，位于

为一了处；0—位于马一一三处；△=-。，位于z=-b处、于就是，导体上半空间界面电势

为

由,「Q，厂/，厂/,「一Q_

4卞+八32+上守曰+八0+学再询2

38.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为

a与b,求空间电势。

解:设Q位于xOy平面内，设x>0且y>0的直角区域为。,其它区域电势为0,中满足

V2<p=-—6(x-a,y-b,z)

4-o=OO>0)

同*=0(x>0)

MJ?T9=0

tt

为使以上边界条件全部满足，需要三个像电荷，她们就是Qi=一。，位于(飞也0)；乌=一°、于

就是x>o，v>°空间电势为

Q111

Cp=------[r,/---H—/=

4”0—«）'+。一占）。+Z*Jx+以9+3—小）‘+Z*J（X+«）*+8+3），+Z*

____________1__________

&X_a）2+0+8）2+z2]

46、不带电无穷长圆柱导体,置于均匀外电场稣中,轴取为z方向,外电场垂直于z轴,沿x方向,

圆柱半径为a,求电势分布及导体上的电荷分布。

解:选圆柱轴线处电势为零,则柱内电势色=0,在柱坐标系中柱外电势

0=一稣尸85@+/⑴

其中心协为场点的柱坐标，舔方向为x周，如图2、14,6就是极化电荷的电势，与上题同样的方

法得

3p-RdzP,

-------=---------cos@

r04x?与2.尸

P

6--Eorcos夕+----cos夕

代入⑴式得，2g3r

根据边值关系,在片a处，我=网=°，即

P

一稣rcos0+--------cos^=0

2宏。广

尸=2阳）1稣

代入⑵式，得n「

b=-——■Lk2£"n&COS。

导体柱面上电荷密度务,

47、半径为的导体球置于均匀外电场或中，求空间的电势分布，导体的电偶极矩及表面电荷分布,

导体的电偶极矩及表面电荷分布。

解：一球心为坐标原点,并设得方向为周，建立球坐标系,则导体球的电偶极矩P应与方向一

致,设导体球电势，球外电势

一一AK

^=-EoOR+-一行（r>4）

4福区

在R=R球面上，电势满足

=0

即一稣&侬外套冷。

P=4咫阈3稣

*=一禹京+雪里（r>风）

解得°炉I小，

球面上电荷密度

b=一岛3eoEoCOS0

R

+q+<7

图2-49

48、（1）两等量点电荷+q间相距为2d,在她们中间放置一接地导体球,如图2-48所示,证明点电荷

不受力的条件与q大小无关，而只与球的半径有关,给出不受力时半径舄满足的方程；（2）设导体

望半径为风，但球不再接地,而其电势为°,求此时导体球所带电量Q及这就是每一个点电荷所

受的力。

解：（1）选取球心为原点，两点电荷连线为Z轴，求外空间电势为。满足的边界条件为

/'-A=SOL=0

z=+a=±^-q；=q；=-&q

为了使上述条件满足，在球内d处放置两个像电荷id，空间任意一点

电场就就是两个点电荷及4引共同产生的,所以q受的力为

%敢

Fq=qE=a4阳,(2d)2+4^(£5?-(2)2+4阳13+a尸>z

由题意知，当4=°时,上式变为

q%

=0

4d2(d-a)2(d+a)2

]_____区______&

Ad1~dtd-a'f~a)2

显而易知,上式与q无关,只与当有关,进一步整理得g不受力时&满足的方程为

点-8d3篇-2d4哥-+r=0

⑵若导体球不接地，边界条件变为回*』=",设此时导体球带电量为Q,由⑴知，放置的

%'%’只能使球的电势为零，4所受的力为零，因此还要在球心

0放一电荷

&=。一（&+<?；）=。+学巩…口人4.上田

d则导体球的电势

一吟

笫=

4幅国4f与

尧

0=4阳与翱-

解得

此时点电荷4所受的力为

_y「y+0r1i.矽F2+Q_1

4漏4屋(d-a)2(d+a)2d2

根据⑵式,前三项之与等于零,于就是

F_Qq_2&g

’4股黯d24得了

49、一导体球壳不接地也不带电，内半径为舄，外半径为耳，内外球心。'与。不重合，球形空腔内

离。’为a处有一点电荷%（。<&）,壳外离。为b处有一点电荷外，如图2-49,且壳内外分别充满

图2-49

电容率为6与X的介质，球壳内外电势及壳外电荷所受的力。

解:设球壳内外电势为色，壳外电势为外，它们满足边界条件

6|a&=中0明星弱=9（待定）

•R&g舄*

先来计算球外电势仍，在&<&区域。的连线上放像电荷的=一了的'距球心=~

九Q2）=%-4=%+?效I.工部」=!?+?■+?■）

；在。处放b，可使"la弱W。，于就是4啊r2r2艮

式中小片分别就是矽14到场点的距离,R为球心。到场点的距离。球壳电势

%

的+技烈

①0=例1A•4=.„

4痛&

球内空腔中的电势我可表示为8=领+①。

我。=/—（冬+红）

其中8。可视为球壳接地时的电势，由镜像法知4密勺勺

，一冬，—火

其中&就是纭关于内球面（半径为舄）的像电荷的=一1‘"距为"="，于就是

耳

1aa%+丁电

我=A---T+'）+0---n-

4啊勺44宏2&

式中勺力,分别就是生4到腔内场点的距离。

矽所受的力等于矽效对它的矢量与。即

-此用

4羽2十_%_m___+____包_

4码（8-Up4和#24啊

50、一无限长圆柱形导体，半径为&，将圆柱导体接地，离圆柱轴线d处口>扁）有一与它平行的

无限长带电直线,线电荷密度为"求电势分布与作用在带电直线单位长度上的力。

解：设距离圆柱轴线为“处（此处为像电荷与原电荷垂线的中点）的电势为零，则带电直线外在

^=-T^-ln-

空间的电势2痛为，则像电荷与原电荷共同产生的电势为

（p=-In--/«—

式中。弓分别为场点到线电荷A及象电荷/的垂直距离,下面确定下与b、

勺=+d2-2Rdcos6,弓=JK2+-2Rbcos6

由于电势在圆柱面上满足*显&二郎（已选"处电势为零则导体圆柱电势务工°）,即

3,—2Rdcos&N.—2Rbcos&

-----In-------------------_----In--------------------=明

2阳为2福勺

将上式对e求微商，得

_然_Td_0

R2+d2-2Rdcos^炉+U_2劭cos6

露=一九£>=0:

解得d

于就是，任意一点电势