常微分方程试题库(1-48)

陇东学院数学系重点课程建设常微分方程试题库

施R步选

第二批重点课程建设材料

常微分方程

2006年—2008年

-1-

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目录

常微分方程课程试题（一）..................................-3-

常微分方程课程试题（二）..................................-5-

常微分方程课程试题（三）..................................-7-

常微分方程课程试题（四）..................................-8-

常微分方程课程试题（五）.................................-10-

常微分方程课程试题（六）.................................-12-

常微分方程课程试题（七）.................................-14-

常微分方程课程试题（八）..............................................................-15-

常微分方程课程试题（九）.................................-16-

常微分方程课程试题（十）..............................................................-18-

常微分方程试题（十一）...................................-20-

常微分方程试题（十二）...................................-24-

常微分方程试题（十三）...................................-29-

常微分方程试题（十四）...................................-33-

常微分方程试题（十五）...................................-38-

常微分方程试题（十六）...................................-42-

常微分方程试题（十七）...................................-46-

常微分方程试题（十八）...................................-51-

常微分方程试卷（十九）.....................................-55-

常微分方程试卷（二十）.....................................-60-

-2-

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常微分方程课程试题(一)

一、填空题(每空2分，共16分)。

1.方程位=/+>2满足解的存在唯一性定理条件的区域是

dr

dy

2.方程组——=F(x,y),xeR,Y&R"的任何一个解的图象是_________维空间中的一条积分

dx

曲线.

3.f(x,y)连续是保证方程生=/(x,y)初值唯一的

x.条件.

dx

4.方程组,的奇点(0,0)的类型是

电=%

Idr

5.方程y=盯'+g(y')2的通解是

6.变量可分离方程M(x)N(yg+p(x)q(y)dy=0的积分因子是

7.二阶线性齐次微分方程的两个解y=队(x),y=/(x)成为其基本解组的充要条件是

8.方程y"+4y'+4y=0的基本解组是

二、选择题(每小题3分，共15分)。

9.一阶线性微分方程虫+p(x)y=q(x)的积分因子是().

d.x

(A)〃=e"1k(B)〃=eW岫(0〃=/心心(D)〃=e

10.微分方程ylnydx+(x-lny)dy=0是()

(A)可分离变量方程(B)线性方程

(C)全微分方程(D)贝努利方程

11.方程My?-1)心+)，(？-l)d)=0的所有常数解是().

(A)x=±l(B)y=±l

(C)y=±1,x=±1(D)y=\,x=1

12.〃阶线性非齐次微分方程的所有解().

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(A)构成一个线性空间(B)构成一个”-1维线性空间

(C)构成一个〃+1维线性空间(D)不能构成一个线性空间

13.方程方=］厂—+2()奇解.

(A)有一个(B)有无数个(C)只有两个(D)无

三、计算题(每小题8分，共48分)。

14.求方程位=2冲；厂的通解

dxx2

15.求方程上dx+(y3+lnx)dy=0的通解

X

16.求方程y=(y')2-xy'+g/的通解

17.求方程y"—3y'=e*的通解

18.求方程才+y'-2y=e*(cosx-7sinx)的通解

dY「35、

19.求方程组一=AY,A=的实基本解组

dx1-53,

四、应用题(本小题11分，共11分)。

20.(1)求函数/⑺=e”的拉普拉斯变换

(2)求初值问题1"的解

x(0)=0,xz(0)=0

五、证明题(本小题10分，共10分)。

21.证明：对任意小及满足条件OY%Y1的右，方程立=」(丁』的满足条件TO。)=%

dxl+.r+y

的解y=y(x)在(-co,+oo)上存在。

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常微分方程课程试题（二）

一、填空题（每空2分，共16分）。

1.李普希滋条件是初值问题存在唯一解的条件.

2.一阶微分方程的一个特解的图像是

维空间上的一条曲线.

dY

3.线性齐次微分方程组——=A（x）Y的一个基本解组的个数不能

dr

个，其中xeR,YeR".

4.二阶线性齐次微分方程的两个解y=（P\（x）,y=%（x）成为其基本解组的充要条件

是.

5.方程y=xy'+sin（y'f的通解是

6.变量可分离方程M（x）N（y）c/x+p（x）q（y）dy=0的积分因子是

7.性齐次微分方程组的解组K（X）,丫2（外,…，％（x）为基本解组的条件是它们的朗斯基

行列式卬（x）wO.

8.方程y〃+5y'+4y=0的基本解组是

二、选择题（每小题3分，共15分）。

9.两个不同的线性齐次微分方程组（）的基本解组.

（A）一定有相同（B）可能有相同

（C）一定有相似（D）没有相同

d-r-+y

dr

10.万程组＜2X的奇点（0,0）的类型是（）.

dx3X

-.-+4

dr

（A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点D）不稳定结点

11.方程32-1方+）&_1）由,=0的所有常数解是（）.

（A）x=±l（B）y=±1

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(C)y=±1,x=±1(D)y=\,x=1

12.〃阶线性非齐次微分方程的所有解().

(A)构成一个线性空间(B)构成一个“一1维线性空间

(C)构成一个n+1维线性空间(D)不能构成一个线性空间

13.方程-=Jy—x+4()奇解.

d_x

(A)无(B)有一个(C)有两个(D)可能有

三、计算题(每小题8分，共48分)。

14.求方程包=2+tan)的通解

dxxx

15.求方程(一一l-y)dx+xdy=0的通解

16.求方程y=(y')2-盯'+的通解

17.求方程y〃-3y=/"的通解

18.求方程y"+4y=3sin2x的通解

dY「35、

19.求方程组一=AY,A=的实基本解组

dx1-53,

四、应用题(本小题11分，共11分)。

20.(1)求函数/(f)=e"的拉普拉斯变换

(2)求初值问题《的解

x(0)=0,x,(0)=0

五、证明题(本小题10分，共10分)。

21.设夕(x)在区间(-QO,+8)上连续.试证明方程

?=9(x)siny

dr

的所有解的存在区间必为(一8,+00).

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常微分方程课程试题（三）

一、计算题（每小题7分，共70分）。

1、求解方程包=工―+1•的通解。

dxx+y-3

2、求解方程：=+的通解

dxx2

3、求解方程：丁'+21丁+町4=0的通解

4、求解方程：（3%之+6盯2）dx+（6/y+4）/）dy=0的通解

九4

5、求解方程：（/+y+x3cosy）dx+（A：2y—x-万siny）dy=0的通解

6、求解方程：x（yy"+y'2）+3»'=21

7、求解方程：y'〃一3y"+9y'+13y=0

8、求解方程：y（4）-4y“'+5y"-4y'+4y=0

9、求解方程：y"—4y'+4y=2e2"的一个特解

10、求解方程：y"+y=2sinx的一个特解

二、讨论（每小题10分，共10分）。

1、讨论方程包=2所确定的线素场。

dxx

三、应用（每小题10分，共10分）。

1、已知方程（x-l）y"-xy'+y=0的一个非零解必=x,试用刘维尔公式求其通解。

四、证明（每小题10分，共10分）。

1、证明函数组在任意区间（。力）上线性无关（其中当iwj时

404/）

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常微分方程课程试题(四)

一、填空题(每小题3分，本题共12分)

1.-阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线.

2.方程包=?所有常数解是_______.

dxx

3.方程y=xy'+siny'的通解是.

4.变量可分离方程sinxcosydx+xydy=0的积分因子是.

二、单项选择题(每小题3分，本题共12分)

5.一阶线性微分方程包+p(x)y=q(x)的积分因子是().

dx

(A)〃=eS(B)〃=eW"⑹…"也(D)〃=e4""

6.方程更=/+/()奇解.

dr

(A)有三个(B)无(C)有一个(D)有两个

7.方程位=3/过点(0,0)().

dr

(A)有无数个解(B)只有三个解

(C)只有解y=0(D)只有两个解

8.微分方程(3/+6xy2)dx+(6/y+4y3)办，=0是()

(A)可分离变量方程(B)线性方程

(C)全微分方程(D)贝努利方程

三、计算题(每小题8分，本题共64分)

求下列方程的通解或通积分：

2

9dy=2xy-y

dxx2

10.且U+l

dxx

11.—dx+(y3+Inx)dy=0

x

12.»”+(斤+3/=o

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13.x2(ex4-3y2)dx+2x3ydy=O0

14.(x2ey-y)dx+xdy=0

15.y=(^f)2-xy'+~x2

16,包=上+大

dx2x2y

四、证明题(本题共12分)

17.设/(x)在［0,+8)上连续，且lim/(x)=O,求证：方程

字+y=/(x)

dr

的任意解y=y(x)均有limy(x)=0.

Xf+O0

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常微分方程课程试题(五)

一、选择题(每题3分，共15分)。

1、函数f(x,y)Ty,y是否满足李普希兹条件().

(A)不满足；(B)满足；(C)可能满足；(D)可能不满足

2、下列方程中无奇解的是.()

(A)y'-3y5(B)y'-yjl-y2(C)y'-xy'+2y'2(D)y'-x1+y2

3、向量函数组y,(x),匕(x),…，％(x)在其定义区间/上的朗斯基行列式W(x)=0,xe/,是其

线性相关的().

(A)充分条件；(B)充要条件；(C)必要条件；(D)既非充分又非必要条件.

4、〃阶线性非齐次微分方程的所有解能否构成一个线性空间.()

(A)能；(B)不能；(C)不确定；(D)与n有关.

5、〃阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个.

(A)n(B)72-1(C)n+1(D)n+2

二、解下列一阶微分方程(每小题5分，共25分)

1、求解方程曳=2一(2)2;

Axxx

2、求解方程y虫=x(l—/)；

dx

3、求解方程*+3y=e2'

4、解方程/e+3y2心+2/烟=0

5、求解方程y=(y')2-町'+；/

三、解下列方程组(每小题8分，共16分).

dx

—=x+y

1、求方程组I山的通解；

M=4x+y

[dt

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今=3%+%-%

at

生=一%+2%+%的通解,

2、求方程组，

at

dy3

~a~tT=%+%+%

四、解下列高阶方程（每小题8分，共24分）。

1、求方程y'"-3y"+9y'+l3y=0的通解，

2、求方程y⑷一4了"+5），"-4y+4y=0的通解,

3、求方程y"—5y'=-5x?+2x的通解，

五、应用题（共10分）。用拉普拉斯变换求解初值问题：x"—3x'+2x=2e"；x（O）=O,x'（O）=（k

心

力--

力

六、证明题（共10分）。考察系统W的零解的稳定性与渐近稳定性。

一-

力-

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常微分方程课程试题（六）

一、选择题（每题3分，共15分）。

dy[0,当y=0

1、方程工=《满足解存在惟一性定理条件的区域是（）.

心[yln|y|,当y^O

（A）xoy平面（B）左半平面（C）右半平面（D）除x轴外的全平面

2、丫（%,々）=阳2+只是一个（）的李雅普诺夫函数.（）

（A）正定的（B）负定的（C）常正的（D）常负的

3、下列方程中无奇解的是.（）

(A)y'=3/(B)=(C)y'-xy'+2y'2(D)y'-x2+y2

4、用待定系数法求方程y"+y=2sinx的非齐次特解力时，应将特解力设为（）.

（A）>]=Asinx（B）必=Asinx+8cosx

（C）-Bcosx（D）乃=x（Asinx+Bcosx）

5、〃阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间.（）

（A）n—1维（B）〃+l维（C）〃维（D）〃+2维

二、解下列一阶微分方程（每小题5分，共25分）

1、求解方程虫=e*r；

dx

2、求解方程12女=孙一,2；

dx

3、求解方程立-工=/

dxx

4、解方程（31+6◎+3y2）dx+（2x?+3xy）dy=0

5、求解方程），=y"一孙，+g/

三、解下列方程组（每小题8分，共16分）。

I

d一rX+

由

1、求方程组<的通解;

d-y

一

山

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今=3%+%-%

at

华=一%+2y2+%的通解，

2、求方程组＜

at

①-V+V+V

.一十了2十了3

at

四、解下列高阶方程（每小题8分，共24分）。

1、求方程y'"-3y〃+9y'+l3y=0的通解,

m

2、求方程y^-4y+5y"-4y'+4y=0的通解,

3、求方程〉"一5〉'=一5》2+2x的通解,

五、应用题（共10分）。用拉普拉斯变换求解初值问题:

x"-3x'+2x=2e3';x(0)=0,x'(0)=0。

dx

—=-x

dt的零解的稳定性与渐近稳定性。

六、证明题（共10分）。考察系统・

dy_v

（dt

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常微分方程课程试题(七)

一、填空题(每小题共3分，共15分)

1.常微分方程是联系、未知函数及之间的关系式.

2.一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线.

3.方程位=yIny所有常数解是________________.

dr

4.方程y〃+5y'+6y=0的基本解组是.

5.变量可分离方程M(x)N(y)dr+P(x)Q(y)dy=0的积分因子是.

二、求下列方程的通解(每小题共8分，共64分)

6.包=上7.—dx+(y3+lnx)dy=0

dxxx

、dy

8.—=y4-sinx

dx

9dyx-y+1

dxy-3

10.ydx+(y=0

11.y"+3y'+2y=0

12.yw-3/+3/-y=0

13.了-3)/二产

三、证明题(本题共10分)

14.设，(x)在［0,+8)上连续，且lim〃x)=0,求证：方程曳+y=/(x)

XT+8dr

的任意解y=y(x)均有limy(x)=0.

四、应用题(本题共11分)

15.方程也=Y+y2定义在矩形区域上，试利用存在唯一性定理确定经

dx

过点(0,0)的解的存在区间，并求在此基础上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式.

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常微分方程课程试题(八)

一、填空题(每小题共3分，共15分)

1.常微分方程是联系、未知函数及之间的关系式.

2.一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线.

3.方程位=yIny所有常数解是_______________.

dr

4.方程y〃+4y'+4y=0的基本解组是.

5.变量可分离方程M(x)N(y)dr+P(x)Q(y)dy=0的积分因子是.

二、求下列方程的通解(每小题共8分，共64分)

6.3=土7.fdx+(y3+inx)dy=0

dxyx

8.包=2?+2/

dxx

9dy^x-y+1

dxx+y-3

10.(y-1-xy)rfx+xdy-0

11.y"-5y'+6y=0

12.y-3y"+3…=0

13.=

三、证明题(本题共10分)

14.设/(x)在［0,+8)上连续，且lim/(x)=0,求证：方程电+丁=/(1)

x-dx

的任意解y=y(x)均有limy(x)=0.

X->-KC

四、应用题(本题共11分)

15.方程虫=/+y2定义在矩形区域R：—14x61,-14yAi上，试利用存在唯一性定理确定经

dx

过点(0,0)的解的存在区间，并求在此基础上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式.

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常微分方程课程试题(九)

一、填空题(每小题3分，本题共15分)

方

L程

dl=x2+y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是.

dr

方

2程dl

dA=x2siny的所有常数解是.

3.若y=Q(x)在(-8,+8)上连续，则方程位=Q(x)y的任一非零解

dx

________________与x轴相交，

4.在方程y"+p(x)y'+q(x)y=0中，如果p(x),g(x)在(一8,+oo)上连续，那么它的任

一非零解在xoy平面上与x轴相切.

5.向量函数组4*),丫2(灯,…，y“a)在其定义区间/上线性相关的条件是它们的

朗斯基行列式W(x)=0,xel.

二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)

6.”阶线性齐次方程的所有解构成一个()线性空间.

(A)〃维(B)"+1维(C)〃一1维(D)〃+2维

7.方程-=Jx—y+2()奇解.

dr

(A)有三(B)无(C)有一个(D)有两个

dy2

8.方程”=3y3过点(0,0)().

dr

(A)有无数个解(B)只有三个解

(C)只有解y=0(D)只有两个解

9.若y=/(x),y=°2(x)是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可

用这两个解表示为().

(A)0(x)-02(X)(B)(P\(x)+02(x)

(C)C{(px(x)-(p2(x))+(p1(x)(D)Cg)i(x)+^>2(x)

I。一,—)连续是方程初值解唯一的()条件.

(A)必要(B)必要非充分(C)充分必要(D)充分

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三、计算题（每小题6分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分:

L

d-)xy

2

dr1+x

zd-y

2x

dYe

13.(x3+xy2)dr+(x2y+y3)d>,=0

14.e'+y'-x=0

15.y/+(y)2=0

四、计算题(每小题10分，本题共20分)

16.求方程y”-5y'=sin5x的通解.

dx

x+y

17.求下列方程组的通解《dt

dy4x+y

d

五、证明题（每小题10分，本题共20分）

18.设/'（x,y）在整个xoy平面上连续可微，且/（兀丁。）三求证：方程"=的非

dx

常数解y=y（x）,当x->%（）时，有y（x）打，那么/必为一oo或+8.

19.设y=0］（x）和y=夕2。）是方程y"+4（x）y=。的任意两个解，求证：它们的朗斯基行

列式W（x）三C,其中C为常数.

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常微分方程课程试题(十)

一、填空题(每小题3分，本题共12分)

1.一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线.

2.方程苴=yin)，所有常数解是_________________________.

(lx

3.方程y=xyf+；(y')2的通解是.

4.变量可分离方程M(x)N(yZ+=0的积分因子是.

二、单项选择题(每小题3分，本题共12分)

5.一阶线性微分方程曳+p(x)y=q(x)的积分因子是().

dx

(A)〃=e〕”"(B)〃=(C)〃=「加出(D)〃=e

6.方程曳=Jx—y+2()奇解.

dx

(A)有三个(B)无(C)有一个(D)有两个

7.方程dy上=3-y3过点(0,0)().

dr

(A)有无数个解(B)只有三个解

(C)只有解y=0(D)只有两个解

8.微分方程yInydx+(x-Iny)dy=0是()

(A)可分离变量方程(B)线性方程

(C)全微分方程(D)贝努利方程

三、计算题(每小题6分，本题共66分)求下列方程的通解或通积分:

9.(x+2y)dx-xAy=0

10.虫=2孙一)，2

dxx2

11.立」+1

dxx

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12.电=22+2/

dxx

13.—dx+(>,3+Inx)dy=0

x

14.»〃+(旷)2+3/=0

15.x2(ev+3y2)dx+2x3ydy=0

16.(x2ev-y)dx+xdy=0

17.yr(x-\nyr)=1

18.y=(yf)2-xyf^^x2

19.2yy"=(y，)2

四、证明题(本题共10分)

20.设/(x)在［0,+8)上连续，且lim/(x)=O,求证：方程空+y=/(x)的任意解

XT+00dx

y=y(x)均有limy(x)=0.

XT+CO

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常微分方程试题（十一）

一单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题干后的

括号内。每小题2分，共10分）

1.方程y'"——y"—/=1的通解中含有任意常数的个数为（）

A1B2C3D4

2.下列方程中的线性微分方程是（）

Acos（x+y'）=yByy'=yCy''=xy-xDy,n=siny

3.微分方程y'=y满足条件y（O）=l的特解是（）

AexBex-\Cce'（c为任意常数）D2-ex

4.当鹿=1时，方程y'+p（x）y=q（x）y"最确切的名称是（）

A一阶方程B贝努利方程

C一阶线性方程D一阶线性齐次方程

5.在整个数轴上线性无关的一组函数是（）

Al,x-1BO,x,x2,x3

二填空题（每小题2分，共10分）

1.具有性质“曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项”的曲线

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陇东学院数学系重点课程建设常微分方程试题库

所满足的微分方程是O

2.已知必(x)是二阶齐次线性方程y''+a(x)y'+b(x)y=0的一个非零解，则与必(x)线性

无关的另一解y2(x)=o

3.设%是n阶常系数齐次线性方程特征方程的k重根，则该方程相应于;I。的k个线性无

关解是。

dY

4.y］(x),%(x)，…,yn(x)是线性方程组——=A(x)y的基本解组的充分必要条是

dx

(1),(2)。

5.方程组—=4%4-y,虫=2x+5y的奇点类型是______________。

dtdt

三、求出下列方程(组)的通解(每小题10分，共40分)

12dy2

1.x——l=xy-y

dx

2.(y-3x2)dx-(4y-x)dy=0

3.尸2户3y=3x+l

4.—=-3x+48y-28z,-=-4x+40y-22z,-=-6x+57y—3lz.

dtdtdt

四(10分)、求出方程y=孙'+」的所有解.

五(10分)、讨论方程也=2上适合初值条件y(ln2)=-3的解的存在区间.

dx2

六(10分)、试用形如V(x,y)=ax,n+byn的Liapunov函数判定方程组

—^y+x\电=—2/+2y5零解的稳定性.

dtdt

dx

七(10分)、设函数f(t)在［0,+8)上连续且有界，试证明方程一=/«)—X的所有解均

dt

在［0,+00)上有界.

参考答案及评分标准

一.单项选择题：(每小题2分，共10分)

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1.C2.C3.A4.D5.D

二.填空题（每小题2分，共10分）

1.2xy'-y-x

2.)'|卜|表乎」

3.e^x,xe^,•••,xk~'e^x

4.（1）y,…，y”是该方程的解，（2）y1，…，y“线性无关

5.不稳定结点

三.计算题（每小题10分，共40分）

1.令？="》得X—=-M2（4分）

dx

1）«=0是解，从而y=O也是原方程的解（5分）

2-0时有*=—（7分）

UX

积分得u=-」---（9分）

ln|x|+c

X、

从而y=-j—：---（10分）

中+C

2.因为一（y—3x?）=—（x-4y）

dydx

故该方程是全微分方程（4分）

选特殊路径积分得原函数U（x,y）=-2y2-x3+xy（8分）

从而通积分为-2丁2一天3+孙=。（10分）

3.特征方程是万一2丸—3=0

特征根是3,-1（3分）

齐次方程的通解是）；=。］0一"+。20"（5分）

由比较系数法或常数变易法可得一特解，例如-冗+1/3（9分）

x3x

从而通解为y=cte~+c2e—x+1/3（10分）

4.特征根为1,2,3（3分）

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一量」5分）

13,

2对应的特征向量为

（10分）

四.

通解为y=cx+l/c（6分）

求包络得奇解V=4x（10分）

五.该方程右端函数在全平面上满足解的存在唯一性定理和延拓定理的条件（2分）

1+cex

此方程的通解为y=----（5分）

-l-cex

\+ex

过（ln2,—3）的解为y=------（7分）

1-e'

解的存在区间为（0,+8）（10分）

六.取定正函数V（x,y）=/+y?（4分）

则全导数""=4*6+y6）也是定正函数（8分）

dt

由Liapunov稳定性定理知0解是不稳定的（10分）

七.设X。）是该方程的任一解，满足x«o）=£[0,+8）从而

t

x（t）=+J/G）/-%（4分）

只须证x（r）在[%,+8）有界