九年级数学下学期期中检测题新版北师大版

Page5期中检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，sinB＝(D)A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)2．若函数y＝(2－m)xm2－3是二次函数，且开口向上，则m的值为(B)A．±eq\r(5)B．－eq\r(5)C.eq\r(5)D．03．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanA－eq\r(3)|＋(2sinB－eq\r(3))2＝0，则△ABC是(D)A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰(非等边)三角形D．等边三角形4．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式是(C)A．y＝(x－1)2＋1B．y＝(x＋1)2＋1C．y＝2(x－1)2＋1D．y＝2(x＋1)2＋1,第4题图),第5题图),第7题图),第9题图),第10题图)5．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，当α＝60°时，旗杆PA的高度为(A)A．4＋2eq\r(3)B．4－2eq\r(3)C．2＋eq\r(3)D.eq\f(2＋\r(3),2)6．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品在肯定范围内每降价1元，每日销量就增加1个，为了获得最大利润，则应当降价(A)A．5元B．10元C．15元D．20元7．如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE＝2，DE＝8，则tan∠ACE的值为(C)A.eq\f(1,2)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,4)D．28．函数y＝ax2－a与y＝eq\f(a,x)(a≠0)在同始终角坐标系中的图象可能是图中的(A)9．已知抛物线y＝eq\f(1,4)x2＋1具有如下性质：该抛物线上随意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等．如图，点M的坐标为(eq\r(3)，3)，P是抛物线y＝eq\f(1,4)x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是(C)A．3B．4C．5D．610．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为直线x＝－1，给出下列结论：①b2>4ac；②abc>0；③2a＋b＝0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c<0.则正确的结论是(D)A．①②③④B．②④⑤C．②③④D．①④⑤二、填空题(每小题3分，共24分)11．在△ABC中，∠C＝90°，假如AB＝4，cosA＝eq\f(1,2)，那么BC的长为__2eq\r(3)__．12．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y>0，则x的取值范围是__－3<x<1__．,第12题图),第14题图),第15题图)13．二次函数y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点坐标为(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋m＝0的两根是__x1＝3，x2＝1__．14．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10eq\r(2)米，背水坡CD的坡度i＝1∶eq\r(3)，则背水坡的坡长CD为__20__米．15．如图，某大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需__36__秒．16．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝eq\f(3,5)，BE＝2，则tan∠DBE的值是__2__．,第16题图),第17题图),第18题图)17．如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣扬牌CD，小明在山坡的底部A处测得宣扬牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣扬牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB垂直于视线AD，AB＝20米，AE＝30米，则这块宣扬牌CD的高度为__5.4米__．(测角器的高度忽视不计，结果精确到0.1米，参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)18．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC＝eq\f(3,4)，点D是AC边上的动点(不与点C重合)，过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为__S＝－eq\f(3,25)x2＋eq\f(3,2)x(0<x≤6)__．三、解答题(共66分)19．(6分)计算：6tan230°－cos30°·tan60°－2sin45°＋cos60°.解：原式＝1－eq\r(2).20．(6分)已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0)，(－3m，0)(m≠0)．(1)求证：4c＝3b2；(2)若该函数图象的对称轴为直线x＝1，试求二次函数的最小值．解：(1)证明：设二次函数表达式为y＝(x－m)(x＋3m)＝x2＋2mx－3m2，∴b＝2m，－c＝－3m2，∴c＝3m2，∴4c＝12m2，3b2＝12m2，∴4c＝3b2.(2)依题意－eq\f(b,2a)＝－eq\f(2m,2)＝1，∴m＝－1，∴表达式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴y最小＝－4.21．(8分)如图，AD是△ABC的中线，tanB＝eq\f(1,3)，cosC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．解：(1)过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC＝eq\f(\r(2),2)，∴∠C＝45°.∵AC＝eq\r(2)，∴AE＝eq\r(2)sin45°＝1，∴CE＝1.∵tanB＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,3)，∴BE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4.(2)∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝2，DE＝CD－CE＝1，∴AD＝eq\r(2)，∴sin∠ADC＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).22．(8分)在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c都是常数)的图象经过点(1，0)和(0，2)．(1)当－2≤x≤2时，求y的取值范围；(2)已知点P(m，n)在该函数的图象上，且m＋n＝1，求点P的坐标．解：(1)将(1，0)，(0，2)代入y＝x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0，,c＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,c＝2，))∴这个函数的表达式为y＝x2－3x＋2.∵y＝x2－3x＋2＝(x－eq\f(3,2))2－eq\f(1,4)，∴当x＝eq\f(3,2)时，y的值最小，最小值为－eq\f(1,4).分别把x＝－2，x＝2代入y＝x2－3x＋2，得y＝12；y＝0.∴y的取值范围是－eq\f(1,4)≤y≤12.(2)∵点P(m，n)在该函数的图象上，∴n＝m2－3m＋2.∵m＋n＝1，∴m2－2m＋1＝0，解得m＝1，n＝0，∴点P的坐标为(1，0)．23．(8分)某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上的A处，现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处，A与B相距150米，且B在A的正东方向，为不破坏古民居的风貌，根据有关规定，在古民居四周100米以内不得修建现代化商业街，若工程队接着向正东方向修建200米商业街至C处，则对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定？解：过点P作PD⊥BC，垂足为D，在Rt△APD中，∠APD＝60°，∴tan60°＝eq\f(AD,PD)＝eq\r(3)，∴AD＝eq\r(3)PD，在Rt△BPD中，∠BPD＝30°，∴tan30°＝eq\f(BD,PD)＝eq\f(\r(3),3)，BD＝eq\f(\r(3),3)PD.∵AD－BD＝AB，∴eq\r(3)PD－eq\f(\r(3),3)PD＝150，解得PD＝75eq\r(3)，∵75eq\r(3)>100，∴从B到C的商业街改造不违反有关规定．24．(8分)如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1∶2，顶部A处的高AC为4m，B，C在同一水平地面上．(1)求斜坡AB的水平宽度BC；(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运输，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高度．(eq\r(5)≈2.236，结果精确到0.1m)解：(1)∵坡度为i＝1∶2，AC＝4m，∴BC＝4×2＝8m.(2)过点D作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于点H，∵∠DGH＝∠BSH，∠DHG＝∠BHS，∴∠GDH＝∠SBH，∴eq\f(GH,GD)＝eq\f(1,2).∵DG＝EF＝2m，∴GH＝1m，∴DH＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)m，BH＝BF＋FH＝3.5＋(2.5－1)＝5m．设HS＝xm，则BS＝2xm，∴x2＋(2x)2＝52，∴x＝eq\r(5)m，∴DS＝eq\r(5)＋eq\r(5)＝2eq\r(5)≈4.5m，∴点D离地面的高度为4.5m.25．(10分)(2024·威海)为了支持高校生创业，某市政府出台了一项实惠政策：供应10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)万件之间的函数关系如图所示．(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；(2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？解：(1)设直线AB的表达式为y＝kx＋b，代入A(4，4)，B(6，2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝4，,6k＋b＝2.))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝8.))∴直线AB的表达式为y＝－x＋8.同理代入B(6，2)，C(8，1)可得直线BC的表达式为y＝－eq\f(1,2)x＋5.∵工资及其他费用为0.4×5＋1＝3万元，∴当4≤x≤6时，w1＝(x－4)(－x＋8)－3＝－x2＋12x－35，当6≤x≤8时，w2＝(x－4)(－eq\f(1,2)x＋5)－3＝－eq\f(1,2)x2＋7x－23.(2)当4≤x≤6时，w1＝－x2＋12x－35＝－(x－6)2＋1，∴当x＝6时，w1取最大值是1，当6≤x≤8时，w2＝－eq\f(1,2)x2＋7x－23＝－eq\f(1,2)(x－7)2＋eq\f(3,2)，当x＝7时，w2取最大值是1.5，∴eq\f(10,1.5)＝eq\f(20,3)＝6eq\f(2,3)，即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．26.(12分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3过等腰Rt△BOC的两顶点B，C，且与x轴交于点A(－1，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)若抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M，N，B为顶点的三角形与△ABC相像时，求BN的长；(3)若P为线段BC上方的抛物线上一动点，点P到直线BC的距离是否存在最大值？若存在，恳求出这个最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)，∴OC＝3.又∵Rt△BOC是等腰直角三角形，∴B(3，0)．将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋3＝0，,9a＋3b＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2，))∴y＝－x2＋2x＋3.(2)抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)＝1，由B(3，0)，C(0，3)可得直线BC的表达式为y＝－x＋3.当x＝1时，y＝－x＋3＝2，∴点M的坐标为(1，2)．∴AB＝4，BC＝3eq\r(2)，BM＝2eq\r(2).①当△MNB∽△CAB时，eq\f(BN,AB)＝eq\f(MB,CB)，即eq\f(BN,4)＝eq\f(2\r(2),3\r(2))，BN＝eq\f(8,3)；②当△MNB∽△ACB时，eq\f(BN,BC)＝eq\f(MB,AB)，即eq\f(BN,3\r(2))＝eq\f(2\r(2),4)，BN＝3.综上所述，BN的长为3或eq\f(8,3)时，△MNB与△ABC相像．(3)存在．设P(x，－x2＋2x＋3)，且0<x<3，过点P作y轴的平行线交BC于点Q，∵直线BC的表达式为y＝－x＋3，∴点Q的坐标为(x，－x＋3)，∴PQ＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x.设点P到直线BC的距离为d，∵S△BCP＝S△CPQ＋S△BPQ＝eq\f(1,2)BC·