湖北省部分学校2025届新高三新起点暑期效果联合质量检测数学试卷和解析

2025届新高三新起点暑期效果联合质量检测数学试卷3．在VABC中，M是BC中点且则向量-在向量-B上的投影向量()4．已知数列满足an=，若a3=，则a1=25．VABC与△ABD都是边长为2的正三角形，沿公共边AB折叠成60。的二面角，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为()6．若圆x2+y2-2x-6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为()7．若函数ax2+4x-2lnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是()8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于120。时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120。角;当三角形有一内角大于或等于120。时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a，b，c分别是VABC的内角A，B，C所对的边，且2=6,bsin=asinB，若P为VABC的费马点，A．-3B．-2C．-69．设首项为1的数列{an}前n项和为Sn，已知Sn+1=2Sn+n-1，则下列结论正确的是()A．数列{Sn+n}为等比数列B．数列{an}的前n项和Sn=2n-nC．数列{an}的通项公式为an=2n-1-1D．数列{an+1}为等比数列10．已知VABC为斜三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=2asinB，则()11．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是()A．三棱锥A1-APD的体积为定值PⅡ平面ACD1 C．AP+B1P的最小值为22 3 π2D．当A1，C，D1，P四点共面时，四面体 3 π2则VABC周长的最小值为.13．(2x-y+1)5的展开式中，所有项的系数和为.14．已知f若f，x1<x2<x3，15.（本小题13分）在VABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosC+ccosB=2bsinA，且sinA≥sinB.(1)求角B的值； (2)若cosC+sinB=0，且VABC的面积为3，求BC边上的中线AM的长.16.（本小题15分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AB丄AD，PA丄平面ABCD，AD=10，BC=2AB=8，M为PC的中点.(1)求证：平面PAC丄平面PCD；(2)若AM丄PC，求直线BM与平面PCD所成角的正弦值.17.（本小题15分）“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过n次随机选择后到达2号仓的概率为Pn，已知该粒子的初始位置在2号仓.(2)证明数列pn−}是等比数列，并求数列{Pn}的通项公式；(3)粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为X，求X的分布列与数学期望.18.（本小题17分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积 为23.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l:x-my-1=0(m≠0)与x轴交于点T，与椭圆C交于P,Q两点，过点P作x轴的垂线交椭圆C交于另一点R，求△TQR面积的最大值.19.（本小题17分）已知函数f(x)=alnx-e-x,a∈R.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)有两个极值点x1,x2，证明：f(x1)-f(x2)<1.2025届新高三新起点暑期效果联合质量检测解析版数学试卷【答案】【答案】A所以MN={x|-1≤x≤2,x=3}.故选：A. 【答案】【答案】C所以|z2+32 故选：故选：C.【答案】【答案】CMAMA【详解】由ABMB,得△ABM【详解】由ABMB故过点故过点A作AE丄BC交BC于点E，则E为BM中点，由M是BC中点，E为BM中点，有EC=-4CB.故选：故选：C2【答案】【答案】C因为an=且a3=故选：C5．VABC与△ABD都是边长为2的正三角形，沿公共边AB折叠成60。的二面角，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为()【答案】C【详解】解：由题，设正VABC与△ABD的中心分别为N，M，根据外接球的性质有OM丄平面ABD，ON丄平面ABC，又正VABC与△ABD的边长均为2，:Rt△MEO≌Rt△NEO，故，又EB=1，故球O的半径故球O的表面积为S=4π×故选：C.6．若圆x2+y2-2x-6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为()【答案】【答案】C【详解】由x2+y2-2x-6y+1=0得(x-1)2+(y-3)2=9，所以圆心C(1,3因为圆上恰有三点到直线y=kx的距离为2，所以圆心C(1,3)到直线y=kx的距离为1，故选：C.7．若函数ax2+4x-2lnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是()【答案】【答案】A故原命题等价于关于x的方程-ax2+4x-2=0在(0,+∞)上有两个不同的实数根，即关于x的方程2+2在上有两个不同的实数根，所以关于t的方程a=-2(t-1)2+2在(0,+∞)上有两个不同的实数根，因为g(t)在(0,1)上单调递增，故g(t)在(0,1)上的值域为(0,2)，因为g(t)在(1,+∞)上单调递减，故g(t)在(1,+∞)上的值域为(-而(0,2)∩(-∞,2)=(0,2)，从而实数a的取值范围是(0,2).故选：A.8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于120。时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120。角;当三角形有一内角大于或等于120。时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a，b，c分别是VABC的内角A，B，C所对的边，且2=6,bsinasinB，若P为VABC的费马点，–––––––––→–––––→–––––––––→–––––→A．-3B．-2C．-6【答案】A【详解】由bsin=asinB，及正弦定理得sinBsin=sinAsinB，由三角形内角和性质可知，VABC的三个内角均小于120O，结合题设易知点P一定在VABC的内部.由余弦定理可得a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc(1-cosA)=bc=6，解得S△ABC=P解得S△ABC=P+iP––A故选：A.9．设首项为1的数列{an}前n项和为Sn，已知Sn+1=2Sn+n-1，则下列结论正确的是()A．数列{Sn+n}为等比数列B．数列{an}的前n项和Sn=2n-nC．数列{an}的通项公式为an=2n-1-1D．数列{an+1}为等比数列【答案】【答案】AB又又S1+1=2≠0，:数列{Sn+n}是首项公比都为2的等比数列，故Sn+n=2n，即Sn=2n-n，故A、B正确；对C、D：当n≥2，an=Sn-Sn-1=2n-1-1，所以数列{an+1}不是等比数列，故D错误.故选：AB.:an={,n1，故C错误l2--1,n≥2.10．已知VABC为斜三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=2asinB，则()【答案】AC【详解】A．由c=2asinB，得sinC=2sinAsinB，因为sinC=sin(A+B)=sinAco所以sinAcosB+cosAsinB=2sinAsinB，两边都除以cosAcosB，得tanA+tanB=2tanAtanB，此时A=B=，可得C=，与VABC为斜三角形矛盾，故B项不正确；所以2c2=22由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab，22π2π=结合C为三角形的内角，可知C+或C+所以或π2π=故选：AC.11．如图，正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是()A．三棱锥A1APD的体积为定值PⅡ平面ACD1 3 π2D．当A1，C，D1，P四点共面时，四面体 3 π2【答案】【答案】ABD【详解】对于A，因为BC1//AD1,BC1不在平面ADD1A1内，AD1平面ADD1A1，所以BC1//平面ADD1A1，又P∈BC1，所以点P到平面ADD1A1的距离为1，又S△AAD为定值，=定值，A正确；对于B，因为AD1//BC1，AD1平面AD1C，BC1丈平面AD1C，所以BC1//平面AD1C，同理可知同理可知A1C1//平面AD1C，所以平面所以平面A1C1BⅡ平面ACD1，由于由于A1P平面A1C1B，故A1PⅡ平面ACD1，B正确.对于对于C，展开两线段所在的平面，得矩形ABC1D1及等腰直角三角形B1BC1，连接连接AB1，交BC1于点P，此时AP+B1P最小，最小值即为AB1的长，过点B1作B1N⊥AB，交AB的延长线于点N， 对于对于D，点P在点B处，A1，C，D1，P四点共面，四面体四面体B1PA1C1的外接球即正方体的外接球，故外接球的半径为故外接球的半径为2D正确.故选：故选：ABD则VABC周长的最小值为.“cosC=,:2acosC=2b+c，:2sinAcosC=2sinB+sinC，22sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC+sinC，::cosA=一,:A∈(0,π),:A=.又a又a2=b2+c22bccos=b2+c2+bc,:a=·ib2+c2+bc,:△A13．(2xy+1)5的展开式中，所有项的系数和为.【答案】【答案】32所以所有项的系数和为32.故答案为：32.lcosx,0<x<2πlcosx,0<x<2π【详解】设f(x1)=f(x2)=f(x3)=t，则t∈(一1,1)，f(x)的图象如图所示，即y=f(x)的图象与y=t的图象有3个交点，横由余弦函数图象的性质可知，x2+x3=2π,则则g,(x)=12sinx，令g,(x)=12sinx=0，解得x=或，,15.（本小题13分）在VABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosC+ccosB=2bsinA，且sinA≥sinB.(1)求角B的值； (2)若cosC+sinB=0，且VABC的面积为3，求BC边上的中线AM的长.【答案】【答案】(1)B=或由正弦定理得由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinBsinA=sin(B+C)=sinA，又S又S△ABC=basinC=a2sin=·i3，所以a=2，由余弦定理得由余弦定理得AM2=AC2+CM2-2AC.CMcos所以AM=7.16.（本小题15分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AB丄AD，PA丄平面ABCD，AD=10，BC=2AB=8，M为PC的中点.(1)(1)求证：平面PAC丄平面PCD；(2)若AM丄PC，求直线BM与平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析45}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=m，所以设平面PAC的一个法向量为，则[4x2所以n12，所以平面PAC丄平面PCD.由知M，所以设直线设直线BM与平面PCD所成的角为θ,故直线故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为.17.（本小题15分）“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过n次随机选择后到达2号仓的概率为Pn，已知该粒子的初始位置在2号仓.(2)证明数列是等比数列，并求数列{Pn}的通项公式；(3)粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为X，求X的分布列与数学期望.44(3,(3)(3)分布列见解析，（（2）记粒子经过n次随机选择后到达1号仓的概率为An，粒子经过n次随机选择后到达3号仓的概率为Bn，所以所以所以所以{Pn-}是公比为-的等比数列.n-1,Pnn-1.4(4,(3,44(3,（（3）结合题意易得X可取0,1,2，PP(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)=所以所以X的分布列为X012P 67XX的数学期望E(X)=0×+1×+2×=18.（本小题17分）