2024学年杭州地区高三第一学期数学开学考模拟答案

2024学年杭州地区高三第一学期数学开学考模拟试题15.解：(1)不妨设∠ACB=∠ACD=θ在□ABC中，由余弦定理可知，AB2=AC2+BC2−2AC.BC.cosθ,因为cosB=，所以sinB=，所以sin∠BAC=sincosθ+所以所以BC=4cosθ+3sinθ,所以S□ABC=.AC.BC.sinθ=2(4sinθcosθ+3sin2θ)，已知在□ACD中，CD=2AC.cosθ=8cosθ,所以S□ACD=.AC.CD.sinθ=16sinθcos所以四边形ABCD的面积S=2(4sinθcosθ+3sin2θ)+16sinθcosθ=12sin2θ−3cos2θ+3，:a=1，故=a=1，即p=2:抛物线E的方称为：y2=4x(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知：P(−1,t)(t≠0)，则直线PO的方称为y=−tx，代入抛物线E的方程有：4当t2:直线MN的方程为：y−t=，即y=:此时直线MN过定点(1,0)当t2=4时，直线MN的方称为：x=1，此时仍过点(1,0)则AB2+BD2=AD2，所以AB丄BD，又因为PA丄平面ABCD，BD⊂平因为BC//AD，且，所以PC//平面BQD；所以平面PAB丄平面BDP，且平面PAB∩平面BDP=PB，过点A作AN丄PB，连结MN，因为□PAD是等腰直角三角形，且PA=AD=2，□PAB中，PA=2，AB=1，所以PB=，当b≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)的单调增区间为(0,+∞)，无极值；函数f(x)的单调减区间为(0,b)，增区间为(b,+∞)，有极小值f(b)=lnb+1−a…(4分)(Ⅱ)当b>0时，由(Ⅰ)得f(x)min=lnb+1−a≥0:lnb≥a−1，:b≥ea−1，:ea−1−b+1≤1，即当lnb=a−1时，ea−1−b+1最大为1…(8分)(Ⅲ)证明：由(Ⅰ)知，b>0时，当x→+∞时，f(x)→+∞,当x→0(x>0)时，f(x)→+∞,函数f(x)有且仅有一个零点，即f(x)min=f(b)=lnb+1−=a0，:lnb=a−1.故函数F(x)在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减，函数F(x)有两个零点x1，x2，:u(t)在(1,+∞)单调递增，:u(t)>u(1)=0，所以原不等式成立，故x1x2>e2得证…(14分)19.解：(1)取i=3,j=2,a2=4,a3=8,2ai−aj=12≠2n(n∈N*),:{an}不具有性质①.证明：对性质①:∀i,j∈N*,i>j,2ai−aj=6i−3j=3(2i−j),2i−j∈N*.:2ai−aj=a2i−j，*,n≥3,2ak−al=3(2k−l)=an=3n，:只需n=2k−l,取k=n−1,l=n−2满足,此时必有k=2,l=1，即a3=2a2−a1⇔a2−所以，a1,a2,a3成等差数列.下面用数学归纳法证明数列为等差数列.且am=a1+kd≥ak+1(*)由数列的单调递增可知：t<s≤k，sk代入(**)式，从而ak+1=a1+kd.故选：A.利用整数集的定义与具体函数定义域的求法化简集合A，B，再利用集合的交集运算即可得解.本题主要考查交集及其运算，属于基础题.2.解：因为z=所以复数z在复平面内所限.故选：D.根据复数的乘法和除法以及几何意义求解即可.本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3.解：A(2,1,1)，B(1,2,2)在直线l上，利用直线的方向向量的定义直接求解.本题考查直线的方向向量的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.故选：B.本题考查了双曲线的性质，属于基础题.|≤r2本题主要考查圆和圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题.6.解：根据题意，因为g(x+1)为奇函数，则g(1+x)=−g(1−x)，即g(1+x)+g(1−x)=0，可知g(x)=f′(x)的图象关于点(1,0)对称，可知f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2−x)，又因为f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)，可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，可知f(x)的周期为4，所以f(2023)=f(507×4根据g(x)的性质结合导数运算分析可知f(x)的图象关于x=1对称，结合奇函数分析可知f(x)的周期为4，根据周期性运算求解.本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的周期，属于中档题.7.解：因为sin=−2sin又=cos，由已知结合诱导公式，二倍角公式及同角基本关系进行化简即可求本题主要考查了诱导公式，二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题.本题考查正弦定理、球的性质的合理运用和三棱锥的体积的求法，属于中档题.【解答】由题可得三棱锥P−ABC为正四面体，且AO=R，设正四面体的棱长为a，在等边三角形ABC中，对于A，若删除的数据既不是最大值，也不是最小值，则新数据的极差等于原数据的极差，A正确；对于B，数据x1，x2，…，x6，假设x1<x2x6，之中，随机删去其中一个数据，得到一组新数据，所得数据的中位数是y1，y2，…，y5一个，故新故选：AC.本题考查数据的平均数、方差的计算，涉及数据的中位数、极差的计算，属于基础题.10.解：由f(0)=0可知A选项正确；x−a，即g(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增，min=ge又x<−2时，g(x)<0，且g(−1)=0，所以当a>0时，方程(x+1)ex=a有唯一根x0>−1，由f(x)=0⇒x=0或x=lna，又y=x与y=ex−a均单调递增，且两函数零点分别为0，lna，所以要满足f(x)≥0恒成立，需0=lna⇒a=1，可知C选项错误；若函数f(x)为增函数，有f′(x)≥0，可得a≤(x+1)ex，又由，可知“a≤−”是“函数f为增函数”的充分不必要条件，故选：AB.利用导数研究函数的单调性结合充分、必要条件的定义可判定D项.本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于中档题.11.解：A中，因为f可得函数的一个对称中心的横坐标为所以)是函数的一个对称中心，即f=0，B中，若f所以函数的一条对称轴方程为又因为函数在上单调，再由A选项可得，所以BC中，函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上单调，且满足所以f(x)=1在区间[0,2π)上有3个不相等的实数根：D中，函数f(x)在区间上恰有5个零点，所以2T<−≤,故选：ABD.A中，由f可得函数的一个对称中心的横坐标，即判断出A的真假；B中，由题意可得函数的一条对称轴的方程，再由A选项的分析，可得函数的最小正周期，判断出B的真假；C中，由题意可得f(x)的解析式，可得f(x)=1的根，判断出C的真假；D中，由椭圆可得函数的周期的范围，进而求本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题.【解答】:a=0，本题考查切线方程问题、导数的应用.【解答】解：由题意得设切点是(x0,lnx0+a)，x故答案为2.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意得到以及点A，B在椭圆上，得到即可求解，【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，215.(1)不妨设∠ACB=∠ACD=θ(θ∈(0,))，在□ACD中，利用余弦定理求出cosθ,在□ABC中，由余(2)根据三角形内角和，结合正弦定理，构造面积关于θ的函数关系，由三角函数的有界限即可求解四边形ABCD面积的最大值.本题主要考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.(1,0).本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查了双曲线与抛物线关系的应用，体现了分类讨论的数学法，是中档题.(2)根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，根据比例关系，构造(3)根据(1)的结果，结合线面角的定义，即可求解线面本题主要考查了线面垂直和线面平行的判定