全国统考高考数学大一轮复习选修4-5不等式选讲2备考试题文含解析

一轮复习精品资料(高中)PAGEPAGE1选修4-5不等式选讲1.〖2021晋南高中联考〗已知函数f(x)=|x+3|-|x-1|.(1)在图1坐标系中画出函数y=f(x)的图象,并写出f(x)的值域;(2)若f(x)≤|x+a|恒成立,求a的取值范围.图12.〖2021长春市高三质监〗已知a>0,b>0,a+b=4.(1)求证:a2+b(2)求证:1a+2+2b3.〖2021蓉城名校联考〗已知m>n>0,函数f(x)=|x+1n((1)若m=3,n=1,求不等式f(x)>2的解集;(2)求证:f(x)≥4-|x-m2|.4.〖2020陕西省部分学校摸底检测〗已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-4时,求不等式f(x)≥6的解集;(2)若f(x)≤|x-3|的解集包含〖0,1〗,求实数a的取值范围.5.〖2020河南安阳高三第一次调研考试〗已知函数f(x)=|x+1|+a|x+2|.(1)求a=1时,f(x)≤3的解集;(2)若f(x)有最小值,求a的取值范围,并写出相应的最小值.6.〖2019四省八校联考〗已知f(x)=|2x-1|-|x+2|,g(x)=|x-a|-|x+a+1|.(1)解不等式f(x)>4;(2)若∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x2)=g(x1),求实数a的取值范围.7.〖2021贵阳市四校第二次联考〗已知函数f(x)=|2x+2|-5.(1)解不等式:f(x)≥|x-1|.(2)当m≥-1时,函数g(x)=f(x)+|x-m|的图象与x轴围成一个三角形,求实数m的取值范围.8.〖2021安徽省示范高中联考〗已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+3|.(1)求不等式|2x-1|+|2x+3|≤9的解集;(2)若关于x的方程f(x)-k2+3k=0有实数解,求实数k的取值范围.9.〖2021陕西百校联考〗已知函数f(x)=|x-1|-|3-2x|.(1)求不等式f(x)≥12(x(2)若函数f(x)的最大值为n,且2a+b=n(a>0,b>0),求2a+10.〖2020惠州市一调〗已知f(x)=|x+1|+|ax-a+1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若x≥1时,不等式f(x)≥x+2恒成立,求a的取值范围.11.〖2020四川五校联考〗已知函数f(x)=|x-1|.(1)求不等式f(2x)-f(x+1)≥2的解集;(2)若a>0,b>0且a+b=f(3),求证:a+1+b12.〖2020安徽安庆二模〗已知a>0,b>0,且a2+b2=1.(1)若对任意的正数a,b,不等式|2x-1|≤1a2+(2)证明:(1a+1b)(a5+答案选修4-5不等式选讲1.(1)由题设知,f(x)=-4,x图D4由图可得f(x)的值域为〖-4,4〗.(2)在同一坐标系中画出y=|x+a|的大致图象,当y=|x+a|的图象过点(1,4)时,a=3或-5,由图D5知,若f(x)≤|x+a|恒成立,则a≥3.图D52.(1)因为a>0,b>0,所以a2+b2≥2ab,所以a2+b2≥a2+b2+2ab2,所以a2+b2≥22(2)因为a+b=4,所以a+2+b=6,所以1a+2+2b=(1a+2+2b)×a+2+b6=163.(1)依题意,得f(x)=|x+12则f(x)>2⇔|x+12|>2⇔x+12>2或x+解得x>32或x<-52,故不等式f(x)>2的解集为{x|x>32或x(2)依题意,f(x)≥4-|x-m2|⇔|x+1n(m-n)因为|x+1n(m-n)|+|x-m2|≥|x+1n(m-nm=n+(m-n)≥2n(m-n)故m2+1n(m-n)≥m2+4m2≥4,当且仅当m4.(1)当a=-4时,f(x)≥6即|x-4|+|x-2|≥6,即x≤2,4-x+2-解得x≤0或x∈⌀或x≥6,所以原不等式的解集为(-∞,0〗∪〖6,+∞).(2)f(x)≤|x-3|的解集包含〖0,1〗等价于f(x)≤|x-3|在〖0,1〗上恒成立,即|x+a|+2-x≤3-x在〖0,1〗上恒成立,即-1-x≤a≤1-x在〖0,1〗上恒成立,所以-1≤a≤0,即实数a的取值范围为〖-1,0〗.〖归纳总结〗解含有两个绝对值符号的不等式常用的方法是零点分段法.解答本题第(2)问的关键是先将问题转化为不等式恒成立问题,然后转化为求函数最值的问题.5.(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+|x+2|=-2当x≤-2时,f(x)≤3即-2x-3≤3,解得-3≤x≤-2;当-2<x<-1时,f(x)≤3即1≤3,恒成立;当x≥-1时,f(x)≤3即2x+3≤3,解得-1≤x≤0.综上可得f(x)≤3的解集为〖-3,0〗.(2)f(x)=|x+1|+a|x+2|=-(当-(a+1)>0,即a<-1时,f(x)无最小值;当-(a+1)=0,即a=-1时,f(x)有最小值-1;当-(a+1)<0且a-1≤0,即-1<a≤1时,f(x)min=f(-1)=a;当-(a+1)<0且a-1>0,即a>1时,f(x)min=f(-2)=1.综上,若f(x)有最小值,则a的取值范围为〖-1,+∞),且当-1≤a≤1时,f(x)min=f(-1)=a,当a>1时,f(x)min=f(-2)=1.6.(1)f(x)>4,即|2x-1|-|x+2|>4.当x<-2时,-(2x-1)+(x+2)>4,解得x<-2;当-2≤x≤12时,-(2x-1)-(x+2)>4,解得-2≤x<-当x>12时,2x-1-(x+2)>4,解得x>7综上,不等式f(x)>4的解集为{x|x<-53或x(2)因为∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x2)=g(x1),所以g(x)的值域是f(x)值域的子集.因为f(x)=|2x-1|-|x+2|=

所以可得f(x)的值域为〖-52易知g(x)=|x-a|-|x+a+1|的值域为〖-|2a+1|,|2a+1|〗,所以-|2a+1|≥-52,即|2a+1|≤52,则-52≤2a+1≤52,-74≤a≤347.(1)由题意知,原不等式等价于x≤-1,-2x-2-5≥1-解得x≤-8或∅或x≥2,综上,不等式f(x)≥|x-1|的解集为(-∞,-8〗∪〖2,+∞).(2)当m=-1时,g(x)=|2x+2|-5+|x+1|=3|x+1|-5,此时g(x)的图象与x轴围成一个三角形,满足题意;当m>-1时,g(x)=|2x+2|-5+|x-m|=-3则函数g(x)在(-∞,-1〗上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,要使函数g(x)的图象与x轴围成一个三角形,则g解得32≤m<4综上所述,实数m的取值范围为〖32,4)∪{-1}8.(1)原不等式等价于x>12,解得12<x≤74或-32≤x≤12或-所以不等式的解集为{x|-114≤x≤7(2)|2x-1|+|2x+3|≥|2x-1-2x-3|=4,方程f(x)-k2+3k=0有实数解,即函数y=f(x)与y=k2-3k的图象有交点,只需k2-3k≥4,解得k≤-1或k≥4.所以实数k的取值范围为{k|k≤-1或k≥4}.9.(1)由已知得f(x)=x∴当x<1时,x-2≥12(x当1≤x≤32时,3x-4≥12(x-1)⇒75≤x当x>32时,-x+2≥12(x-1)⇒32<x综上所述,不等式的解集为〖75,53(2)由(1)可知f(x)max=f(32)=n=12,∵2a+b=n=12(a∴2a+1b=2(2a+1b)(2a+b)=2(4+1+2ab+2ba故2a+10.(1)解法一当a=1时,不等式f(x)≥3即|x+1|+|x|≥3.当x<-1时,-x-1-x≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;当-1≤x<0时,x+1-x≥3,无解;当x≥0时,x+1+x≥3,解得x≥1,所以x≥1.综上,不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-2〗∪〖1,+∞).解法二当a=1时,f(x)=|x+1|+|x|=-2当x<-1时,-2x-1≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;当-1≤x<0时,1≥3显然不成立;当x≥0时,2x+1≥3,解得x≥1,所以x≥1.综上,不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-2〗∪〖1,+∞).(2)解法一当x≥1时,不等式f(x)≥x+2恒成立即|ax-a+1|≥1恒成立.令g(x)=a(x-1)+1,则g(x)的图象为过定点(1,1)且斜率为a的直线.数形结合可知,当a≥0时,|ax-a+1|≥1在〖1,+∞)上恒成立.所以,所求a的取值范围为〖0,+∞).解法二当x≥1时,不等式f(x)≥x+2恒成立即|ax-a+1|≥1恒成立.所以ax-a+1≤-1或ax-a+1≥1,即a(x-1)≤-2或a(x-1)≥0.当x≥1时,∀a∈R,不等式a(x-1)≤-2不恒成立,当x≥1时,要使不等式a(x-1)≥0恒成立,需a≥0.所以,所求a的取值范围为〖0,+∞).11.解法一(1)因为f(x)=|x-1|,所以f(2x)-f(x+1)=|2x-1|-|x|=1-x,x≤0,1-3x,0<x<12,x-1,解得x≤-1或x∈⌀或x≥3,所以不等式的解集为(-∞,-1〗∪〖3,+∞).(2)a+b=f(3)=2,要证a+1+b只需证(a+1+b+1)2≤(2即证a+b+2+2(a只需证(a+1)(因为a>0,b>0,所以根据基本不等式得(a+1)(b+1)≤(a+1)+(解法二(1)因为f(x)=|x-1|,所以f(2x)-f(x+1)=|2x-1|-|x|=1-作出函数g(x)=f(2x)-f(x+1)的图象与直线y=2(如图D6),图D6因为直线y=2和函数g(x)图象的交点为A(-1,2),B(3,2),所以不等式g(x)≥2的解集为(-∞,-1〗∪〖3,+∞).(2)a+b=f(3)=2,又a>0,b>0,所以2·a+1≤a+32,2·b故2·a+1+2·b所以a+1+b+1≤22成立(当且仅当a故命题得证.〖方法总结〗含绝对值的不等式的解法有两种:一是零点分段法,即运用分类讨论思想求解;二是利用绝对值的几何意义求解,即运用数形结合思想求解.12.(1)因为a2+b2=1,所以1a2+1b2=(1a2+1b即1a2+1b2≥4,当且仅当a=b又对任意的正数a,b,不等式|2x-1|≤1a2+1b2恒成立,所以|2x-1|≤4,即-4≤2x-1≤4,解得故实数x的取值范围是〖-32,5(2)(基本不等式)因为a>0,b>0,且a2+b2=1,所以(1a+1b)(a5=a4+b4+b=(a2+b2≥(a2+b2)2=(a2+b2)2+2a2=(=1.选修4-5不等式选讲1.〖2021晋南高中联考〗已知函数f(x)=|x+3|-|x-1|.(1)在图1坐标系中画出函数y=f(x)的图象,并写出f(x)的值域;(2)若f(x)≤|x+a|恒成立,求a的取值范围.图12.〖2021长春市高三质监〗已知a>0,b>0,a+b=4.(1)求证:a2+b(2)求证:1a+2+2b3.〖2021蓉城名校联考〗已知m>n>0,函数f(x)=|x+1n((1)若m=3,n=1,求不等式f(x)>2的解集;(2)求证:f(x)≥4-|x-m2|.4.〖2020陕西省部分学校摸底检测〗已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-4时,求不等式f(x)≥6的解集;(2)若f(x)≤|x-3|的解集包含〖0,1〗,求实数a的取值范围.5.〖2020河南安阳高三第一次调研考试〗已知函数f(x)=|x+1|+a|x+2|.(1)求a=1时,f(x)≤3的解集;(2)若f(x)有最小值,求a的取值范围,并写出相应的最小值.6.〖2019四省八校联考〗已知f(x)=|2x-1|-|x+2|,g(x)=|x-a|-|x+a+1|.(1)解不等式f(x)>4;(2)若∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x2)=g(x1),求实数a的取值范围.7.〖2021贵阳市四校第二次联考〗已知函数f(x)=|2x+2|-5.(1)解不等式:f(x)≥|x-1|.(2)当m≥-1时,函数g(x)=f(x)+|x-m|的图象与x轴围成一个三角形,求实数m的取值范围.8.〖2021安徽省示范高中联考〗已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+3|.(1)求不等式|2x-1|+|2x+3|≤9的解集;(2)若关于x的方程f(x)-k2+3k=0有实数解,求实数k的取值范围.9.〖2021陕西百校联考〗已知函数f(x)=|x-1|-|3-2x|.(1)求不等式f(x)≥12(x(2)若函数f(x)的最大值为n,且2a+b=n(a>0,b>0),求2a+10.〖2020惠州市一调〗已知f(x)=|x+1|+|ax-a+1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若x≥1时,不等式f(x)≥x+2恒成立,求a的取值范围.11.〖2020四川五校联考〗已知函数f(x)=|x-1|.(1)求不等式f(2x)-f(x+1)≥2的解集;(2)若a>0,b>0且a+b=f(3),求证:a+1+b12.〖2020安徽安庆二模〗已知a>0,b>0,且a2+b2=1.(1)若对任意的正数a,b,不等式|2x-1|≤1a2+(2)证明:(1a+1b)(a5+答案选修4-5不等式选讲1.(1)由题设知,f(x)=-4,x图D4由图可得f(x)的值域为〖-4,4〗.(2)在同一坐标系中画出y=|x+a|的大致图象,当y=|x+a|的图象过点(1,4)时,a=3或-5,由图D5知,若f(x)≤|x+a|恒成立,则a≥3.图D52.(1)因为a>0,b>0,所以a2+b2≥2ab,所以a2+b2≥a2+b2+2ab2,所以a2+b2≥22(2)因为a+b=4,所以a+2+b=6,所以1a+2+2b=(1a+2+2b)×a+2+b6=163.(1)依题意,得f(x)=|x+12则f(x)>2⇔|x+12|>2⇔x+12>2或x+解得x>32或x<-52,故不等式f(x)>2的解集为{x|x>32或x(2)依题意,f(x)≥4-|x-m2|⇔|x+1n(m-n)因为|x+1n(m-n)|+|x-m2|≥|x+1n(m-nm=n+(m-n)≥2n(m-n)故m2+1n(m-n)≥m2+4m2≥4,当且仅当m4.(1)当a=-4时,f(x)≥6即|x-4|+|x-2|≥6,即x≤2,4-x+2-解得x≤0或x∈⌀或x≥6,所以原不等式的解集为(-∞,0〗∪〖6,+∞).(2)f(x)≤|x-3|的解集包含〖0,1〗等价于f(x)≤|x-3|在〖0,1〗上恒成立,即|x+a|+2-x≤3-x在〖0,1〗上恒成立,即-1-x≤a≤1-x在〖0,1〗上恒成立,所以-1≤a≤0,即实数a的取值范围为〖-1,0〗.〖归纳总结〗解含有两个绝对值符号的不等式常用的方法是零点分段法.解答本题第(2)问的关键是先将问题转化为不等式恒成立问题,然后转化为求函数最值的问题.5.(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+|x+2|=-2当x≤-2时,f(x)≤3即-2x-3≤3,解得-3≤x≤-2;当-2<x<-1时,f(x)≤3即1≤3,恒成立;当x≥-1时,f(x)≤3即2x+3≤3,解得-1≤x≤0.综上可得f(x)≤3的解集为〖-3,0〗.(2)f(x)=|x+1|+a|x+2|=-(当-(a+1)>0,即a<-1时,f(x)无最小值;当-(a+1)=0,即a=-1时,f(x)有最小值-1;当-(a+1)<0且a-1≤0,即-1<a≤1时,f(x)min=f(-1)=a;当-(a+1)<0且a-1>0,即a>1时,f(x)min=f(-2)=1.综上,若f(x)有最小值,则a的取值范围为〖-1,+∞),且当-1≤a≤1时,f(x)min=f(-1)=a,当a>1时,f(x)min=f(-2)=1.6.(1)f(x)>4,即|2x-1|-|x+2|>4.当x<-2时,-(2x-1)+(x+2)>4,解得x<-2;当-2≤x≤12时,-(2x-1)-(x+2)>4,解得-2≤x<-当x>12时,2x-1-(x+2)>4,解得x>7综上,不等式f(x)>4的解集为{x|x<-53或x(2)因为∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x2)=g(x1),所以g(x)的值域是f(x)值域的子集.因为f(x)=|2x-1|-|x+2|=

所以可得f(x)的值域为〖-52易知g(x)=|x-a|-|x+a+1|的值域为〖-|2a+1|,|2a+1|〗,所以-|2a+1|≥-52,即|2a+1|≤52,则-52≤2a+1≤52,-74≤a≤347.(1)由题意知,原不等式等价于x≤-1,-2x-2-5≥1-解得x≤-8或∅或x≥2,综上,不等式f(x)≥|x-1|的解集为(-∞,-8〗∪〖2,+∞).(2)当m=-1时,g(x)=|2x+2|-5+|x+1|=3|x+1|-5,此时g(x)的图象与x轴围成一个三角形,满足题意;当m>-1时,g(x)=|2x+2|-5+|x-m|=-3则函数g(x)在(-∞,-1〗上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,要使函数g(x)的图象与x轴围成一个三角形,则g解得32≤m<4综上所述,实数m的取值范围为〖32,4)∪{-1}8.(1)原不等式等价于x>12,解得12<x≤74或-32≤x≤12或-所以不等式的解集为{x|-114≤x≤7(2)|2x-1|+|2x+3|≥|2x-1-2x-3|=4,方程f(x)-k2+3k=0有实数解,即函数y=f(x)与y=k2-3k的图象有交点,只需k2-3k≥4,解得k≤-1或k≥4.所以实数k的取值范围为{k|k≤-1或k≥4}.9.(1)由已知得f(x)=x∴当x<1时,x-2≥12(x当1≤x≤32时,3x-4≥12(x-1)⇒75≤x当x>32时,-x+2≥12(x-1)⇒32<x综上所述,不等式的解集为〖75,53(2)由(1)可知f(x)max=f(32)=n=12,∵2a+b=n=12(a∴2a+1b=2(2a+1b)(2a+b)=2(4+1+2ab+2ba故2a+10.(1)解法一当a=1时,不等式f(x)≥3即|x+1|+|x|≥3.当x<-1时,-x-1-x≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;当-1≤x<0时,x+1-x≥3,无解;当x≥0时,x+1+x≥3,解得x≥1,所以x≥1.综上,不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-2〗∪〖1,+∞).解法二当a=1时,f(x)=|x+1|+|x|=-2当x<-1时,-2x-1≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;当-1≤x<0时,1≥3显然不成立;当x≥0时,2x+1≥3,解得x≥1,所以x≥1.综上,不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-2〗∪〖1,+∞).(2)解法一当x≥1时,不等式f(x)≥x+2恒成立即|ax-a+1|≥1恒成立.令g(x)=a(x-1)+1,则g(x)的图象为过定点(1,1)且斜率为a的直线.数形结合可知,当a≥0时,|ax-a+1|≥1在〖1,+∞)上恒成立.所以,所求a