新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）37 圆锥曲线中的存在性和探索性问题（原卷版）

素养拓展37圆锥曲线中的存在性和探索性问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、圆锥曲线中的存在性问题1.存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．一般步骤为：①假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,②用待定系数法设出,③列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．注：反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．【一般策略】求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.二、圆锥曲线中的探索性性问题1.对于要注意：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】已知双曲线E：SKIPIF1<0与直线l：SKIPIF1<0相交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【典例2】在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,动点SKIPIF1<0,满足SKIPIF1<0,记点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0．（1）请说明SKIPIF1<0是什么曲线,并写出它的方程；（2）设不过原点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于两点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,请判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系,并证明你的结论．【题型训练-刷模拟】1.存在性问题1．双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)是否存在直线SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0且与双曲线SKIPIF1<0于A，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，若存在，求SKIPIF1<0的方程；若不存在，说明理由.2．已知椭圆方程为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线倾斜角为SKIPIF1<0，原点到该直线的距离为SKIPIF1<0．(1)求椭圆的方程；(2)对于SKIPIF1<0，是否存在实数k，使得直线SKIPIF1<0分别交椭圆于点P，Q，且SKIPIF1<0，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．3．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左焦点、左顶点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0（不与x轴重合）交椭圆SKIPIF1<0于A，B两点．

(1)求椭圆M的标准方程；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积；(3)是否存在直线SKIPIF1<0，使得点B在以线段SKIPIF1<0为直径的圆上，若存在，求出直线SKIPIF1<0的方程；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴，与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，过点SKIPIF1<0且平行于SKIPIF1<0轴的直线与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，记动点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上运动，过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0，在平面内是否存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，请求出定点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．5．在直角坐标系SKIPIF1<0中，抛物线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于M，N两点．(1)若M，N的横坐标分别为SKIPIF1<0，4，求直线l的方程及MN的中垂线所在的直线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有SKIPIF1<0?说明理由．6．如图，SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点SKIPIF1<0，直线AN过点SKIPIF1<0

(1)记A，B的纵坐标分别为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)记直线AN，BM的斜率分别为SKIPIF1<0，是否存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值，若不存在说明理由7．已知椭圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，斜率不为零的直线SKIPIF1<0过右焦点SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0两点.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)在SKIPIF1<0轴上是否存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，如果存在，求出SKIPIF1<0点坐标，如果不存在，说明理由.8．已知离心率为SKIPIF1<0的椭圆C的中心在原点O，对称轴为坐标轴，F1，F2为左右焦点，M为椭圆上的点，且SKIPIF1<0．直线l过椭圆外一点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，满足SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的标准方程；(2)对于任意点P，是否总存在唯一的直线l，使得SKIPIF1<0成立，若存在，求出点SKIPIF1<0对应的直线l的斜率；否则说明理由．9．已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且上顶点与右顶点的距离为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0轴上是否存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)是否存在过点SKIPIF1<0的直线交曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，使得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．11．已知双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的左顶点，SKIPIF1<0的离心率为2.设过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的右支于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，其中SKIPIF1<0在第一象限.

(1)求SKIPIF1<0的标准方程；(2)是否存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值；否则，说明理由.12．已知动点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离与动点SKIPIF1<0到定直线SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0．(1)求点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)对SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0上是否始终存在两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称？若存在，求实数SKIPIF1<0的取值范围；若不存在，请说明理由．13．已知抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（异于坐标原点SKIPIF1<0）．(1)若SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0过定点．(2)已知SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的右侧，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，试问是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．14．已知椭圆SKIPIF1<0的焦距为2，且经过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为SKIPIF1<0的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使SKIPIF1<0恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．15．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点.(1)已知SKIPIF1<0过SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)已知直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0不过点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)当直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0.是否存在直线SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，若存在，求出直线SKIPIF1<0的方程；若不存在，请说明理由.2.探索性问题1．已知椭圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0且斜率为k的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于A,B两点.当A为椭圆E的上顶点时,SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程;(2)当SKIPIF1<0时,试判断以AB为直径的圆是否经过点SKIPIF1<0,并说明理由.2．过抛物线SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0．(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)过焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0，交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点是否在一条直线上．若是，求出该直线的方程；否则，说明理由．3．在以SKIPIF1<0为圆心，6为半径的圆A内有一点SKIPIF1<0，点P为圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线SKIPIF1<0和半径AP交于点M．(1)判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；(2)记点M的轨迹为曲线SKIPIF1<0，过点B的直线与曲线SKIPIF1<0交于C、D两点，求SKIPIF1<0的最大值；(3)在圆SKIPIF1<0上的任取一点Q，作曲线SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为E、F，试判断QE与QF是否垂直，并给出证明过程．4．已知椭圆C：SKIPIF1<0，短轴长为4，离心率为SKIPIF1<0，直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求SKIPIF1<0面积的取值范围；(3)若圆O以椭圆C的长轴为直径，直线l与圆O交于C、D两点，若动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，试判断直线MC与圆O的位置关系，并说明理由．5．已知点E是圆SKIPIF1<0上的任意一点，点SKIPIF1<0，线段DE的垂直平分线与直线EF交于点C．(1)求点C的轨迹方程；(2)点SKIPIF1<0关于原点O的对称点为B，与AB平行的直线l与点C的轨迹交于点M，N，直线AM与BN交于点P，试判断直线OP是否平分线段MN，并说明理由．6．已知双曲线SKIPIF1<0，其右焦点为SKIPIF1<0，焦距为4，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且当直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0时，恰好与双曲线SKIPIF1<0有一个交点.(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)若直线SKIPIF1<0交双曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0点，且满足SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0是否为常数，并给出理由.7．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，椭圆E的离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过SKIPIF1<0作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，其中l与x轴不重合，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点P，判断直线SKIPIF1<0与DP的位置关系，并说明理由．8．已知椭圆SKIPIF1<0的一个焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为坐标原点），过点SKIPIF1<0作一直线交椭圆于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)求SKIPIF1<0面积的最大值；(3)设点SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点，判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系，并说明理由.9．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上一动点，且SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的准线上，过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0的中点，试判断直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系，并说明理由.10．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的右顶点，若点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的一条渐近线的距离为SKIPIF1<0．(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0的任意两点，且SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0，试问：点SKIPIF1<0是否在定曲线上？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由．11．椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，左右顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的上顶点，SKIPIF1<0的延长线与椭圆相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点．圆SKIPIF1<0以原点SKIPIF1<0为圆心且过椭圆上顶点SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若过点SKIPIF1<0的直线与圆SKIPIF1<0切于SKIPIF1<0