新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）29 立体几何中的结构不良问题（原卷版）

素养拓展29立体几何中的结构不良问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、空间向量与立体几何的求解公式(1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ满足：cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)；(2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β，则直线l与平面α所成的角为θ满足：sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).(3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则两面的成角θ满足：cosθ＝cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)；注意：二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或是向量n1与n2的夹角的补角，具体情况要判断确定．(4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为：|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)，即向量eq\o(BO,\s\up6(→))在法向量n的方向上的投影长.二、几种常见角的取值范围 ①异面直线成角∈(0，eq\f(π,2)]；②二面角∈[0，π]；③线面角∈[0，eq\f(π,2)]；④向量夹角∈[0，π] 三、平行构造的常用方法①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.四、垂直构造的常用方法①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.五、用向量证明空间中的平行关系(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.六、用向量证明空间中的垂直关系(1)线线垂直：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.七、点面距常用方法①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分别为SKIPIF1<0，AC的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【题型训练-刷模拟】1．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正方形，侧面SKIPIF1<0为等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的点，平面SKIPIF1<0与棱SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的大小．条件①：SKIPIF1<0；条件②：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；条件③：SKIPIF1<0．2．）如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E为SKIPIF1<0的中点.(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若点F在SKIPIF1<0内，且SKIPIF1<0，从下面三个结论中选一个求解.①求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；②求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值；③求二面角SKIPIF1<0的余弦值.注：若选择多个结论分别解答，按第一个解答计分.3．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点，平面SKIPIF1<0交棱SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0;(2)若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.4．在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为2的菱形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.5．如图在几何体SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0.

(1)判断SKIPIF1<0是否平行于平面SKIPIF1<0，并证明；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：（i）平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小；（ii）求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.条件①：面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0条件②：SKIPIF1<0条件③：SKIPIF1<0注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.6．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)若SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求证：点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.条件①：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0条件②：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.7．如图，四边形SKIPIF1<0是边长为2的菱形，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.①SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角相等；②三棱锥SKIPIF1<0体积为SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0

(1)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的大小；(3)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.8．如图在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且满足：______，______（待选条件）.从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.①三棱柱SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0；②直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值为SKIPIF1<0；③二面角SKIPIF1<0的大小为60°；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.9．如图所示的五边形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0折叠成四棱锥SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．(1)在四棱锥SKIPIF1<0中，可以满足条件①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）(2)在（1）的条件下求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．10．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交线段SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0（如图1），沿SKIPIF1<0将SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0（如图2），点SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0的中点.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)在①图1中SKIPIF1<0，②图1中SKIPIF1<0，③图2中三棱锥SKIPIF1<0的体积最大.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.问题：已知__________，试在棱SKIPIF1<0上确定一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，并求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．如图所示的五边形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0折叠成四棱锥SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．(1)在四棱锥SKIPIF1<0中，可以满足条件①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）(2)在（1）的条件下求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．12．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，侧棱SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上．(1)若SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．①平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0成角的余弦值为SKIPIF1<0；②二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．13．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD是矩形，SKIPIF1<0底面ABCD，且SKIPIF1<0，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F.(1)证明：F为PD的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.条件①：三角形BCF的面积为SKIPIF1<0；条件②：三棱锥SKIPIF1<0的体积为1.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.14．如图，已知直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKI