新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）22 数列与不等式（原卷版）

素养拓展22数列与不等式（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、数列与不等式数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.1.常见放缩公式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（11）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0；（13）SKIPIF1<0．（14）SKIPIF1<0．2.数学归纳法（1）数学归纳法定义：对于某些与自然数SKIPIF1<0有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当SKIPIF1<0取第一个值SKIPIF1<0时命题成立；然后假设当SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）时命题成立，证明当SKIPIF1<0时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法注：即先验证使结论有意义的最小的正整数SKIPIF1<0，如果当SKIPIF1<0时，命题成立，再假设当SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当SKIPIF1<0时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于SKIPIF1<0的正整数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，命题都成立．（2）运用数学归纳法的步骤与技巧①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）证明：当SKIPIF1<0取第一个值SKIPIF1<0结论正确；（2）假设当SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）时结论正确，证明当SKIPIF1<0时结论也正确由（1），（2）可知，命题对于从SKIPIF1<0开始的所有正整数SKIPIF1<0都正确②用数学归纳法证题的注意事项（1）弄错起始SKIPIF1<0．SKIPIF1<0不一定恒为1，也可能SKIPIF1<0或3（即起点问题）．（2）对项数估算错误．特别是当寻找SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．（4）关键步骤含糊不清．“假设SKIPIF1<0时结论成立，利用此假设证明SKIPIF1<0时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】已知SKIPIF1<0是公差为2的等差数列，其前8项和为64．SKIPIF1<0是公比大于0的等比数列，SKIPIF1<0．（I）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（II）记SKIPIF1<0，（i）证明SKIPIF1<0是等比数列；（ii）证明SKIPIF1<0【典例2】设数列{an}满足a1=3，SKIPIF1<0．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【题型训练-刷模拟】1.数列不等式一、单选题1．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若对任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．84．已知SKIPIF1<0是各项均为正数的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．16 C．SKIPIF1<0 D．325．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．3 B．2 C．1 D．SKIPIF1<06．数列SKIPIF1<0是首项和公比均为2的等比数列，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，则使不等式SKIPIF1<0成立的最小正整数SKIPIF1<0的值是（

）A．8 B．9 C．10 D．117．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，存在正偶数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，且对任意正奇数SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．）已知等差数列SKIPIF1<0的前项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项积为SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0的最大整数SKIPIF1<0为（

）A．20 B．21 C．22 D．239．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．数列SKIPIF1<0不可能为等差数列 B．对任意正数t，SKIPIF1<0是递增数列C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<010．若数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的“均值数列”．已知数列SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的“均值数列”且SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．对于数列SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0（t为常数）成立，则称数列SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0．数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，且具有性质SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对任意正整数n，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．在数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，且对任意的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，则使数列SKIPIF1<0前n项和SKIPIF1<0成立的n最大值为（

）A．9 B．8 C．7 D．615．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列选项正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题16．设SKIPIF1<0为正数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值为.17．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则正整数SKIPIF1<0的最小值是．18．）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且对于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围．19．设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最大值是.20．已知数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，若对任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为．21．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为.22．已知数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则存在正整数n，使得SKIPIF1<0成立的实数SKIPIF1<0组成的集合为23．已知正数数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为．三、解答题24．已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，其前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对一切SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.25．已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差为1的等差数列.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0.26．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)已知数列SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.27．已知公差不为0的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求满足条件的SKIPIF1<0的最小值.28．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<029.已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．30．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，问：是否存在实数c，使得SKIPIF1<0对所有SKIPIF1<0成立？证明你的结论.31．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式;(2)若对一切正整数SKIPIF1<0.不等式SKIPIF1<0恒成立.求SKIPIF1<0的最小值.32．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．33．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若对任意的正整数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.34．记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设单调递增的等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列.（i）求SKIPIF1<0的通项公式；（ii）设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.35．已知各项均为正数的数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前n项和.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若对任意SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，总有SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.36．已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对任意的正整数n都有SKIPIF1<0(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最小值.37．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；(2)证明：对任意的SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<038．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明：当SKIPIF1<0时，(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．39．已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0项的和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，并证明SKIPIF1<0是等比数列；(2)证明：SKIPIF1<0.40．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.41．）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项.(1)求证：SKIPIF1<0是等比数列，并求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0是递增数列，求SKIPIF1<0的取值范围；(3)设SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.42．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．43．设无穷数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．证明∶(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．(2)不存在实数c，使得SKIPIF1<0对所有的n都成立．2.数学归纳法1．首项为正数的数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)证明：若SKIPIF1<0为奇数，则对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是奇数；(2)若对SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．2．）设等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)计算SKIPIF1<0，猜想SKIPIF1<0的通项公式并加以证明；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.3．已知数列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若数列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）．4．设SKIPIF1<0，给定数列SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．证明：(1)SKIPIF1<0．(2)如果SKIPIF1<0，那么当SKIPIF1<0时，必有SKIPIF1<0．【5．在数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．证明：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．6．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0为等差数列，并求SKIPIF1<0的通项公式；(2)数列SKIPIF1<0，求满足SKIPIF1<0的最大正整数n．7．已知正项数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)计算SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，猜想SKIPIF1<0的通项公式并加以证明；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.8．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)计算：SKIPIF1<0，猜想数列SKIPIF1<0的通项公式，并证明你的结论；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求k的取值范围．9．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若数列SKIPIF1<0是常数数列，求m的值．(2)当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0．(3)求