新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）20 累加、累乘、构造法求数列通项公式（原卷版）

素养拓展20累加、累乘、构造法求数列通项公式（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、累加法形如SKIPIF1<0型的递推数列（其中SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的函数）可构造：SKIPIF1<0将上述SKIPIF1<0个式子两边分别相加，可得：SKIPIF1<0=1\*GB3①若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；=2\*GB3②若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；=3\*GB3③若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的二次函数，累加后可分组求和；=4\*GB3④若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的分式函数，累加后可裂项求和．二、累乘法形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的递推数列（其中SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的函数）可构造：SKIPIF1<0将上述SKIPIF1<0个式子两边分别相乘，可得：SKIPIF1<0三、构造法1.第一种形式：形如SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均为常数且SKIPIF1<0）型的递推式（1）若SKIPIF1<0时，数列{SKIPIF1<0}为等差数列；（2）若SKIPIF1<0时，数列{SKIPIF1<0}为等比数列；（3）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，数列{SKIPIF1<0}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设SKIPIF1<0，展开移项整理得SKIPIF1<0，与题设SKIPIF1<0比较系数（待定系数法）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0法二：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0两式相减并整理得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列．求出SKIPIF1<0的通项再转化为累加法便可求出SKIPIF1<02.第二种形式：形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的递推式（1）当SKIPIF1<0为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设SKIPIF1<0，通过待定系数法确定SKIPIF1<0的值，转化成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列SKIPIF1<0，再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0法二：当SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0时，由递推式得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两式相减得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0转化为第一种形式，求出SKIPIF1<0，再用累加法便可求出SKIPIF1<0（2）当SKIPIF1<0为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设SKIPIF1<0，通过待定系数法确定SKIPIF1<0的值，转化成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列SKIPIF1<0，再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0法二：当SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0时，由递推式得：SKIPIF1<0——①，SKIPIF1<0，两边同时乘以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0——②，由①②两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在转化为第一种形式便可求出SKIPIF1<0法三：递推公式为SKIPIF1<0（其中p，q均为常数）或SKIPIF1<0（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，引入辅助数列SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），得：SKIPIF1<0再应用类型第一种形式的方法解决．（3）当SKIPIF1<0为任意数列时，可用通法：在SKIPIF1<0两边同时除以SKIPIF1<0可得到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在转化为累加法，求出SKIPIF1<0之后得SKIPIF1<0．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的通项公式.【典例2】已知数列{an}，a1=1，(n【典例3】已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．求数列SKIPIF1<0的通项公式；【题型训练1-刷真题】一、单选题1．）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、解答题3．记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．【题型训练2-刷模拟】1.累加法一、单选题1．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．30 B．31 C．22 D．234．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的第100项为（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．6065 B．6064 C．4044 D．40438．在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．10.5 B．10.6 C．10.4 D．10.7二、填空题10．在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0中最大项的数值为．11．设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=.12．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前100项的和为.13．已知数列SKIPIF1<0的各项均不为零，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0．14．数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.三、解答题15．已知等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为2.数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0取得最小值时SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.16．在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：数列SKIPIF1<0是等比数列；(2)求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.17．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)令SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第SKIPIF1<0个图形包含SKIPIF1<0个小正方形.

(1)求出SKIPIF1<0；(2)归纳出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系式，并根据你得到的关系式求SKIPIF1<0的表达式；(3)求证：SKIPIF1<0.19．设各项都为正数的数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．20．设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)在数列SKIPIF1<0的任意SKIPIF1<0与SKIPIF1<0项之间，都插入SKIPIF1<0个相同的数SKIPIF1<0，组成数列SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.2.累乘法一、单选题1．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．22．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．n3．数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正整数），则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则满足不等式SKIPIF1<0的最大正整数SKIPIF1<0为（

）A．20 B．19 C．21 D．22二、填空题6．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为．7．在数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为．8．数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则通项SKIPIF1<0．三、解答题9．已知等差数列SKIPIF1<0的各项均为正数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；(2)若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式.10．已知数列SKIPIF1<0的首项为1，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.11．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0是等比数列，且SKIPIF1<0成等差数列，求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0是公差为2的等差数列，证明：SKIPIF1<0．12．已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．13．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0是等差数列；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项积．3.构造法一、单选题1．在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则（

）A．SKIPIF1<0是等比数列 B．SKIPIF1<0是等比数列C．SKIPIF1<0是等比数列 D．SKIPIF1<0是等比数列4．已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前10项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．25．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．20236．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题7．已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为.8．）数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．9．数列{an}满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列{an}的通项公式为.10．已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则正整数SKIPIF1<0的值为.11．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0．12．数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式是．13．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．三、解答题14．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．